【湘教版】九年级数学上期中模拟试题(附答案)(2)

一、选择题
1．一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，其中黄色16个，白色8个和红色若干，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则摸到黄球的概率约为（ ）
A ．23
B ．12
C ．13
D ．16
2．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（ ）． A ．23 B ．12 C ．13 D ．16
3．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A 、B 、C 三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A ．19
B ．13
C ．29
D ．23 4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次正面朝下的概率为（ ） A ．34 B ．23 C ．12 D ．14
5．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．ax 2＋bx ＋c ＝0
B ．211x x +=
C ．x 2＋2x ＝y 2－1
D ．3（x ＋1）2＝2（x ＋1）
6．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）
A ．22x x =
B ．(1)(3)0x x ++=
C ．2(2)5x -=
D ．210x x -+= 7．方程220x x -=的根是（ ）
A ．120x x ==
B ．122x x ==
C ．120,2x x ==
D ．120,2x x ==- 8．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于
( )
A ．2020
B ．2019
C ．2029
D ．2028
9．如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，3AB =，2OA =，则AD 的长为（ ）
A ．5
B ．13
C ．10
D ．7
10．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）
A ．2
B ．2.4
C ．2.6
D ．3
11．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（ ）
A ．6cm
B ．12cm
C ．24cm
D ．48cm
12．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C '处，折痕为EF ，若122EFC '∠=︒，那么ABE ∠的度数为（ ）
A ．24︒
B ．32︒
C ．30
D ．26︒
二、填空题
13．小玲在一次班会中参加知识抢答活动，现有语文题5道，数学题6道，综合题7道，她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是_________．
14．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
该射手击中靶心的概率的估计值是______(精确到0.01)．
15．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k +1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____．
16．用配方法解关于x 的一元二次方程2430x x --=，配方后的方程可以是
__________．
17．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．
18．如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠DAE 的度数为_________．
19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC 绕点C 旋转，得到A B C ''，点A 的对应点为A '，P 为A B ''的中点，连接BP ．在旋转的过程中，线段BP 长度的最大值为__________．
20．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG BD =，连接BG ，DF ．若13AG =，6CF =，则四边形BDFG 的周长为______．
三、解答题
21．在如图所示的电路图中，有四个断开的开关A 、B 、C 、D 和一个灯泡L ．
（1）若任意闭合其中一个开关，则灯泡L 发亮的概率为 ； （2）若任意闭合其中两个开关，请用列表法或画树状图法求灯泡L 发亮的概率． 22．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为n ．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式2712x x -+的值为0的概率； （2）若m ，n 都是方程27120x x -+=的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程27120x x -+=的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
23．计算
（1）113
m m -+ （2）()221x x x -=- （3）
()()312255x x x x -=++ 24．解下列方程：
（1）（x ﹣1）2﹣x 2＝3（x ﹣3）；
（2）2121124
x x x x -+=---． 25．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点作DE //BC 交AB 于点E ，DF //AB 交BC 于点F ． （1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，CD ＝6，求菱形BEDF 的边长．
26．综合与实践
已知四边形ACBD 与AEFG 均为正方形．
数学思考：
（1）如图1，当点E在AB边上，点G在AD边上时，线段BE与DG的数量关系是
______，位置关系是______．
（2）在图1的基础上，将正方形AEFG以点A为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到图2，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
拓展探索：
（3）如图3，若点D，E，G在同一直线上，且2
AB AE
==BE长为
_____．（直接写出答案即可，不要求写过程）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，可以计算出摸到黄球和白球的概率和为1−0.5＝0.5，由此可估计到布袋中的三种球可能共有48个，则利用概率公式即可得出结论．
【详解】
