湖南省益阳市箴言中学2016届高三上学期第三次模拟考试(11月)数学(理)Word版含答案

益阳市箴言中学2016届高三第三次模拟考试
理科数学试题
时量 120分钟 总分 150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M∩N ＝N ，则实数a 的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．0或1或－1 2. 记等比数列{}n a 的公比为q ，则“q >1”是“1+n a >n a (n ∈N *)”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3. 已知sin (4π＋θ)＝5
3，则sin 2θ的值为（ ）
A ．2519-
B ．257-
C ．2516-
D ．25
7
4. 函数)(x f ＝A sin (ωx ＋ϕ)(A>0，ω>0，|ϕ|<2
π)的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分
别为（ ）
A ．2，3π
B ．3，6
π
C ．3，3π
D ．2，6
π
5. 若直线x ·cos θ＋y ·sin θ－1＝0与圆16
1)()1(2
2=-+-θsin y x 相切，且θ为锐角，则该
直线的斜率是（ ） A ．－
33 B ．－3 C ．3
3 D ．3
6. 设函数)(x f ＝⎩⎨⎧>-≤-1
,11
,221x x log x x ，则满足)(x f ≤2的x 的取值范围是（ ）
A ．[－1，2]
B ．[0，2]
C ．[1，＋∞)
D ．[0，＋∞) 7. 正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，
E 为SA 中点，
则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8. 曲线y ＝2
+x ax 在点(－1，a )处的切线方程为2x －y ＋b ＝0，则（ ）
A ．a ＝1，b ＝－1
B ．a ＝1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝3
D ．a ＝－1，b ＝－2
B
D
C A
S
E
9. 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x (a 为常数)所表示的平面区域的面积等
于2，则a 的值为（ ）
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3 10. 下列不等式恒成立的个数有（ ）
①ab ≤2)2(b a +≤2
2
2b a +(a ，b ∈R )； ②222c b a ++≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )； ③若实数a >1，则a ＋1
4-a ≥5； ④若实数a >0，则lga ＋a lg 1≥2.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11. 空间四点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD
＝2AB ＝6，则该球的体积为（ ）
A ．323
π B ．48π C ．643π D ．163π
12. 已知满足条件2
2
y x +≤1的点(x ，y )构成的平面区域的面积为S 1，满足条件2
2
][][y x +≤1
的点(x ，y )构成的平面区域的面积为S 2，其中[x ]、[y ]分别表示不大于x 、y 的最大整数，例如：[－0.3]＝－1，[1.2]＝1等，则S 1与S 2的关系是（ ） A ．S 1＋S 2＝π＋3 B ．S 1＝S 2 C ．S 1>S 2 D ．S 1<S 2
二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若(3b －c )·cos A=a ·cos C ，则cos A= .
14. 设p ：函数)(x f ＝|
|2
a x -在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：2a log <1，如果“⌝p ”是真命题，
“p 或q ”也是真命题，则实数a 的取值范围为 .
15. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1
的半圆，该几何体的体积为 .
16. 满足条件AB=6，AC=2BC 的三角形ABC 的面积的最大值为 .
正视图 侧视图 俯视图
三、解答题：
17. （本小题满分10分）设函数)(x f =x cos 4－2a ·sinx ·cosx －x sin 4的图象的一条对称轴的
方程为x =－8
π.
（1）求实数a 的值；
（2）对于x ∈[0，2
π]，求函数)(x f 的最小值及取得最小值时的x 的值.
18. （本小题满分10分）已知方程2x ＋2
y －2x －4y ＋m ＝0.
（1）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），
求m 的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.
19. （本小题满分12分）已知数列{a n }的首项a 1＝3
2，a n ＋1＝
1
2+n n
a a （n ∈N *） （1）设n
b ＝11-n
a ，求数列}{n
b 的通项公式；
（2）求数列{n
a n }的前n 项和S n .
20. （本小题满分12分）一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度
为每小时10km 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
21. （本小题满分13分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，
EA=DA=AB=2CB ，EA ⊥AB ，M 是EC 的中点.
（1）求证：DM ⊥EB ；（2）求二面角M —BD —A 的余弦值.
22. （本小题满分13分）设)(x f ＝
x
x ln )
1( （x >0）. （1）判定函数)(x f 的单调性；
（2）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式ln (1＋x )<ax 在（0，＋∞）上恒成立？若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由.
D
A E
B
C
M
理科数学试题——参考答案
一、选择题：
DDBD ADCC DCAD
二、填空题： 13、【
3
3】；14、【a >4】；15、【33π】
；16、【12】；
三、解答题：
17、解：（1）∵)(x f =cos 2x －a ·sin 2x =2
1a +cos (2x +ϕ)，又图象的一条对称轴x =－8
π，
∴)8
(π-f =±
21a +，即22(1+a )=±21a +，解得：a =1.
（2）由（1）得：)(x f =2cos (2x +4
π)，
又由x ∈[0，2π]得：4π≤2x +4π≤4
5π，
∴－1≤cos (2x +4π)≤
22，∴)(x f min
=－2，当且仅当2x +4π=π，即x =8
3π，
∴)(x f 的最小值为－2，此时x =8
3π.
