语法知识—有理数的专项训练解析附答案

一、填空题
1．数轴上，如果点A 表示–78，点B 表示–67，那么离原点较近的点是__________．（填A 或B ） 2．已知a ，b 都不是零，写出x=a b ab a b ab
++的所有可能的值_____． 3．若|a +1|+|a ﹣2|＝5，|b ﹣2|+|b +3|＝7，则a +b ＝_____．
4．如图，将直径为1个单位长度的圆从原点处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周，使圆上的点A 从原点运动至数轴上的点B ，则点B 表示的数是_______.
5．如图，点A 、B 在数轴上对应的实数分别是a ，b ，则A 、B 间的距离是____．（用含a 、b 的式子表示）
6．数轴上点A 距原点3个单位，将点A 向左移动7个单位，再向右移动2个单位到达B 点，则点B 所表示的数是_____．
7．如果（2m ﹣6）x |m|﹣2=m 2是关于x 的一元一次方程，那么m 的值是_____．
8．若x 2-+|3﹣y|=0，则xy=____.
二、解答题
9．在湖北抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A 地出发，晚上到达B 地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： +14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．
（1）请你帮忙确定B 地相对于A 地的方位？
（2）救灾过程中，冲锋舟离出发点A 最远处有多远？
（3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
10．如图，数轴上的三点A ，B ，C 分别表示有理数a ，b ，c ，化简|a ﹣b|﹣|a+c|+|b ﹣c|．
11．实数a b 、.在数轴上的位置如图所示，请化简：()22a b a a b ---+ .
12．（1）比较下列各式的大小：
|5|+|3| |5+3|，|﹣5|+|﹣3| |（﹣5）+（﹣3）|，
|﹣5|+|3| |（﹣5）+3|，|0|+|﹣5| |0+（﹣5）|…
（2）通过（1）的比较、观察，请你猜想归纳：
当a 、b 为有理数时，|a|+|b| |a+b|．（填入“≥”、“≤”、“＞”或“＜”）
（3）根据（2）中你得出的结论，求当|x|+|﹣2|=|x ﹣2|时，直接写出x 的取值范围．
13．阅读下列材料：
我们知道x 的几何意义是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即x =0x -，也就是说，x 表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x 与数2x 对应的点之间的距离；
例1．解方程|x |=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2±，所以方程|x |=2的解为2x =±．
例2．解不等式|x －1|＞2．在数轴上找出|x －1|=2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|x －1|=2的解为x =－1或x =3，因此不等式|x －1|＞2的解集为x ＜－1或x ＞3．
例3．解方程|x －1|+|x +2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的x 的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3（如图），满足方程的x 对应的点在1的右边或－2的左边．若x 对应的点在1的右边，可得x =2；若x 对应的点在－2的左边，可得x =－3，因此方程|x －1|+|x +2|=5的解是x =2或x =－3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x +3|=4的解为 ；
（2）解不等式：|x －3|≥5；
（3）解不等式：|x －3|+|x +4|≥9
14．数学魔术：如图所示，数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示131042
--，
，，，请回答下列问题：
（1）在数轴上描出A 、B 、C 、D 四个点；
（2）B 、C 两点间的距离是多少？A 、D 两点间的距离是多少？
（3）现在把数轴的原点取在点B 处，其余都不变，那么点A 、B 、C 、D 、分别表示什么数？
15．比较下列各组数的大小：
（1）56-和67-；（2）1()5
--和16--． 16．看数轴，化简：|a |﹣|b |+|a ﹣2|．
三、13
17．3-的相反数是（ ）
A ．3-
B ．0
C ．13-
D ．3 18．在下列选项中，是具有相反意义的量的是( )
A ．收入20元与支出30元
B ．2个苹果和2个梨
C ．走了100米与跑了100米
D ．向东走30米和向北走30米 19．下列说法正确的个数有（ ）
①﹣|a |一定是负数
②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
③若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
④若|a |=b ，则a 与b 互为相反数
⑤若|a |+a=0，则a 是非正数．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
20．在﹣2，4，
22，3.14，223，(2)0中有理数的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
21．式子17的值（ ）
A ．在2到3之间
B ．在3到4之间
C ．在4到5之间
D ．等于34
22．已知：()0a 99=-，()
1b 0.1-=-，25c 3-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么a ，b ，c 三数的大小为（ ） A ．a<b<c B ．b<a<c C ．b<c<a D ．a<c<b