解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，
∴摸到黄球和白球的概率和为1−0.5＝0.5．
则布袋中的三种球可能共有：168
48
0.5
+
=个，
∴摸到黄球的概率约为：161
483
=．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是掌握频率和概率的关系及概率的计算方法．
2．C
解析：C
【分析】
根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率．
【详解】
∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右
设草鱼的条数为x ，可得：0.51600800x x =++ ∴x ＝2400
∴捞到鲤鱼的概率为：
16001160080024003
=++ 故选：C ．
【点睛】 本题考察了概率、一元一次方程的知识；求解的关键是熟练掌握概率的定义，通过求解方程，从而得到答案．
3．B
解析：B
【分析】
画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率=
3193=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 4．A
解析：A
【分析】
用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答．
【详解】
随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况， 故至多有一次正面朝下的概率为
34
． 故选：A ．
【点睛】
此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数；
【详解】
A 、20ax bx c ++=当a=0时，不是一元二次方程，故A 错误；
B 、2112x x
+= ，不是整式方程，故B 错误； C 、2221x x y +=- ，含有两个未知数，故C 错误； D 、()()23121x x +=+ 是一元二次方程，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，正确理解一元二次方程的概念是解题的关键． 6．D
解析：D
【分析】
由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；
【详解】
解：A.由22x x =可得(2)0x x -=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
B.(1)(3)0x x ++=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；
C. 2(2)5x -=，50>，有两个实数根，故不符合题意；
D. 224(1)41130b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，没有实数根，符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式Δ=b 2−4ac 以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
本题可用因式分解法，提取x 后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x ．
【详解】
解：∵x 2-2x=0
∴x （x-2）=0，
可得x=0或x-2=0，
解得：x=0或x=2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用
8．D
解析：D
【分析】
先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代
入原式计算即可．
【详解】
解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，
∴211420200x x --=，
即21142020x x -=，
由根与系数之间关系可知124x x +=，
∴211222x x x -+
=21112422x x x x -++
=2020+122()x x +
=2020+8
=2028．
所以选项D 正确．
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．
9．D
解析：D
【分析】
根据矩形的性质求得BD=4，利用勾股定理求出AD 即可.
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB=OD=OA=OC ，∠BAD=90，
∴BD=2OA=4，
在Rt △ABD 中，=
故选：D.
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，熟记矩形的性质是解题的关键.
10．B
解析：B
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=1
2
AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，
∴S△ABC=1
2BC•AP＝
1
2
AB•AC，
∴1
2×10AP＝
1
2
×6×8，
∴AP最短时，AP=24
5
，
∴当AM最短时，AM=1
2AP=
12
5
=2.4．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
11．A
解析：A
【分析】
根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角
形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=1
2AC，OD=OB=
1
2
BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=24，
∴AC=BD=12cm，
∴OA=OB=6cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．
12．D
解析：D
【分析】
由折叠的性质知：∠EBC′、∠BC′F都是直角，∠BEF=∠DEF，因此BE∥C′F，那么∠EFC′和∠BEF互补，这样可得出∠BEF的度数，进而可求得∠AEB的度数，则∠ABE可在Rt△ABE 中求得．
【详解】
解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′+∠BEF=180°，
又∵∠EFC′=122°，
∴∠BEF=∠DEF=58°，
∴∠AEB=180°-∠BEF-∠DEF=64°，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-∠AEB=26°．
故选D．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
二、填空题
13．【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数【详解】解：抽中数学题的概率为故答案为：【点睛】本题考查了概率正确利用概率公式计算是解题的关键
