七年级上册南京一中实验学校数学期末试卷综合测试(Word版 含答案)

七年级上册南京一中实验学校数学期末试卷综合测试（Word版含
答案）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．
（1）求点D的坐标；
（2）如图（1），求△ACD的面积；
（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵B（3，0），
∴OB＝3，
∵BC＝8，
∴OC＝5，
∴C（﹣5，0），
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴D（﹣2，﹣4）
（2）解：如图（1），连接OD，
∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16
（3）解：∠M＝45°，理由是：
如图（2），连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠DCB＝∠ABO，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB+∠DCB＝90°，
∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，
∴∠MCB＝，∠OAM＝，
∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，
△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，
△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，
∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，
∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.
（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.
（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，
利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.
2．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE=90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=________°；（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）20
（2）解：如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°
（3）解：∠COE-∠BOD=20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，
即∠COE-∠BOD=20°
【解析】【解答】⑴如图①，∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°；
【分析】（1）根据角度的换算可知∠COE和∠BOC互余，那么根据∠COB=70°可得∠COE=20°；
（2）根据角平分线和∠BOC可得∠BOE=140°，∠COE=∠BOC=90°，所以它的余角∠COD=20°；
（3）一个是直角∠EOD，，一个是70°∠BOC，这两个角里都包含了同一个角∠COD，那么大家都减去这个∠COD的度数，剩下的两角差与原两角差是一致的，所以可得出结论∠COE-∠BOD=20°。

3．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
（1）若∠AOC=60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数.
（2）若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD= ∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数．
【答案】（1）解：∠AOD= ×∠AOC= ×60°=30°，∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°（2）解：∵∠AOD和∠DOE互余，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
∴∠AOD= ∠AOE= ×90°=30°，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠COE=90°﹣∠AOC=30°
【解析】【分析】（1）①由角平分线的定义可得：∠AOD=∠COD= ∠AOC即可求解；
②由邻补角的定义可得：∠BOC+∠AOC= 180°，所以∠BOC= 180° -∠AOC即可求解；
（2）①由互为余角的定义和图形可得∠AOE=∠AOD+∠DOE= 90°，所以∠AOD= ∠AOE 可求解；②由①可得∠AOD的度数，由角平分线的定义可得∠AOC=2∠AOD，所以∠COE=∠AOE-∠AOC，把∠AOE和∠AOC的度数代入计算即可求解。

4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC=∠MOB=60°，
又∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BON=30°，
∴∠CON=120°+30°=150°，
∴∠COD=30°，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC
（2）解：由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°
因此ON旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，
由题意得，6t=60°或240°，
∴t=10或40
（3）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°
【解析】【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD 平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．
（1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠5=∠C；
∵AD平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE垂直平分AD
（2）解：△ABD、△GAE是等边三角形．理由：
∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，
∴∠ABD=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAM=60°，
∵AD平分∠CAM，
∴∠4= ∠CAM=30°，
∴∠ADB=∠4+∠C=60°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，
∴△ABD是等边三角形；
∵在Rt△BGM中，∠BGM=60°=∠AGE，
在Rt△ACM中，∠CAM=60°，
∴∠AEG=∠AGE=∠GAE，
∴△AEG是等边三角形．
【解析】【分析】（1）根据余角的性质即可得到∠5=∠C；由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．（2）根据∠5=∠C=30°，AM⊥BC，可得∠ABD=60°，∠CAM=60°，进而得到∠ADB=∠4+∠C=60°，∠BAD=60°，依据∠ABD=∠BDA=∠BAD，可得△ABD是等边三角形；根据∠AEG=∠AGE=∠GAE，即可得到△AEG是等边三角形．
6．如图，∠AOB＝α，∠COD＝β（α＞β），OC与OB重合，OD在∠AOB外，射线OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的角平分线.
（1）①若α＝100°，β＝60°，则∠MON等于多少；
②在①的条件下∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜100（且n≠60）时，求∠MON的度数；
（2）直接写出∠COD绕点O逆时针旋转n°（0＜n＜360）时∠MON的值（用含α、β的式子表示）.
