最新-2018届高考数学第一轮基础课后作业 正弦定理和余

2018届高考数学第一轮基础课后作业：正弦定理和余弦定理
1.(2018·重庆理，6)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2
－c 2
＝4，且
C ＝60°，则ab 的值为( )
A.4
3 B ．8－
4 3 C ．1 D.2
3
[答案] A
[解析] 在△ABC 中，C ＝60°， ∴a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab cos C ＝ab ，
∴(a ＋b )2
－c 2
＝a 2
＋b 2
－c 2
＋2ab ＝3ab ＝4， ∴ab ＝4
3
，选A.
2．(文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，π3 [答案] A
[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22
， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <
π
4
. (理)(2018·湖北八校联考)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么
a 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(1,2)
[答案] C
[解析] 由条件知，a sin60°<3<a ，∴3<a <2.
3．(2018·深圳二调)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120° [答案] D
[解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝3
2
.又0°<B <180°，
因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.
4．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )
A ．120°
B ．118°
C ．90°
D ．75° [答案] A
[解析] ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝
⎛⎭
⎪⎫
32sin C ＋12cos C ，
即sin C ＝－3cos C ，∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.故选A.
(理)(2018·郑州六校质量检测)△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c b
<cos A ，则△ABC 为( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形 [答案] A
[解析] 依题意得sin C
sin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A
＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC
是钝角三角形，选A.
5．(文)(2018·福建质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c ＝42，B＝45°，则sin C等于( )
A.
4
41
B.
4
5
C.
4
25
D.
441
41
[答案] B
[解析]依题意得b＝a2＋c2－2ac cos B＝5，
又
c
sin C
＝
b
sin B
，所以sin C＝
c sin B
b
＝
42sin45°
5
＝
4
5
，选B.
(理)(2018·湖南理)在ΔABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[答案] A
[解析]∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2ab cos C
∴a2－b2＝ab，
又∵a>0，b>0，∴a－b＝ab
a＋b
>0，所以a>b.
6．(文)(2018·天津理)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3 bc，sin C＝23sin B，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] A
[解析]由余弦定理得：cos A＝b2＋c2－a2
2bc
，由题知b2－a2＝－3bc，c2＝23bc，则cos A
＝
3
2
，
又A∈(0°，180°)，∴A＝30°，故选A.
(理)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B
＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( ) A．1＋ 3 B．3＋ 3
C.3＋3
3
D．2＋ 3
[答案] C
[解析] 12ac sin B ＝1
2，∴ac ＝2，
又2b ＝a ＋c ，∴a 2
＋c 2
＝4b 2
－4， 由余弦定理b 2
＝a 2
＋c 2－2ac cos B 得，b ＝
3＋3
3
. 7．(文)(2018·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 2
3
＝1上，则
sin A ＋sin C
sin B
的值为________．
[答案] 2
[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA
AC
＝2.
(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________． [答案]
3<c < 5
[解析] 边c 最长时：
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 2
2×1×2
>0，
∴c 2
<5.∴0<c < 5.
边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－4
2c
>0，
∴c 2
>3.∴c > 3. 综上，3<c < 5.
8．(2018·广州一测)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，
C ＝π
3
，a ＝2b ，则b 的值为________．
[答案]
3
[解析] 依题意及余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，即9＝(2b )2
＋b 2
－2×2b ×b cos π3
，解得b 2
＝3，∴b ＝ 3.
1.(文)(2018·深圳二调)已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB ，BC 分别是3＋2，3－2
的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( )
A.
32 B.34
C.
32或 3 D.32或34
[答案] D
[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ，
3sin C
＝
1sin30°，即sin C ＝3
2
.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝
90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B
＝12×3×1×sin30°＝3
4
.综上所述，选D. (理)(2018·泉州质检)△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos C ，b cos B ，
c cos A 成等差数列，则角B 等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120° [答案] B
[解析] 依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得，sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，又0°<B <180°，所以cos B ＝1
2
，所以B ＝60°，选B. 2．(文)(2018·枣庄八中)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的长度分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3
，△ABC 的面积等于3，则a ，b 的值分别为( )
A ．a ＝1，b ＝4
B ．a ＝4，b ＝1
C ．a ＝4，b ＝4
D ．a ＝2，b ＝2 [答案] D
[解析] 由余弦定理得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以1
2ab sin C ＝3，
∴ab ＝4.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＋b 2
－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.
(理)△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 边的长是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
[答案] C [解析] 由条件知
⎩⎪⎨⎪⎧
12bc sin60°＝10 3 b ＋c ＋b 2＋c 2－2bc cos60°＝
由(1)得bc ＝40，由(2)得b ＋c ＋
b ＋c
2
－3bc ＝20(3)
将bc ＝40代入(3)中，解方程得b ＋c ＝13， ∴b ＝8，c ＝5或b ＝5，c ＝8，
∴a ＝b 2
＋c 2
－2bc cos60°＝7，故选C. 3.
(2018·天津理，6)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )
A.
33 B.3
6 C.
63 D.66
[答案] D
[解析] 如图，根据条件，设BD ＝2，则AB ＝3＝AD ，BC ＝4. 在△ABC 中，由正弦定理：3sin C ＝4sin A
在△ABD 中，由余弦定理： cos A ＝
3＋3－4
2×3×3＝13，∴sin A ＝223 ∴sin C ＝3sin A 4＝3×
2234＝6
6
，故选D.
4．(2018·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝310
10，若最长边为1，则最
短边的长为( )
A.
