2018届高三数学人教A版文复习习题：第六章 数列 单元

单元质检卷六数列(B)
(时间:45分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1.(2017河南洛阳一模,文4)已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则=()
A.2
B.3
C.5
D.7
2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()
A.3
B.4
C.5
D.6
3.(2017湖南岳阳一模,文7)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S n=,则a2 017=()
A.2 016
B.2 017
C.4 032
D.4 034
4.(2017吉林长春三模,文9)等比数列{a n}中各项均为正数,S n是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4=()
A.9
B.15
C.18
D.30
5.(2017宁夏银川一中二模,文9)公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()
A.18
B.24
C.30
D.60
6.(2017辽宁沈阳三模)数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+a n+1=3×2n-1,则S2 017=()
A.22 018-1
B.22 018+1
C.22 017-1
D.22 017+1
二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
7.(2017辽宁沈阳一模,文13)等比数列{a n}的公比q>0.已知a2=1,a n+2+a n+1=6a n,则{a n}的前4项和S4= .
8.(2017石家庄二中模拟)已知数列{a n}满足:a1=1,a n=+2a n-1(n≥2),若b n=(n∈N*),则数列{b n}的前n项和S n= .
三、解答题(本大题共3小题,共44分)
9.(14分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,S n=2a n+k,等差数列{b n}的前n项和为T n,且
T n=n2.
(1)求k和S n;
(2)若c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和M n.
10.(15分)(2017陕西渭南二模,文17)已知{a n}为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)记b n=,设{b n}的前n项和为S n,求最小的正整数n,使得S n>.
〚导学号24190982〛11.(15分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=1-,其中n∈N*.
(1)设b n=,求证:数列{b n}是等差数列,并求出{a n}的通项公式.
(2)设c n=,数列{c n c n+2}的前n项和为T n,是否存在正整数m,使得T n<对于n∈N*恒成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,请说明理由.
单元质检卷六数列(B)
1.B由题意,得=a2a8,∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),
∴d2=a1d,∵d≠0,∴d=a1,
∴=3.
2.C∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,
∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.
∴d=a m+1-a m=3-2=1.
∵S m=ma1+×1=0,
∴a1=-.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴-+m=3.∴m=5.故选C.
3.B∵a1=1,S n=,
∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=,可化为,
∴=…==1,∴a n=n.
∴a2 017=2 017.
4.D设等比数列{a n}的公比为q>0,∵2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,
可化为2a1q2=6a1+a1q,即2q2-q-6=0,解得q=2.
又a4=16,可得a1·23=16,解得a1=2.∴S4==30.
5.C设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),化为2a1+3d=0,①
∵S8=16,∴8a1+×d=16,②
联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10××1=30.
6.C由a1=1和a n+1=3×2n-1-a n,可知数列{a n}唯一确定,并且a2=2,a3=4,a4=8,
猜测a n=2n-1,经验证a n=2n-1是满足题意的唯一解.
∴S2 017==22 017-1.
7. ∵{a n}是等比数列,
∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n-1,∴q2+q-6=0.
∵q>0,∴q=2,a2=a1q=1,∴a1=.∴S4=.
8.1- 当n≥2时,a n+1=+2a n-1+1=(a n-1+1)2>0,
两边取以2为底的对数可得log2(a n+1)=log2(a n-1+1)2=2log2(a n-1+1),
则数列{log2(a n+1)}是以1为首项,2为公比的等比数列,log2(a n+1)=2n-1,a n=-1,
又a n=+2a n-1(n≥2),可得a n+1=+2a n(n∈N*),
两边取倒数可得,
即,因此b n=,
所以S n=b1+…+b n==1-,故答案为1-.
9.解 (1)∵S n=2a n+k,
∴当n=1时,S1=2a1+k.
∴a1=-k=2,即k=-2.
∴S n=2a n-2.
∴当n≥2时,S n-1=2a n-1-2.
∴a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1.
∴a n=2a n-1.
∴数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列.∴{a n}=2n.
∴S n=2n+1-2.
(2)∵等差数列{b n}的前n项和为T n,且T n=n2,
∴当n≥2时,b n=T n-T n-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又b1=T1=1符合b n=2n-1,
∴b n=2n-1.∴c n=a n·b n=(2n-1)2n.
∴数列{c n}的前n项和
M n=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,①
∴2M n=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,②
由①-②,得-M n=2+2×22+2×23+2×24+…+2×2n-(2n-1)×2n+1
=2+2×-(2n-1)×2n+1,
即M n=6+(2n-3)2n+1.
10.解 (1)设等差数列{a n}的公差为d,
∵a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,
∴
即
∵d≠0,∴解得a1=1,d=2,
∴{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*.
(2)∵b n=
=
=,
∴{b n}的前n项和S n=1-+…+=1-.
令1-,解得n>1 008,
故满足条件的最小的正整数n为1 009.
11.解 (1)∵b n+1-b n=
==2(常数),
∴数列{b n}是等差数列.
∵a1=1,∴b1=2,因此b n=2+(n-1)×2=2n.
由b n=,得a n=.
(2)由c n=,a n=,得c n=,
∴c n c n+2==2,
∴T n=2+…+
=2<3,
依题意要使T n<对于n∈N*恒成立,只需≥3,即≥3,解得m≥3或m≤-4.
又m为正整数,∴m的最小值为3.。