【答案】（1）解：①∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD），
又∵∠AOB＝100°，∠COD＝60°，
∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD）＝ ×（100°+60°）＝80°.
②如图1，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，
∴∠BOC＝n°，
∴∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣ n°，∠BON＝∠BOD＝30°﹣ n°，
∴∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON＝80°；
如图2，∵∠COD绕点O逆时针旋转n°，
∴∠BOC＝n°，
∴∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝50°﹣ n°，∠DON＝∠BOD＝ n°﹣30°，
∴∠MON＝∠COM+∠COD+∠DON＝80°
（2）解：∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠MON＝（α+β）或180°﹣（α+β）；
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠BOM和∠CON的度数，然后相加即可得出答案；②根据旋转的性质可知∠BOC=n°，分两种情况进行讨论：如图1，∠BOD＝60°﹣n°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COB+∠BON进行计算即可得出结论；如图2，∠BOD＝n°﹣60°，∠AOC＝100°﹣n°，根据角平分线的定义得出∠COM和∠BON的度数，然后根据∠MON＝∠COM+∠COD+∠BON进行计算即可得出结论；（2）根据①、②的解题思路即可得到结论.
7．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，，
（1）图1中 ________
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值；
②是否存在？若存在，求此时的的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）75
（2）解：①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°−∠AOE−∠COD＝120°−α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°− α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°−α，
∴∠AOB═90°− α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°−45°−30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°−α，∠BOC＝135°−α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°−α＝2（120°−α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α−120°，∠BOC＝135°−α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°−α＝2（α−120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD.
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°−∠AOB−∠COD＝75°，
故答案为：75；
【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论.
8．如图①，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方.
（1）在图①中， ________度；
（2）将图①中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部，如图②，若
，求的度数；
（3）将图①中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是________秒.（直接写出结果）
【答案】（1）30
（2）解：设∠BON=α，
∵∠BOC=60°，
∴∠NOC=60°-α，
∵∠MON=90°，
∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，
∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，
∵∠NOC= ∠MOA，
∴60°-α= （90°-α），
解得：α=54°，
即∠BON=54°；
（3）3或21
【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB 上，另一边OM在直线AB的上方，
∴∠MON=90°，
∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°，
∴∠BON=30°或∠BON=210°，
∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，
∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒，
故答案为：3或21.
【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-
∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=54°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．
9．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．
（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；
（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；
（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．
【答案】（1）解：结论：∠ECD＝90°+∠ABE．
理由：如图1中，延长BE交DC的于H．
∵AB∥CH，
∴∠ABE＝∠H，
∵BE⊥CE，
∴∠CEH＝90°，
∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，
∴∠ECD＝90°+∠ABE．
（2）解：如图2中，作EM∥CD，
∵EM∥CD，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴∠FEM＝90°，
∴∠CEF与∠CEM互余，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEM与∠CEM互余，
∴∠CEF＝∠BEM，
∴∠CEF＝∠ABE
（3）解：如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．
∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，
∴∠ABE＝∠CEF＝2α，
∵AB∥CD∥EM，
∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED＝∠FED＝2α+β，
∴∠DEC＝β，
∵∠BEC＝90°，
∴2α+2β＝90°，
∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，
∵∠ABK＝180°，
∴∠ABE+∠DBE+∠KBD＝180°，
即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，
∴6α+（2α+2β）＝180°，
∴α＝15°，
∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°
【解析】【分析】（1）延长BE交DC的延长线于H，由AB∥CH，两直线平行内错角相等，得∠ABE＝∠H，由BE⊥CE，结合外角的性质得∠ECD等于90°+∠H，于是等量代
换求得∠ECD＝90°+∠ABE；
（2）作EM∥CD，由平行线的传导性，得AB∥CD∥EM，两直线平行内错角相等，得∠BEM＝∠ABE，由同旁内角互补，得∠F+∠FEM＝180°，则∠F＝90°，∠FEM也等于90°，根据同角的余角相等，∠CEF＝∠BEM，所以等量代换，得∠CEF＝∠ABE；（3）设∠GEF＝α，∠EDF＝β ,根据平行线的性质定理和角平分线的定义，结合已知条件把相关角全部用含α和β的代数式表示；由∠BEC=90°和∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°分别列两个关于α和β的二元一次方程，解出α和β，则可求出∠BEG的度数。