23．﹣2018的绝对值是（ ）
A ．±2018
B ．﹣2018
C ．﹣12018
D ．2018
24．下列各式中结果为负数的是( )
A ．﹣(﹣1)
B ．|﹣1|
C ．|1﹣2|
D ．﹣|﹣1|
25．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式中，①ab ＞0；②|b ﹣a|＝a ﹣b ；③a+b ＞0；④1a ＞1b
；⑤a ﹣b ＜0；正确的有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．5个
D ．4个
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一、填空题
1．B 【分析】讨论谁离原点较近即比较两个数的绝对值的大小【详解】∵|﹣|==|﹣|==∴点B 离原点较近故答案为B 【点睛】理解绝对值的意义会正确计算一个数的绝对值 解析：B
【分析】
讨论谁离原点较近，即比较两个数的绝对值的大小．
【详解】 ∵|﹣
78|=78=4956，|﹣67|=67=4856
，∴点B 离原点较近．故答案为B ． 【点睛】 理解绝对值的意义，会正确计算一个数的绝对值．
2．3或﹣1【分析】要对ab 所有可能出现的不同情况进行分类讨论找出符合要求的取值代入求值【详解】对ab 的取值情况分类讨论如下：①当ab 都是正数时x==1+1+1=3；②当ab 都是负数时x==﹣1﹣1+1
解析：3或﹣1
【分析】
要对a ，b 所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值．
【详解】
对a ，b 的取值情况分类讨论如下：
①当a ，b 都是正数时，x=||||||
a b ab a b ab ++=1+1+1=3； ②当a ，b 都是负数时，x=||||||
a b ab a b ab ++=﹣1﹣1+1=﹣1； ③当a ，b 中有一个正数，一个负数时，a b ab a b ab
、、中有一个1，两个﹣1，所以和为﹣1．
||||||
a b ab a b ab ++的可能值是3或﹣1． 故答案是：3或﹣1.
【点睛】
主要考查了绝对值的定义及分类讨论的思想．注意分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．
3．±1或±6【解析】分析：先根据绝对值的性质分类讨论求得ab 的值再分别代入a+b 计算可得详解：当a≤-1时-a-1+2-a=5解得a=-2；当-1＜x ＜2时a+1+2-a=3≠5舍去；当a≥2时a+1
解析：±1或±6
【解析】
分析：先根据绝对值的性质分类讨论求得a 、b 的值，再分别代入a+b 计算可得．
详解：当a≤-1时，-a-1+2-a=5，解得a=-2；
当-1＜x＜2时，a+1+2-a=3≠5，舍去；
当a≥2时，a+1+a-2=5，解得a=3；
当b≤-3时，2-b-b-3=7，解得b=-4；
当-3＜b＜2时，-b-3+b-2=-5≠7，舍去；
当b≥2时，b-2+b+3=7，解得b=3；
综上a=-2或a=3，b=-4或b=3；
当a=-2、b=-4时，a+b=-6；
当a=-2、b=3时，a+b=1；
当a=3、b=-4时，a+b=-1；
当a=3、b=3时，a+b=6；
即a+b=±1或±6；
故答案为±1或±6．
点睛：本题主要考查有理数的加法和绝对值，解题的关键是根据绝对值的性质求得a、b的值及分类讨论思想的运用．
4．-π【解析】【分析】因为圆从原点沿数轴向左滚动一周可知OA=π再根据数轴的特点即可解答【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周∴OA之间的距离为圆的周长=πA点在原点的左边∴A点
解析：-π
【解析】
【分析】
因为圆从原点沿数轴向左滚动一周，可知OA=π，再根据数轴的特点即可解答．
【详解】
解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
∴OA之间的距离为圆的周长=π，A点在原点的左边．
∴A点对应的数是-π．
∴点B表示的数是-π
故答案为-π．
【点睛】
此题考查了数轴，关键是熟悉数轴的特点及圆的周长公式．
5．b-a【解析】分析：注意数轴上两点间的距离等于较大的数减去较小的数又数轴上右边的总大于左边的数故AB间的距离是b-a详解：∵a<0b＜0且
|a|>|b|∴它们之间的距离为：b-a故答案为：b-a点睛
解析：b-a
【解析】
分析：注意数轴上两点间的距离等于较大的数减去较小的数，又数轴上右边的总大于左边的数，故A，B间的距离是b-a．
详解：∵a<0，b＜0,且|a|>|b|
∴它们之间的距离为：b-a．
故答案为：b-a．
点睛：明确数轴上两点间的距离公式，同时注意数轴上右边的数＞左边的数．
6．﹣2或﹣8【解析】分析：根据题意可以求得点A表示的数从而可以得到点B 表示的数本题得以解决详解：由题意可得点A表示的数是3或-3∴当A为3时点B表示的数为：3-7+2=-2当A为-3时点B表示的数为：
解析：﹣2或﹣8
【解析】分析：根据题意可以求得点A表示的数，从而可以得到点B表示的数，本题得以解决．
详解：由题意可得，
点A表示的数是3或-3，
∴当A为3时，点B表示的数为：3-7+2=-2，
当A为-3时，点B表示的数为：-3-7+2=-8，
故答案为：-2或-8．
点睛：本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴的知识解答．
7．﹣3【解析】由题意得：|m|﹣2=1且2m﹣6≠0解得：m=﹣3故答案为﹣3
解析：﹣3
【解析】
由题意得：|m|﹣2=1，且2m﹣6≠0，
解得：m=﹣3，
故答案为﹣3．
8．6【解析】由题意得x﹣2=03﹣y=0解得x=2y=3所以xy=2×3=6故答案为6
解析：6
【解析】
由题意得，x﹣2=0，3﹣y=0，解得x=2，y=3，所以xy=2×3=6．故答案为6．
二、解答题
9．（1）B地在A地的东边20千米；（2）最远处离出发点25千米；（3）还需补充的油量为9升.
