6-2与名师对话高三一轮数学(理)

高考总复习•数学（文）
考点二 等差数列的判定与证明
基
础
知 识
【例 2】 (2021·成都七中月考)已知等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn.
诊 断
(1)若 S3，S9，S6 成等差数列，求证：a2，a8，a5 成等差数列；
课 后
(2)若 am＋2 是 am＋1 和 am 的等差中项，则 Sm，Sm＋2，Sm＋1 成等差数列吗？
②S 偶－S 奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1.
断
(2)若等差数列{an}的项数为奇数 2n＋1，
课 后
跟
核
则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②SS奇 偶＝n＋n 1.
踪 训 练
心
考 点 突 破
(3)在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则满足aamm≥ ＋1≤0，0 的项数 m 使得 Sn 取得
跟 踪
训
核
(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为 a－d，a＋d，其余各项再依据等 练
心 考
差数列的定义进行对称设元．
点
突
破
第8页
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2．三个必备结论
(1)若等差数列{an}的项数为偶数 2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
基
础 知 识 诊
突 破
60，故选 A.
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基 础
4．(2021·山东淄博一中月考)在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝
知 识
21，则数列{an}的前 8 项和为( D )
诊
断
A．50
B．70
课 后
C．120
D．100
跟 踪
训
核 心
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，∵a11－a4＝21，
知
识 诊
A．2
B．3
断
C．4
D．5
课 后
跟
[解析] ∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
踪 训 练
核 心
∴am＝2，am＋1＝3，∴公差 d＝1.
考
点 突 破
又 Sm＝ma12＋am＝0，∴a1＋am＝0，∴a1＝－2.
∴am＝－2＋(m－1)×1＝2，∴m＝5.故选 D.
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知 识 诊 断
在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，所以 2q2＝q＋1，解得 q＝1 或 q＝－12.
课
当 q＝1 时，Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm＋2＝(m＋2)a1.
后 跟 踪
因为 a1≠0，所以 2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时 Sm，Sm＋2，Sm＋1 不成等差数列．
课 后
核 心 考 点
＝105aa11＋ ＋150×2× 249dd＝105aa11＋ ＋15× 02× 249××22aa1 1＝12050aa11＝4.
跟 踪 训 练
突
破
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基
础
知
识
诊
断
等差数列运算的解题思路
课 后
跟
由等差数列的前 n 项和公式及通项公式可知若已知 a1，d，n，an，Sn 中三个便
心
考 点
或 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) ．
突
破
(2)等差中项
a＋b
若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且有 A＝ 2 .
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基
2．等差数列的有关公式
础
知
(1)等差数列的通项公式
识
诊 断
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式
训 练
核
心 考 点 突 破
当 q＝－12时，Sm＋2＝a111－－－－1212m＋2
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基
Байду номын сангаас
础
知 识
[解] (1)证明：由 S3，S9，S6 成等差数列，得 S3＋S6＝2S9.
诊 断
若 q＝1，则 3a1＋6a1＝18a1，解得 a1＝0，这与{an}是等比数列矛盾，所以 q≠1， 课
后
于是有a111－－qq3＋a111－－qq6＝2a11－1－qq9，整理得 q3＋q6＝2q9.
____5_2___．
后 跟
踪
[解析] a20＝－5＋(20－1)×3＝52.
训 练
核
心
考
点
突
破
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基 础 知 识 诊 断 核 心 考 点 突 破
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核心考点突破
课
后
跟
踪
训
练
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考点一 等差数列的基本运算
基
础
则数列{an}的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝－12n＋2，
∴a5＝－12×5＋2＝－12.故选 B.
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2．(2020·合肥一检)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sm－1＝－2，Sm＝0，
基 础
Sm＋1＝3(m≥2)，则 m＝( D )
课 后 跟 踪 训
练
核 心 考 点
a1＝3×1－10＝－7，排除 B；选项 C，S1＝2－8＝－6，排除 C；选项 D，S1＝12－
突 破
2＝－32，排除 D.故选 A.
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基
础
知
识 诊 断
(2)设等差数列{an}的公差为 d，由 a2＝3a1，即 a1＋d＝3a1，得 d＝2a1，所以SS150
跟 踪 训 练
核
心 考 点
因为 q≠0 且 q≠1，所以 q3＝－12，a8＝a2q6＝14a2，a5＝a2q3＝－12a2，
突
破
所以 2a8＝a2＋a5，即 a8－a2＝a5－a8，故 a2，a8，a5 成等差数列．
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基 础
(2)依题意，得 2am＋2＝am＋1＋am，则 2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1.
＝____4____.
