新湘教版高中数学选择性必修第二册2.2空间向量及其运算

3 ． 在 如 图 所 示 的 正 方 体 中 ， 下 列 各 对 向 量 的 夹 角 为 45° 的 是
(
)．
A．AB与A′ C′ B．AB与C′ A′
C．AB与A′ D′ D．AB与B′ A′
答案：A
解析：对于A，因为AB＝A′ B′ ，所以AB与A′ C ′ 的夹角为45°，故A正确；
对于B，因为AB＝A′ B′ ，所以AB与C ′ A′ 的夹角为135°，故B不正确；
1
OB＝b，〈a，b〉＝α.过点B作BB1⊥OA，垂足为点B1，则________为
|1 |
OB在OA方向上的投影向量，投影向量的模________＝|OB||cos
α|称为
投影长，称___________为OB在OA方向上的投影，其正负表示OB
|CB|cos α
1与
OA方向相同还是相反．
基 础 自 测
相反
相等
长度为零的向量．
长度为________的向量．
1
对于空间任意两个向量a、b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为
实数，则b与a共线或平行，记作________．
b∥a
类比平面向量记忆．
要点二
空间向量的加减与数乘运算
运算
加法a＋b❸
法则(或几何意义)
运算律
(1)交换律：
a＋b＝________；
b＋aபைடு நூலகம்
B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构
成一个圆
C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量
D．不相等的两个空间向量的模可能相等
答案：D
解析：对A，零向量的相反向量是本身，故A错；
对B，终点构成一个球面，故B错；
对C，向量不能比较大小，故C错；
对D，相反向量是不相等向量，但它们的模长相等，故D正确．
题型 2 共线向量的应用
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E在A1D1 上，且1 ＝
2
2ED1 ，F在对角线1 上，且A1F＝ FC，求证：E，F，B三点共线.
批注❹ 注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；
当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0．
要点三 空间向量的数量积
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB叫做向量a，b的夹角❺，记作________，其取值范围为[0，π].
〈a，b〉
批注❺ 关键是起点相同！
对于C，因为AB＝A′ B′ ，所以AB与A′ D′ 的夹角为90°，故C不正确；
对于D，因为AB＝A′ B′ ，所以AB与B′ A′ 的夹角为180°，故D不正确．
4．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，CB＝b，AD＝c，则CD＝
________．
－a＋b＋c
解析：CD＝CB + BA + AD＝CB − AB + AD＝－a＋b＋c.
2．空间向量的数量积
定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉❻为a与b的数量积．
批注❻
(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．
(2)零向量与任意向量的数量积等于零．
3．性质
|a|2
·
a⊥b
a·b＝0⇔________，a·
a＝________，|a|＝________，cos
〈a，b〉
·
下各向量：
①AP；②A1 N．
方法归纳
空间向量线性运算的3个技巧
巩固训练1 如图所示，在平行六面体ABCD − A1 B1 C1 D1 中，O为AC
的中点．
1
1
(1)化简：A1 O－ AB − AD；
2
2
2
(2)设E是棱DD1上的点，且DE＝ DD1 ，
3
若EO＝xAB + yAD + zAA1 ，试求实数x，y，z的值．
有向线段
表示 ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可
法
以记作AB，其模记为|a|或|AB|.
批注❶
空间向量在空间中是可以任意平移的．
2.几类特殊向量❷
相等向量
相反向量
零向量
单位向量
共线向量
(平行向量)
批注❷
相同
相等
方向________且长度________的向量．
方向________、长度________的向量．
2．2 空间向量及其运算
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点
要点一 空间向量
1．空间向量的概念
❶．
大小
方向
定义 把空间中既有________又有________的量称为空间向量
向量的________叫作向量的长度或________．
长度
大小
模
①几何表示法：空间向量用________表示．
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝________
a＋(b＋c)
减法a－b
数乘λa❹
a－b＝a＋(－b)
(1)|λa|＝________；
|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的
λ(a＋b)＝λa＋λb.
方向________；当λ＜0时，λa
相同
(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a.
的方向与a的方向________；
相反
当λ＝0时，λa＝0
批注❸ 当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多
边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有
向 线 段 表 示 的 向 量 就 是 它 们 的 和 ， 即
0 1 +1 2 +2 3 …+−2 −1 +−1 =0
＝________．
||||
4．运算律❼
(λa)·b
λ(a·b)＝________，a·
b＝________(交换律)，a·
(b＋c)＝________(分
b·a
a·b＋a·c
配律)．
批注❼ 特别提醒：不满足结合律(a·b)·cԦ＝a·(b·cԦ)．
5．投影向量
如图，将空间任意两个向量a，b平移到同一个平面内，可得OA＝a，
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一
致．( √ )
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( × )
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( × )
2．下列说法正确的是(
)
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
题型探究·课堂解透
题型 1 空间向量的线性运算
例1 (1)(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结
果为BD1 的是(
)
答案：AB
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1 ＝a，AB＝b，
AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以