2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅰ卷)(含答案)

n
项和为 Tn
，证明： Tn

1 2
．
18．（本小题满分 12 分） 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， E 是边 D1C1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的面上，且满足： EF / / 面 A1BC1 。 （Ⅰ）求动点 F 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；
（Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
16． 某工厂现将一棱长为 3 的四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为 ______________．
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（本小题满分 10 分）
x 2 r cos
在平面直角坐标系中，曲线
C1
的参数方程为

y

r
sin

( r 0 ， 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴
π 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 经过点 P(2, 3 ) ，曲线 C2 的极坐标方程为 2 (2 cos 2 ) 6 ．
(1,
3) ，则 a在b方向上的投影为 ______________．
x y 0
2x y 6 0
14．若实数 x, y 满足 x 1
,则 z 2x y 的最大值为______________．
15. 已知函数 f (x) ex ex 1，则关于 x 的不等式 f (2x) f (x 1) 2 的解集为______________．
（Ⅰ）求数列{an} 、{bn} 的通项公式；
（Ⅱ）记 cn

an
an2 an1
bn
，若数列{cn} 的前
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以 cn

2n
(n
n3 1) (n

2)
……………………………………………………8
分

cn

2n1
1 (n
1)

2n

1 (n

2)
……………………………………………………………10
分

Tn

1 ( 20
2

1
21

) 3

1 ( 21 3

1 22 4)

1 (22
4

1 23 5)

( 2n1
1 (n
1)

2n
1 (n

) 2)
Байду номын сангаас

Tn

1 2

2n
1 (n

2)
……………………………………………………………………………………………………11 分

Tn

1 2
…………………………………………………………………………………………12
D.
y

cos

2x

π 6

6. 执行下面的程序框图，如果输入 a 1 ， b 1，则输出的 S （ ）
C． 3
D． 4
12. 在四面体 P ABC 中，△ ABC 为等边三角形，边长为 3 ， PA 3, PB 4, PC 5 ,则四面体 P ABC的体积 为
写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 从 日到 日 PM 2.5 日均值逐渐降低
11. 某人 5 次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为 x, y,9,10,11 ，已知这组数据的平均数为 10，方差为 2，
则 x y =（ ） A．1
B． 2
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.
已知向量
a
，
b
，满足
a

b

2
，且
b

第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12ZxxkCom
答案
C
B
C
B
A
B
C
A
B
C
D
C
第Ⅱ卷
由（1），（2）得 bn 2n …………………………………………………………………………6 分
A． 7 3
B． 5 9
C． 4 9
D． 7 4
10．设
F1
，
F2
是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1a 0,b 0的两个焦点， P 是 C 上一点，若
PF1

PF2
6a ，且 △PF1F2 的
最小内角为 30 ，则 C 的离心率为（ ）
A． 2 C． 3
B． 3 2
D． 6 2
（一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知数列{an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
（Ⅰ）求数列{an} 、{bn} 的通项公式；
（Ⅱ）记 cn

an
an2 an1
bn
，若数列{cn} 的前
（Ⅰ）求曲线 C1 的极坐标方程；
（Ⅱ）若
A(1, )
，
B(2,

π )
2
是曲线 C2
上两点，求
|
1 OA |2

|
1 OB
|2
的值．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23. （本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) | x 1| | 2x 4 | .
（Ⅰ）解不等式： f (x) x2 ；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 f (x) x 2 x2 m 在 0,3上无解，求实数 m 的取值范围.
20．（本小题满分 12 分）
当2bn时n ，S2n

2 2bn1

Sn1

2
，当
n

2
时，
bn

2bn1
（2）………………………5 分
秘密★启用前
2019 年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ） 理科数学参考答案
秘密★启用前
2019 年普通高等学校统一招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅰ）
PM 2.5 （单位： g / m3 )的日均值折线图，则下列说法不正确的是（ ）
理科数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
分
【点评】：本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前 n 项和 Sn 与 an 的关系等
基础知识．同时考查裂项相消法求数列的前 n 项和的探究方法及整体思想，运算求解能力等． 18．（本小题满分 12 分）
正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， E 是边 D1C1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的面上，且满足： EF / / 面
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 1
14.2
15.
x
x