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基
础
知
识 诊
[解析] (1)解法一：设等差数列{an}的公差为 d，
断
课
核
∵Sa45＝＝05，，
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得ad1＝＝2－，3， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3
后 跟 踪 训 练
心
考 点 突 破
踪 训 练
心
考
1
5
点 突
C.2
D.2
破
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基
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，由 a2＝1，a8＝2a6＋a4，
础 知 识 诊
可得aa11＋＋d7＝d＝1，2a1＋5d＋a1＋3d，
断
解得a1＝32，
核 心
d＝－12，
课 后 跟 踪 训 练
考 点 突 破
高考总复习•数学（文）
基 础 知
2．(2020·南昌市一模)已知{an}为等差数列，若 a2＝2a3＋1，a4＝2a3＋7，则
识 诊
a5＝( B )
断
课
A．1
B．2
后
跟
C．3
D．6
踪 训
练
核
心 考
[解析] 设数列{an}的公差为 d，将题中两式相减可得 2d＝6，所以 d＝3，所
点
突 破
以 a2＝2(a2＋3)＋1，解得 a2＝－7，所以 a5＝a2＋(5－2)d＝－7＋9＝2，故选 B.
踪 训
核 可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方 练
心
考 点
程组求解.
突
破
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基
础
知
识
诊
断
课
1．(2020·福州一模)在等差数列{an}中，若 a2＝1，a8＝2a6＋a4，则 a5 的值是( B )
后 跟
A．－5
核
B．－12
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)．
识 诊 断
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . 课
(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d .
后 跟
(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为 d，则{pan＋qbn}也是等差数列．
课 后
公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的
跟 踪
训
核 问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
练
心
考
点
突
破
第3页
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基 础 知 识 诊 断 核 心 考 点 突 破
第4页
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基础知识诊断
课
后
跟
踪
训
练
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基
1．等差数列的有关概念
础
知 识
(1)等差数列的定义
诊 断
一般地，如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的差等 课
后
于 同一个常数
，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列
跟 踪
训
核 的公差，通常用字母 d 表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2) 练
课
是 an＝a1＋(n－1)d(n∈N*) ．
后 跟
踪
核 心 考
(2)等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d，其前
n
项和
Sn＝na1＋nn－2 1d
训 练
点 突 破
或 Sn＝na12＋an(n∈N*)
．
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3．等差数列的常用性质
基
础 知
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第 六 章
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数列(必修 5)
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基 础 知 识 诊 断
第二节
核 心 考 点 突 破
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等差数列及其前 n 项和
课 后
跟
踪
训
练
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基
础
知
识
诊
断
新课程标准：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和
课 后
跟
＝an＋an＋2.( √ )
踪 训
核 心
(2)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( √ )
练
考 点
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( × )
突 破
(4)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × )
第10页
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第11页
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基
础
知 识
3．(2020·贵阳市质量监测)在等差数列{an}中，若 a1＋a9＝8，则(a2＋a8)2－a5
诊 断
＝( A )
课
后
A．60
B．56
跟 踪
训
核
C．12
D．4
练
心
考 点
[解析] 在等差数列中 a1＋a9＝a2＋a8＝2a5＝8，所以(a2＋a8)2－a5＝64－4＝
知 识
【例 1】 (1)(2019·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，
诊 断
a5＝5，则( A )
课 后
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
跟 踪
训
核 心
C．Sn＝2n2－8n
D．Sn＝12n2－2n
练
考
点 突 破
(2)(2019·全国卷Ⅲ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a1≠0，a2＝3a1，则SS150
跟 踪
核
[思路引导] (1)S3，S9，S6 成等差数列→求出 q 的值(注意对 q＝1 的讨论)→用
训 练
心 考
a2 表示 a8，a5→等差中项法证明结果．
点
突 破
(2)2am＋2＝am＋1＋am→求出 q→用 a1 表示 Sm，Sm＋2，Sm＋1→判断 Sm，Sm＋2，Sm＋
1 是否成等差数列．
练
考 点
∴7d＝21，∴d＝3，又 a3＋a7－a10＝－1，∴a1－d＝－1，∴a1＝2，∴数列{an}
突
破 的前 8 项和为 S8＝8×2＋8×2 7×3＝100，故选 D.
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基
础
知
识 诊 断
5．(必修 5P38 例 1 改编)已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第 20 项为 课
踪 训 练
核 心
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差
考
点 突
为 md 的等差数列．
破
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
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基
础
知
识
诊
断
1．两个重要技巧
课 后
(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为 a－d，a，a＋d.
最大值 Sm；若 a1<0，d>0，则满足aamm≤＋1≥0，0 的项数 m 使得 Sn 取得最小值 Sm.
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基
础
知 识
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
诊
断
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1
＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝n2－4n.故选 A.
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基 础 知
解法二：设等差数列{an}的公差为 d，∵Sa45＝ ＝05， ，
识
诊 断
∴4a1＋4×2 3d＝0， a1＋4d＝5，
解得ad1＝＝2－. 3， 选项 A，a1＝2×1－5＝－3；选项 B，