18、解：（1）由D 2＋E 2－4F>0得：04)4()2(2
2
>--+-m ，解得m <5；
（2）设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，由x ＋2y －4＝0得：x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入2x ＋2
y
－2x －4y ＋m ＝0得：52
y －16y ＋8＋m ＝0，∴1y ＋2y ＝516，1y 2y ＝5
8m +，∵OM ⊥ON ，
∴
2
2
11x y x y ⋅＝－1，即1x 2x ＋1y 2y ＝0，∵1x 2x ＝(4－21y )(4－22y )＝16－8(1y ＋2y )＋41y 2y ，∴1x 2x ＋1y 2y ＝16－8(1y ＋2y )＋51y 2y ＝0，即(8＋m )－8×5
16＋16＝0，解得m
＝5
8；
（3）设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝21(1x ＋2x )＝54，b ＝21(1y ＋2y )＝5
8，半径r ＝|OC|
＝
5
54，∴所求圆的方程为：516)58()54(22=-+-y x .
19、解：（1）由a n ＋1＝
12+n n
a a 得：11+n a ＝21＋n a 21，∴111
-+n a ＝21(11-n a )，∴1+n b ＝21n b
又1b =111
-a ＝2
3－1＝2
1≠0，∴n b ≠0，∴n
n b b
1+=2
1（常数），
∴数列{n b }是以21为首项，以21为公比的等比数列，∴n b =n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21.
（2）由（1）知：11-n a ＝n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，∴n a 1＝n
⎪⎭⎫ ⎝⎛21＋1， ∴n a n ＝n ＋n n 2
，
∴S n ＝11a ＋22a ＋…＋n
a n ＝（1＋2＋···＋n ）＋[1×21＋2×(21)2＋···＋n ×(2
1)n ]，
令T n ＝1×2
1＋2×(21)2＋···＋n ×(21)n ，得：T n ＝2－121-n －n
n 2
（“差比”数列求和） ∴S n ＝2－n n 22+＋2)1(+n n ＝242++n n －n n 2
2+.
20、解：设轮船航行的速度为x ，则每小时的燃料费用为y ＝k ·x 3，
把x ＝10，y ＝6代入得：k ＝0.006，∴y ＝0.006·x 3，
∵每千米所用时间为：x
1
∴每千米的费用总和为：)(x f ＝(0.006·x 3＋96)·
x
1＝0.006x 2＋x
96， ∴由)(x f '＝0.012x －2
96x
>0得：x >20；∴当0<x <20时，)(x f '<0，)(x f 为减函数； 当x >20时，)(x f '>0，)(x f 为增函数，∴当x ＝20时，)(x f 取最小值， ∴轮船以20km /h 的速度航行时，能使每千米的费用总和最小.
21、证明：（1）过点M 作MN ⊥BE 于N ，则N 为BE 的中点， 且MN ∥CB ∥DA ，连结AN ，
∵EA=AB 且EA ⊥AB ，又N 为BE 的中点， ∴AN ⊥BE ，又∵DA ⊥平面EAB ，∴DA ⊥BE ， ∴BE ⊥面ANMD ，∴BE ⊥DM ，即DM ⊥EB.
（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 分别为x ，y ，z 轴，
建立空间直角坐标系，A —xy z ，设AB=2，则A （0，0，0），B （0，2，0），D （0，0，2）， M （1，1，21），MB =（－1，1，－21），MD =（－1，－1，2
3），
显然，AE =（2，0，0）为平面ABD 的法向量，设平面MBD 的法向量为1n =（x ，y ，z ），
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
011n MD n MB ，得⎪⎩
⎪⎨⎧=+--=-+-023021z y x z y x ，令z=2，得x =1，y =2，∴取1n =（1，2，2） 设二面角M —BD —A 的平面角大小为θ，∵θ∈（0，90°）， ∴cos θ=
<1,n AE cos 3
1.
22、解：（1）∵)(x f '＝2)
1(1x
x ln x x +-+（x >0），令)(x g ＝)1(1+-+x ln x x （x >0），则
D
A
E B
C
M
N
)(x g '＝2)
1(1x x x +-+－11+x ＝2)1(x x +-≤0，∴)(x g 在（0，＋∞）上单调递减，∴)(x g <)
0(g ＝0，
∴)(x f '<0，∴)(x f 在（0，＋∞）上为减函数.
（2）∵ln (1＋x )<ax 在（0，＋∞）上恒成立⇔ln (1＋x )－ax <0在（0，＋∞）上恒成立. 令)(x h ＝ln (1＋x )－ax ，则)(x h '＝1
1
+x －a .
①若a ≥1，则)(/
x h <0，∴)(x h 单调递减，∴)(x h <)0(h ＝0，即ln (1＋x )<ax 恒成立； ②若a ≤0，则)(/
x h >0，∴)(x h 单调递增，∴)(x h >)0(h ＝0，∴ln (1＋x )>ax ，即ln (1＋x )<ax 不恒成立；
③若0<a <1，则由)(x h '＝0⇒x ＝a 1－1，当x ∈(0，a 1－1]时，)(x h '≥0，∴)(x h 在(0，a
1－
1]上单调递增，故有)(x h ＝ ln (1＋x )－ax >)0(h ＝0，即ln (1＋x )>ax ，∴0<a <1时，ln (1＋x )<ax 在（0，＋∞）上不恒成立。

综上①②③得：a ≥1.。