【分析】
（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B 地在A地的西方；
（2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可；
（3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量．
【详解】
(1)∵14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20，
∴B地在A地的东边20千米．
(2)∵路程记录中各点离出发点的距离分别为14千米，
14－9＝5(千米)，
14－9＋8＝13(千米)，
14－9＋8－7＝6(千米)，
14－9＋8－7＋13＝19(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＝13(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＋12＝25(千米)，
14－9＋8－7＋13－6＋12－5＝20(千米)．
∴最远处离出发点25千米．
(3)这一天走的总路程为14＋|－9|＋8＋|－7|＋13＋|－6|＋12＋|－5|＝74(千米)，
耗油74×0.5＝37(升)，37－28＝9(升)，
故还需补充的油量为9升．
【点睛】
本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和．
10．原式=2c
【分析】
由数轴上点的位置，得到a，b都小于0，c大于0，且b的绝对值小于c的绝对值，进而判断出a-b，a+c及b-c的正负，利用绝对值的代数意义化简，合并后即可得到结果．
【详解】
由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c．
【点睛】
本题考查了整式的加减运算，数轴，以及绝对值的代数意义，根据数轴提取有用的信息是解本题的关键．
11．a
【分析】
根据a、b在数轴的位置可知a、b的大小关系，进而根据绝对值和二次根式的性质化简即可.
【详解】
由图知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则原式=b﹣a+a﹣（a+b）
=b﹣a+a﹣a﹣b
=﹣a．
【点睛】
本题考查绝对值和二次根式的性质，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.
12．（1）=；=；＞；=（2）≥；（3）x≤0．
【分析】
（1）利用绝对值的代数意义化简，判断即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）判断得到x的范围即可．
【详解】
解：（1））比较下列各式的大小：
|5|+|3|=|5+3|，|-5|+|-3|=|（-5）+（-3）|，
|-5|+|3|＞|（-5）+3|，|0|+|-5|=|0+（-5）|…
（2）通过（1）的比较、观察，请你猜想归纳：
当a、b为有理数时，|a|+|b|≥|a+b|．（填入“≥”、“≤”、“＞”或“＜”）
（3）根据（2）中你得出的结论，当|x|+|-2|=|x-2|时，x的取值范围x≤0．
【点睛】
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（1）x=1或x=-7（2）x≤－2或x≥8（3）x≥4或x≤－5
【解析】
分析：（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7求解即可；（2）先求出|x-3|=5的解，再求|x-3|≥5的解集即可；
（3）先在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解，即可得出不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集．
详解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于4的点对应的数为1或-7，
∴方程|x+3|=4的解为x=1或x=-7．
（2）在数轴上找出|x-3|=5的解．
∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点对应的数为-2或8，
∴方程|x-3|=5的解为x=-2或x=8，
∴不等式|x-3|≥5的解集为x≤-2或x≥8．
（3）在数轴上找出|x-3|+|x+4|=9的解．
由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和-4对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．
∵在数轴上3和-4对应的点的距离为7，
∴满足方程的x对应的点在3的右边或-4的左边．
若x对应的点在3的右边，可得x=4；若x对应的点在-4的左边，可得x=-5，
∴方程|x-3|+|x+4|=9的解是x=4或x=-5，
∴不等式|x-3|+|x+4|≥9的解集为x≥4或x≤-5．
点睛：本题主要考查了绝对值及不等式的知识，解题的关键是理解|x1-x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离．
14．（1）见解析；（2）B、C两点的距离为11
2
，A、D两点的距离为7；（3）点A表示
的数为﹣41
2
，点B表示的数为0，点C表示的数为﹣1
1
2
，点D表示的数为2
1
2
．
【解析】
分析:（1）在数轴上描出四个点的位置即可；
（2）B、C两点的距离=0-（-11
2
），A、D两点的距离=4-（-3）；
（3）原点取在B处，相当于将原数减去11
2
，从而计算即可.