解析：13
【分析】
随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【详解】
解：抽中数学题的概率为
615673
=++， 故答案为：
13
． 【点睛】
本题考查了概率，正确利用概率公式计算是解题的关键． 14．90【分析】根据表格中实验的频率然后根据频率即可估计概率【详解】解：由击中靶心频率都在090上下波动∴该射手击中靶心的概率的估计值是090故答案为：090【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想解题 解析：90．
【分析】
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】
解：由击中靶心频率都在0.90上下波动，
∴该射手击中靶心的概率的估计值是0.90．
故答案为：0.90．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
15．k ＞1【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k ）2﹣4（k2﹣k+1）＞0求出k 的取值范围【详解】解：∵原方程有两个不相等的实数根∴△＝b2﹣4ac ＝（2k ）2﹣4（k2﹣k+1）＝4k ﹣
解析：k ＞1
【分析】
根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k +1）＞0，求出k 的取值范围．
【详解】
解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b 2﹣4ac ＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k +1）＝4k ﹣4＞0，
解得k ＞1；
故答案为：k ＞1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0
时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
16．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的解法解题的关键是熟练运用配方法本题属于基础题型
解析：()2
27x -＝．
【分析】
移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【详解】
解：2430x x --= 243x x -=
24+43+4x x -=
()227x -＝
故答案为：()227x -＝．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 17．【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2﹣x ﹣3＝0的两个实数根∴m+n ＝1mn ＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn
解析：12-
【分析】
根据m 与n 是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n ＝1，mn ＝-3，
∵(m+n)2=m 2+n 2+2mn
m 2+n 2=(m+n)2-2mn
∴m 2+n 2=12-2×(-3)=7
∴m 2+n 2-19=7-19=-12
故答案为：-12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
18．5°【分析】由四边形ABCD 是一个正方形根据正方形的性质可得∠ACB=45°又由AC=EC 根据等边对等角可得∠E=∠CAE 继而根据等腰三角形的性质和三角
形的内角和求得∠EAC 的度数进一步即可求得∠D
解析：5°
【分析】
由四边形ABCD 是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC ，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE ，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC 的度数，进一步即可求得∠DAE 的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴45ACB ∠=︒，
∴18045135ACE ∠=-=︒︒︒，
又∵AC CE =， ∴()118013522.52
CAE CEA ∠=∠=⨯︒-︒=︒， 则4252.52.52DAE DAC CAE ∠=∠-∠=-︒=︒︒．
故答案为：22.5°
【点睛】
此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
19．【分析】连接CP 当点BCP 三点共线时BP 最长根据已知条件求出此时的BP 的长【详解】∵∴AB=由旋转得=AB=10∵中点为∴=5连接CP 当旋转到点BCP 三点共线时BP 最长∴BP=CB+PC=6+5=1
解析：11
【分析】
连接CP ，当点B 、C 、P 三点共线时，BP 最长，根据已知条件求出此时的BP 的长.
【详解】
∵90C ∠=︒，8AC =，6BC =，
∴AB=226810+= ，
由旋转得A B ''=AB=10，
∵A B ''中点为P ，
∴12
PC PA A B '''==
=5， 连接CP ，当ABC 旋转到点B 、C 、P 三点共线时，BP 最长，
∴BP=CB+PC=6+5=11，
故答案为: 11
【点睛】
此题考查直角三角形的性质，旋转的性质，解题中首先确定解题思路，根据旋转得到BP 的最大值即是CB+PC 在进行求值，确定思路是解题的关键.
20．20【分析】首先可判断四边形BGFD 是平行四边形再由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BD=FD 则可判断四边形BGFD 是菱形设GF=x 则AF=13-xAC=2x 在Rt △AFC 中利用勾股定理可求出x 的
解析：20
【分析】
首先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD ，则可判断四边形BGFD 是菱形，设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，在Rt △AFC 中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
∵AG ∥BD ，BD=FG ，
∴四边形BGFD 是平行四边形，
∵CF ⊥BD ，
∴CF ⊥AG ，
又∵点D 是AC 中点，
∴BD=DF= 12
AC ， ∴四边形BGFD 是菱形，
设GF=x ，则AF=13-x ，AC=2x ，
在Rt △AFC 中，由勾股定理可得：
()()22
36132x x +-=
解得：5x =
即GF=5
∴四边形BDFG 的周长=4GF=20．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD 是菱形． 三、解答题
21．（1）
14
；（2）12 【分析】
（1）根据概率公式直接填即可；