455 B.35
5 C.
255 D.55
[答案] D
[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32，
∴0<B <
π
6
，∴C 为最大角， 由cos B ＝31010知，tan B ＝1
3，∴B <A ，∴b 为最短边，
由条件知，sin A ＝
15
，cos A ＝
25
，sin B ＝
110，
∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝15×
310＋25×
110＝2
2
， 由正弦定理，b sin B ＝c sin C 知，b 110＝12
2
，∴b ＝5
5.
5．(文)(2018·河南质量调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且
满足cos A 2＝255
，AB →·AC →
＝3，则△ABC 的面积为________．
[答案] 2
[解析] 依题意得cos A ＝2cos
2
A
2－1＝35，∴sin A ＝1－cos 2
A ＝45
，∵AB →·AC →＝AB ·AC ·cos A ＝3，∴AB ·AC ＝5，∴△ABC 的面积S ＝1
2
AB ·AC ·sin A ＝2.
(理)(2018·新课标全国)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． [答案] 27
[解析] 依题意，由正弦定理得：
AB ＝
3
sin60°
·sin C ＝2sin C ，同理BC ＝2sin A .
∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A
＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)(其中tan φ＝35
) ∴AB ＋2BC 的最大值为27.
6．(文)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2
B
2
－1)且m ∥n .
(1)求锐角B 的大小；
(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．
[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．
[解析] (1)∵m ∥n ，
∴2sin B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2
B
2－1＝－3cos2B
∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π) ∴2B ＝
2π3，∴B ＝π3
. (2)∵B ＝π
3
，b ＝2，
∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac 得，
a 2＋c 2－ac －4＝0
又∵a 2
＋c 2
≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)
S △ABC ＝12ac sin B ＝
3
4
ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．即△ABC 面积的最大值为3.
[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新颖精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处命题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．
(理)(2018·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →
)＝18，求边c 的长． [解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．
在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C . ∴m ·n ＝sin C . 又∵m ·n ＝sin2C ，
∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .
又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π
3.
(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得， 2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得，2c ＝a ＋b .
∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →
＝18.
即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝1
2，所以ab ＝36.
由余弦定理得，c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝(a ＋b )2
－3ab .
∴c 2
＝4c 2
－3×36，∴c 2
＝36.∴c ＝6.
7．(文)(2018·安徽文)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA ＝1213
. (1)求AB →·AC →；
(2)若c －b ＝1，求a 的值． [解析] ∵0<A <π，cos A ＝
1213，∴sin A ＝513
. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×5
13＝30.
∴bc ＝156.
(1)AB →·AC →＝|AB →|·|AC →
|·cos A ＝b ·c ·1213＝156×12
13
＝144.
(2)由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
bc ＝156
c －b ＝1，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝－13
c ＝12(舍)或⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝12
c ＝13
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝12
c ＝13在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝132＋122
－2×13×12×
12
13
＝132
－122
＝(13＋12)(13－12)＝25.∴a ＝5.
(理)(2018·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别
为a ，b ，c ，且a cos C ＋1
2
c ＝b .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． [解析] (1)由a cos C ＋1
2c ＝b 得
sin A cos C ＋1
2
sin C ＝sin B
又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ∴1
2sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝1
2，
又∵0<A <π，∴A ＝
π3
. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝
a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝2
3
sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋
2
3
(sin B ＋sin C )
＝1＋
23
(sin B ＋sin(A ＋B ))
＝1＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6
∵A ＝
π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，5π6，
∴sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫B ＋
π6∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]． 解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c 由(1)及余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， ∴b 2
＋c 2
＝bc ＋1， ∴(b ＋c )2
＝1＋3bc ≤1＋3⎝
⎛⎭
⎪⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，
又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]， 即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．
1．(2018·泰安模考)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．45°或135°
[答案] B
[解析] ∵AC ·sin60°＝42×
32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°
， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. 2．(2018·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3
C.32
D ．2 [答案] C
[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，
∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323
＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，
∴S △ABC ＝12ab ＝32
. 3．(2018·豫南四校调研考试)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( )
A ．2 2 B.32 C.23
D ．3 2 [答案] A
[解析] 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12
×AB ×BC sin B ＝x 1－cos 2B ①，根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 2
4x
②，将②代入①得，S △ABC ＝
x 1－4－x 24x 2＝128－x 2－216，由三角形的三边关系得⎩⎨⎧ 2x ＋x >2x ＋2>2x ，解得22
－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.
4．(2018·金华期末)△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2
)，则角C 的度数是( )
A ．60°
B ．45°或135°
C ．120°
D ．30°
[答案] B
[解析] ∵a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2， ∴cos 2C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab 2
＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22
. ∴C ＝45°或135°.
5．(2018·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2
)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )
A.
π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 [答案] D
[解析] 由(a 2＋c 2－b 2
)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2
ac ·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3
，故应选D. 6．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．
①a ＝1，b ＝2，B ＝45°； ②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；
③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；
④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.
[答案] ①④
[解析] ①由a sin B ＝
22<1<2知，有一解． ②由b ·sin A ＝152
<5<15知，有两解； ③由b ·sin A ＝10>6知，无解．
④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．
7．(2018·海淀市模拟)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a＝c sin A，
则a＋b
c
的最大值为________．
[答案] 2
[解析]由a＝c sin A及正弦定理得sin A＝sin C·sin A，从而有sin C＝1，∠C＝90°，
所以有a2＋b2＝c2，a＋b
c
＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
a＋b
c
2＝
a2＋b2＋2ab
c2
≤
a2＋b2＋a2＋b2
c2
＝ 2.
8．(2018·安阳月考)在△ABC中，C＝60°，a，b，c分别为A，B，C的对边，则a
b＋c
＋b
c＋a
＝________.
[答案] 1
[解析]∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，
∴
a
b＋c
＋
b
a＋c
＝1.。