详解:
（1）；
（2）B、C两点的距离=0﹣（﹣11
2
）=1
1
2
，A、D两点的距离=4﹣（﹣3）=7；
（3）点A表示的数为：﹣3﹣11
2
=﹣4
1
2
，点B表示的数为0，点C表示的数为﹣1
1
2
，
点D表示的数为4﹣11
2
=2
1
2
．
点睛: 本题考查了数轴的知识，注意数轴上的点与实数一一对应. 15．（1）>；（2）>
【解析】
分析: （1）根据两个负数，绝对值大的其值反而小进行比较即可；（2）根据正数大于一切负数可得答案.
详解:
（1）∵﹣5
6
=﹣
35
42
，﹣
6
7
=﹣
36
42
，
∴﹣5
6
＞﹣
6
7
；
（2）∵（﹣1
5
）=
1
5
，﹣|﹣
1
6
|=﹣
1
6
，
∴﹣（﹣1
5
）＞﹣|﹣
1
6
|．
点睛: 此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
16．2+b．
【分析】
根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项即可．
【详解】
解：∵由图可知，b<0<a<2，
∴原式=a+b+(2−a),
=2+b.
三、13
17．D
解析：D
【解析】
【分析】
依据相反数的概念求值即可.
【详解】
-3的相反数是3．
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查相反数的概念，解题的关键是掌握：．只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
18．A
解析：A
【分析】
根据相反意义的定义，即可得出结果.
【详解】
A项，收入与支出具有相反意义，故A项正确；
B项，苹果与梨没有相反意义，故B项错误；
C项，走与跑没有相反意义，故C项错误；
D项，向东与向西有相反意义，而与向北没有相反意义，故D项错误.
综上所述，A项正确.
故本题正确答案为A.
【点睛】
本题考查了正负数相反意义的定义，牢牢掌握相反意义的定义是解答本题的关键.
19．B
解析：B
【解析】分析：本题可通过特殊值法、绝对值及相反数的意义，逐一判断得到正确结论．详解：-|0|=0，不是负数，故①不正确；
|-3|=|3|，故②不正确；
正数和0的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故③正确；
当a=b时，|a|=b，故④不正确；当a是非正数时，|a|+a=0，故⑤正确．
综上正确的是③⑤．
故选：B．
点睛：本题考查了有理数的相反数和绝对值．理解绝对值、相反数的意义是解决本题的关键．
20．A
解析：A
【解析】
分析：根据有理数的定义来判断即可.
=2，)0=1，
故有理数有：﹣2，，3.14，
223
，0, 故选A.
点睛：本题考查了零指数幂、有理数及实数，熟记有理数和无理数的概念是解答本题的关键. 21．C
解析：C
【解析】
介于哪两个整数之间,从而找到其对应的点.
<<故选C.
点睛：本题考查了无理数的估算以及数轴上的点和数之间的对应关系,解题的关键是求出
介于哪两个整数之间.
22．C
解析：C
【解析】
分析: 根据零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，根据有理数的大小比较，可得答案.
详解: a=（-99）0=1，b=（-0.1）-1=-10，c=（-
53
）-2=925， b ＜c ＜a ，
故选C
点睛: 本题考查了有理数的大小比较，利用零指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数化简各数是解题关键． 23．D
解析：D
【解析】
分析：根据绝对值的定义解答即可，数轴上，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
详解：﹣2018的绝对值是2018，即20182018-=．
故选D ．
点睛：本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
24．D
解析：D
【解析】
试题解析：A.()11,--= 是正数.
B.11,
-=是正数.
C.121,
-=是正数.
D. 11,
--=-是负数.
故选D.
25．B
解析：B
【解析】
根据题意得，b<0＜a，|b|>|a|，
∴①ab<0，故①错误；②|b-a|=a-b，正确；③a+b<0，故③错误；④11
a b
>，正确；⑤a-
b>0，故⑤错误，所以正确的有2个，
故选B.
【点睛】本题考查了数轴、有理数的运算、绝对值的化简等，熟练掌握有理数的运算法则、绝对值的性质等是解题的关键.。