(专题精选)初中数学二次函数难题汇编附答案解析

（专题精选）初中数学二次函数难题汇编附答案解析
一、选择题
1．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ；
②c ＝a+3；
③a+b+c ＜0；
④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；
由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；
由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a
=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；
由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
故选C ．
考点：二次函数的图像与性质
2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】 根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线x=－
2b a
=1 ∴b<0
∴abc ＞0；①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y<0，
即a-b+c<0，所以②不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴2
44ac b a =m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确；
∵抛物线与直线y=m 有一个公共点，
∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，
∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选:C ．
【点睛】
考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．
3．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12
x 的图象上有三点（x 1，m ）、
（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ）
A ．3122m -+
B ．0
C ．1
D ．2 【答案】D
【解析】
【分析】 根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．
【详解】 解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣
12
x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ），
∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）
∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1， ∴
232
x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2， ∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12
x 上， ∴m ＝﹣
12
x 1， ∴x 1＝﹣2m ， ∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．
4．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC
--
运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2
cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，
AB 2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm ．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==g
g g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =
⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2
⨯⨯=;
当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21
1226,2
y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．
故选：B ．
【点睛】 此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.
5．将抛物线243y x x =
-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）
A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先把抛物线243y x x =
-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】
∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--
∴其顶点坐标为：(2,−1)，
∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.
【点睛】
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
6．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，有以下结论：
①a +b +c ＜0；②a ﹣b +c ＞1；③abc ＞0；④9a ﹣3b +c ＜0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是( )
A ．①②
B ．①③④
C ．①②③④
D ．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．
【详解】
由图象可知，a ＜0，c=1，
对称轴：x=b
12a
-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；
②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；
③abc=2a 2＞0，正确；
④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；
⑤c−a=1−a ＞1，正确；
∴①②③④⑤正确．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
7．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )
A ．﹣4＜P ＜0
B ．﹣4＜P ＜﹣2
C ．﹣2＜P ＜0
D ．﹣1＜P ＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．
∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a
-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．
∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，
∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．
∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．
故选A ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
8．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；
②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；
③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；
④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112
a ≤-． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．
【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭
当2x =时，1
42(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1
当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0
则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a
-=-=-+ 0a <Q
1114a
∴-+> 01x ∴>，则说法②错误 由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a
<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a
≥-+时，y 随x 的增大而减小
因11104a -+>> 则当1014x a <-
≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a
≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误 0m >Q
44m ∴+>
由12y y >总成立得，其对称轴1144x a
=-+≤ 解得112
a ≤-
，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个
故选：B ．
【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
9．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜
0；③﹣
43
≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】 解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；
3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；
∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43
≤a ≤﹣1，故③正确；
∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；
一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．
点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．
10．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），
∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，
∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，
故选：D ．
【点睛】
此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．t ＞﹣5
B ．﹣5＜t ＜3
C ．3＜t≤4
D ．﹣5＜t≤4
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．
【详解】
∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．
12．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．
【详解】
解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，
此时，,2AP t BQ t ==
2122
APQ S t t t =⋅⋅=V ，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，
此时，AP t =，APQ V 底边AP 上的高保持不变
1422
APQ S t t =⋅⋅=V ，函数图象为一次函数； 故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．
13．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】
当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b
a ＞0，且a ＞0，则
b ＜0，
但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．
故选C ．
14．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．
【详解】
抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣21
2a +＝﹣a ﹣1
2，
纵坐标为：y ＝()()2
24214a a a --+＝﹣2a ﹣1
4，
∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +3
4，
∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．
15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】C
【解析】
【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
16．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cm S ，则()2
cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．
【详解】
解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+，
可解得8AB =，6BC =，即6AD =，
①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，
S △APQ =211222
AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确；
②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，
S △APQ =118422
AP AB t t =⨯=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．
17．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )
A ．3或6
B ．1或6
C ．1或3
D ．4或6
【答案】B
【解析】
分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，
解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意；
当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1，
解得：h 3=4（舍去），h 4=6．
综上所述：h 的值为1或6．
故选B ．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．
18．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．3【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q的速度为
3a
T
，故点P、Q的速度比为3：3，
故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，
由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝63，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1
2
＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33
3，
PQ22
PH HQ
+39
+3，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
19．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（）
A ．①⑤
B ．②④
C ．②③④
D ．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a
=1，故正确；④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确．
【详解】
解：①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；
②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；
③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a
=1，故正确； ④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；
⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确；
故选D ．
【点睛】
考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y 的值．
20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③3a+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】 试题解析：①由开口向下，可得0,a <
又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，
再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ，
故①错误；
②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ......（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< (2)
（1）+（2）×2得，630a c +<，
即20a c +<，
又因为0,a <
所以()230a a c a c ，
++=+< 故③错误；
④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<
即()()22
()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦ 所以22
().a c b +<
故④正确，
综上可知，正确的结论有2个.
故选B ．。