10．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM=4cm，当点C、D运动了2s，此时AC=________，DM=________；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD=2AC，则AM=________（填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．
【答案】（1）2；4
（2）解：当点C、D运动了2 s时，CM=2 cm，BD=4 cm
∵AB=12 cm，CM=2 cm，BD=4 cm
∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm
（3）4
（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN=MN，
又∵AN﹣AM=MN
∴BN=AM=4
∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4
∴ = = ；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN=MN，
又∵AN﹣BN=AB
∴MN=AB=12
∴ = =1；
综上所述 = 或1
【解析】【解答】解：（1.）根据题意知，CM=2cm，BD=4cm，
∵AB=12cm，AM=4cm，
∴BM=8cm，
∴AC=AM﹣CM=2cm，DM=BM﹣BD=4cm，
故答案为：2，4；
（3.）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，
∵MD=2AC，
∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，
∴AM+2AM=AB，
∴AM= AB=4，
故答案为：4；
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；（2）由题意得CM=2 cm、BD=4 cm，根据AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD可得答案；（3）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以
AM= AB；（4）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
11．根据下图回答问题：
（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD=90°，
理由：如图，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，
∵∠M=90°，
∴∠BAM+∠MCD=90°；
（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．
理由：过点G作GP∥AB，
∵AB∥CD
∴GP∥CD，
∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．
【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．
12．如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
（1）求∠ECF的度数；
（2）随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
（3）当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF
∴∠ECF= ∠ACD=70°
（2）解：不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．
∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP
∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC
（3）解：∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD
当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF
∴∠PCD=∠ACD=70°
∴∠APC=∠PCD=70°
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数．
13．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.
（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；
（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；
（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.
【答案】（1）75
（2）解：如图2，
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，
∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC；
∵∠BEC=140°，
∴∠BE1C=70°；
（3）
【解析】【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；
故答案为：75；
（ 3 ）如图2，
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴由（1）可得，
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC；…
以此类推，∠E n= ∠BEC，
∴当∠BEC=α度时，∠BE n C等于 °.
故答案为： .
【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE=75°；（2）先根据∠ABE和
∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+
∠DCE= ∠BEC；（3）根据∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，得出∠BE2C=
∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C= ∠BEC；…据此得到规律∠E n= ∠BEC，最后求得∠BE n C的度数.
14．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求
的度数.
天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2，，求的度数.
（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，
∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；
【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）
如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，
∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF.
15．（探索新知）
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．
（1）若AC＝3，则AB＝________；
（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC________DB；
（3）（深入研究）如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．
【答案】（1）3π+3
（2）=
（3）解：由题意可知，C点表示的数是π+1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，
x+πx=π+1，解得x=1，
∴MN=π+1-1-1=π-1
（4）解：设点D表示的数为x，
如图3，若CD=πOD，则π+1-x=πx，解得x=1；
如图4，若OD=πCD，则x=π（π+1-x），解得x=π；
如图5，若OC=πCD，则π+1=π（x-π-1），解得x=π+ +2；
如图6，若CD=πOC，则x-（π+1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；
综上，D点所表示的数是1、π、π+ +2、π2+2π+1
【解析】【解答】（1）解：∵AC=3，BC=πAC，
∴BC=3π，
∴AB=AC+BC=3π+3
（ 2 ）解：∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC=πAC，AD=πBD，
∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，
∵AB=AC+BC=AD+BD，
∴x+πx=y+πy，
∴x=y
∴AC=BD
【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.。