（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】
解：（1）有4个开关，只有D 开关一个闭合小灯发亮， 所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是
14
； （2）根据题意，列表如下
6种 P ∴（灯泡L 发光）61122=
=． 【点睛】
本题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键．
22．（1）
12
；（2）小明获胜的概率大． 【分析】
（1）先解方程，根据概率公式即可得出概率；
（2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可．
【详解】
解：（1）当代数式2712x x -+的值为0时， 27120x x -+=，
解得123,4x x ==，
所以，从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式2712x x -+的值为0的概率为：2142
=； （2）列表如下：
故小明获胜的概率为：41123
=； 都不是该方程的解的可能性有2种，
故小张获胜的概率为
21126
=， 所以，小明获胜的概率大．
【点睛】 本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键．
23．(1)()33m m +(2)12x x ==3）x=14 【分析】
（1）先通分然后计算；
（2）先去括号，移项，把方程变为一元二次方程的一般形式，再用公式法求解；
（3）方程两边同时乘以2x(x+5)后变为一元一次方程，求得一元一次方程的解后再检验即可得到原方程的解．
【详解】
解：（1）原式=()()
333m m m m m m +-++ =()()
3333m m m m m m +-=++； （2）原方程可变为：
22510x x -+=，
∵2a =，5b =-，1c =，
∴()2
245421170b ac =-=--⨯⨯=>，
∴54x ±=
，
∴12x x ==； （3）方程两边同时乘以2x(x+5)可得：
3x-2(x+5)=4，
解之可得：x=14，
经检验，当x=14时，2x(x+5)=28×19≠0，
∴x=14是原方程的解．
【点睛】
本题考查分式运算及方程的求解，熟练掌握异分母分式的加减法则、用公式法解一元二次方程及分式方程的求解方法是解题关键．
24．（1）2x =；（2）121144x x +=
=． 【分析】
（1）先利用平方差公式将方程左边进行整理，再解一元一次方程即可；
（2）方程两边同时乘以()()22x x +-，整理得到一元二次方程，求解即可．
【详解】
解：（1）原方程可整理成12390x x --+=，
移项、合并同类项可得：510x =，
解得2x =；
（2）原方程可整理成()()
1211222x x x x x -+=--+-， 方程两边同时乘以()()22x x +-，可得：()()212214x x x x -+=+-+，
移项、合并同类项可得：2270x x -=-，
∴()()2
241427570b ac =-=--⨯⨯-=>，
解一元二次方程可得14x ±=
．
经检验，14x ±=
都是原方程的解．
∴121144
x x +==． 【点睛】
本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握方程的求解方法是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）【分析】
（1）由题意可证BE ＝DE ，四边形BEDF 是平行四边形，即可证四边形BEDF 为菱形； （2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，
∴四边形DEBF 是平行四边形，
∵DE ∥BC ，
∴∠EDB ＝∠DBF ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠DBF ＝
12
∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠EDB ，
∴DE ＝BE ，
又∵四边形BEDF 为平行四边形，
∴四边形BEDF 是菱形；
（2）如图，过点D 作DH ⊥BC 于H ，
∵DF ∥AB ，
∴∠ABC ＝∠DFC ＝60°，
∵DH ⊥BC ，
∴∠FDH ＝30°，
∴FH ＝12DF ，DH 3＝32
DF ， ∵∠C ＝45°，DH ⊥BC ，
∴∠C ＝∠HDC ＝45°，
∴DC 2DH ＝
62DF ＝6， ∴DF ＝6 ，
∴菱形BEDF 的边长为6．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键． 26．（1）BE DG =，BE DG ⊥；（2）成立．证明见解析；（371
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AB AD =，AG AE =，90A ∠=︒，即可证明BE DG =，BE DG ⊥；
（2）延长BE ，与DG 交于点H ，证明BAE DAG ≌，得BE DG =，
ABE ADG ∠=∠，再由()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒即可证明结论； （3）过点A 作AM BE ⊥于点M ，由ABE ADG ≅△△，证明AEM △是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AM 和EM 的长，再算出BM 的长，即可得到BE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ACBD 与AEFG 均为正方形，
∴AB AD =，AG AE =，
∴AB AE AD AG -=-，即BE DG =，
∵90A ∠=︒，
∴BE DG ⊥，
故答案是：BE DG =，BE DG ⊥；
（2）成立，
如图，延长BE ，与DG 交于点H ，
∵四边形ABCD 与AEFG 均为正方形，
∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒，
∴BAD EAD EAG EAD ∠+∠=∠+∠，
∴
BAE DAG ∠=∠，
∴BAE DAG ≌， ∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠，
∵18090OBA BOA BAO ∠+∠=︒-∠=︒，DOH BOA ∠=∠，
∴90ADG DOH ∠+∠=︒，
∴()18090DHO ADG DOH ∠=︒-∠+∠=︒，
∴DG BE ⊥；
（3）如图，过点A 作AM BE ⊥于点M ，
由（2）知ABE ADG ≅△△，
∵GE 是正方形AEFG 的对角线，
∴45AEB AGD ∠=∠=︒，
则AEM △是等腰直角三角形， ∵222AB AE == ∴2AE =
∵222AM EM AE +=， ∴1AM EM ==， ∴22817BM AB AM =-=-= ∴71BE BM EM =+=
， 71．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．。