1 3
2 16. 27
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
第Ⅰ卷
C. 这 天中 PM 2.5 日均值的中位数是
D. 这 天中 PM 2.5 日均值最高的是 5 月 日
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
已知椭圆 C :
x2 a2

y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，过点 F2 且垂直于 x 轴的直线截椭圆形成的弦长
为
2 ，且椭圆 C 的离心率为
2 2
，过点
F1
的直线 l
与椭圆 C
交于
M
,
N
两点.
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； uuur uuur
（Ⅱ）若点 R(2, 0) ，且 RM RN ，则当 取得最小值时，求直线 l 的方程.
A． 2π 3
B． 4π 3
C． 2π
D． 2 5π
5．下列函数中同时具有性质:“①最小正周期是
π
,②图象关于
x

π 3
对称,③在

π 6
,
π 3

上是增函数”的函数是(
)
A.
y

sin

2x

π 6
B.
y

cos
2x

π 3

C.
y

sin

x 2

π 6
D1 A1
E C1
B1
D A
C B
19．（本小题满分 12 分） 为了迎接 2019 年高考，了解学生的成绩状况，在一次省质检中，某省教育部门随机抽取了 500 名学生的数学考试 成绩，统计如下表所示：
成绩 X [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]
（）
A． 3
B． 2 3
C． 11
D． 10
A．7
B．20
C．22
D．54
7. 已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在 0,上单调递增，则（ ）
A． f 3 f log313 f 20.6 C． f 20.6 f log313 f 3
（一）必考题：共 60 分。
17．（本小题满分 12 分）
A1BC1 。 （Ⅰ）求动点 F 的轨迹在正方体内形成的平面区域的面积； （Ⅱ）设直线 BD1 与动点 F 的轨迹所在平面所成的角记为 ，求 cos ．
D1 A1
E C1
B1
已知数列{an} 是等差数列， a2 3 ， a5 6 ，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且 2bn Sn 2 ．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) a ln x x2 (2a 1)x,(a R) 有两个不同的零点 （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）设 x1, x2 是 f (x) 的两个零点，证明： x1 x2 2a.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
人数 Y
30
120
210
100
40
（Ⅰ）计算各组成绩的频率，并填写在表中；
成绩 X [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]
人数 Y
30
120
210
100
40
频率
（Ⅱ）已知本次质检数学测试的成绩 X : N (, 2 ) ，其中 近似为样本的平均数， 2 近似为样本方差 s2 ，
2 B． 2
C． 2
D．1
3. PM 2.5 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 PM 2.5 日均值在 35 g / m3 以下空
气质量为一级，在 35 g 75 g / m3 空气量为二级，超过 75 g / m3 为超标．如图是某地 5 月 1 日至 10 日的
1. 如图，U 为全集， M 、 P 、 S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． (M P) S
B． (M P) S
C． (M P) CU S
D． (M P) CU S
2.
z 在复平面内，复数

1
2
i
对应的点到直线
y

x

1 的距离是(
)
1 A． 2
若该省有 10 万考生，试估计数学成绩在 (110,120] 的人数；（以各组区间的中点值代表该组的取值）
（Ⅲ）将频率视为概率，若从该省所有考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中成绩在[105,115) 的人数为 ，求 的分布
列以及数学期望.
参考数据：若 Z : N (, 2 ) ，则 P( Z ) 0.6826 ， P( 2 Z 2 ) 0.9544 ， P( 3 Z 3 ) 0.9974 .
B． f 3 f 20.6 f log313 D． f 20.6 f 3 f log313
8.多项式
3x3 x4

2

1 x
8
的展开式中
x2
的系数为（
）
A． 1280 C． 4864
B．4864 D．1280
9．在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 b 2 7 ， c 3 ， B 2C ，则 cos 2C 的值为（ ）