江苏省扬州市城北中学2019-2020学年高三数学文期末试卷含解析

江苏省扬州市城北中学2019-2020学年高三数学文期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. （5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若 f（x1）=f（x2），有，则（）
A． f（x）在上是减函数 B． f（x）在上是减函数
C． f（x）在上是增函数 D． f（x）在上是减函数
参考答案：
C
【考点】：正弦函数的图象．
【专题】：三角函数的图像与性质．
【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求得a+b=﹣φ，
再根据f（a+b）=2sinφ=，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性得出结论．
解：由函数图象的一部分，可得A=2，函数的图象关于直线x==对称，∴a+b=x1+x2．
由五点法作图可得2a+φ=0，2b+φ=π，∴a+b=﹣φ．
再根据f（a+b）=2sin（π﹣2φ+φ）=2sinφ=，可得sinφ=，
∴φ=，f（x）=2sin（2x+）．
在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，
故选：C．
【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数
y=Asin（ωx+φ）的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题．
3. 已知f(x)＝则f(x)>1的解集为()
A．(－1,0)∪(0，e)
B．(－∞，－1)∪(e，＋∞)
C．(－1,0)∪(e，＋∞)
D．(－∞，1)∪(e，＋∞)
参考答案：
C
4. 设变量x，y满足约束条件.目标函数处取得最小值，则a的取值范围为
(A)(-1,2) (B)(-2,4) (C)(-4,0] (D)(-4,2)
参考答案：
D
略
5. 执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝（）.
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
参考答案：
A
略
6. 已知三条边为,, ,,且三个向量共线，则的形状是（）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
参考答案：
B
7. 设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
③若m∥α，n∥α，则m∥n
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．
【解答】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：
①若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直的性质知m⊥n，故①正确；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，
则由平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理知m⊥γ，故②正确；
③若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③错误；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．
故选：B．
8. 已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）
A. 3,6,9
B. 6,9,12
C. 9,12,15
D. 6,12,15
参考答案：
B
略
9. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3)
参考答案：
D
10. 已知i为虚数单位，则复数z=在复平面内表示的点位于( )
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
参考答案：
B
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
解答：解：由=，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），
位于第三象限．
故选：B．
点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则的值为．
参考答案：
．
试题分析：
考点：倍角的正切．
12. 已知双曲线的左、右顶点分别为A，B两点，点，若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．
参考答案：
13. 经调查某地若干户家庭的年收入 (万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系，并得到关于的线性回归直线方程：=0．254+0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加万元．
参考答案：
0.254．
根据线性回归直线方程：=0．254+0．321：家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加0.254万元．
14. 曲线在点（1，f（1））处的切线方程为．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导函数，确定切线的斜率，求出切点坐标，即可得到切线方程．
【解答】解：由题意，，
∴，
∴f′（1）=e
∴
∴
∴所求切线方程为y﹣e+=e（x﹣1），即
故答案为：
15. 已知数列{a n}的前n项和为，且，则数列{a n}的通项公式
__________.
参考答案：
16. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A-BCD 中，AB⊥平面BCD，且有，则此鳖臑的外接球O（A、B、C、D均在球O表面上）的直径为__________；过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为__________.
参考答案：
3 π
【分析】
判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.
【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.
过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为
.
故答案为：3 π
【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.
17. （06年全国卷Ⅰ文）已知函数，若f（x）为奇函数，则a
=
参考答案：
答案：
解析：函数若为奇函数，则，即，a=.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知曲线上任意一点到直线的距离是它到点
距离的倍；曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)过作两条互相垂直的直线,其中与相交于点,与相交于点,求四边形面积的取值范围.
参考答案：
(Ⅰ)设，则由题意有,化简得:.
故的方程为，易知的方程为
. 4分
(Ⅱ)由题意可设的方程为,代入得,
设,则,
所以
. 7分
因为,故可设的方程为,代入得
,设,则,
所以. 10分故四边形的面积为
()
设，因此
,当且仅当即等号成立.
故四边形面积的取值范围为
. 13分19. （本小题满分12分）
如图，矩形垂直于正方形，垂直于平面，且
.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：面面.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
（2）如图，设的中点为，连结.在中可求得；在直角梯形中可求得；在，中可求得
；从而在等腰，等腰中分别求得，，此时，在中有，
所以，因为是等腰底边中点，所以，所以平面，因此面面.
考点：1、三棱锥的体积的求法；2、面面垂直的判定定理.
【方法点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理和空间几何体的体积的求法，考查学生
综合应用知识的能力和空间想象能力，属中档题.对于第一问三棱锥的体积的求法，其解题的关键是正确的找出三棱锥的高并准确计算；对于第二问证明面面垂直的问题，其解题的关键是正确地运用已知并通过计算得出空间线线之间的关系，进而得出所证的结果. 20. 已知函数f（x）＝|3x﹣2|﹣|x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）-2.
【分析】
（Ⅰ）利用零点分段法去掉绝对值，得到不等式，进而可得解；
（Ⅱ）利用零点分段法去掉绝对值，进而可求函数的最值．
【详解】解：（Ⅰ）①当x＜时，2﹣3x+x﹣3≥4，解得x≤﹣；
②当≤x≤3时，不等式可化为3x﹣2+x﹣3≥4，解得x，∴≤x≤3；
③当x＞3时，不等式可化3x﹣2﹣x+3≥4，即得x＞，∴x＞3
综上所述：不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥}；
（Ⅱ）g（x）＝|3x﹣2|﹣|x﹣3|+|3x+2|﹣|x+3|
①当x＜﹣3时，g（x）＝﹣4x＞12；
②当﹣3≤x＜﹣时，g（x）＝﹣6x﹣6＞﹣2；
③当﹣≤x＜时，g（x）＝﹣2；
④当≤x＜3时，g（x）＝6x﹣6≥﹣2；
⑤当x≥3时，g（x）＝4x≥12
综上所述：g（x）的最小值为﹣2．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和最值问题．较为基础.
21. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知ABC中，AB=AC, D是ABC外接圆劣弧AC弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。

（1）求证：AD的延长线平分CDE；
（2）若BAC=30°，ABC中BC边上的高为2+，
求ABC外接圆的面积。

参考答案：
解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点，∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC，又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF,对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF,
即AD的延长线平分∠CDE. ………----------------5分
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.
连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750,
∴∠OCH=600.设圆半径为r,则r+r=2+,
得r=2,外接圆的面积为4。

----------10分
22. （12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．
参考答案：
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；证明题；转化思想．
分析：（Ⅰ）要证明：EF∥平面PAD，只需证明EF∥AD即可．
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABC的体积V．只需求出底面△ABC的面积，再求出E到底面的距离，即可．
解答：解（Ⅰ）在△PBC中，E，F分别是PB，
PC的中点，∴EF∥BC．
又BC∥AD，∴EF∥AD，
又∵AD?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）连接AE，AC，EC，
过E作EG∥PA交AB于点G，
则EG⊥平面ABCD，且EG=PA．
在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，
∴AP=AB=，EG=．
∴S△ABC=AB?BC=××2=，
∴V E﹣ABC=S△ABC?EG=××=．
点评：本题考查棱锥的体积，只需与平面平行，是中档题．。