人教版八年级数学上册第12章-第11课时 角的平分线的性质

5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝12，AD 是△ABC 的一条角平分线．若 CD＝4，则△ABD 的面积 为___2_4____．
6．如图，已知三段公路(线段 AB 以及射线 AC，BD)， 请在 AB 的下方区域用尺规作一点 P，使点 P 到三条公路 的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)．
7．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
(2)求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC. 证明：∵S△ABD＝12AB·DE，S△ACD＝12AC·DF，DE ＝DF，∴S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
解：如答图，作∠AOB 的平分线 OP.∵图中要求比 例尺为 1∶20 000，即图上距离 1 cm 代表实际距离 200 m， ∴500 m＝2.5 cm，在 OP 上截取线段 OM＝2.5 cm， 点 M 即为所求．
变式 2 在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指 挥部设在 A 区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路 与铁路的交叉处点 B 700m．如果你是红方的指挥员，请 你在如图的作战图上标出蓝方指挥部的位置(比例尺： 1∶20 000)．
解：如答图，作角平分线，在角平分线上截取 OP＝ 3.5 cm，点 P 即为所求．
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 是角平 分线，DE⊥AB 于点 E，则下列结论错误的是( B )
A．BD＋DE＝BC B．DE 平分∠ADB C．DA 平分∠EDC D．AC＋DE＞AD
2．(2017·广西来宾)如图，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D.已知 AC＝3， AD＝2，则点 D 到 AB 边的距离为___1_____．
第11课时 角的平分线的性质(1)
核心提要 典例精练 变式训练
基础巩固 能力拔高 拓展培优
1．角的平分线上的点到角的两边的距离__相_等_____． 2．会用尺规作图画角平分线． 3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以 按照类似的步骤进行，即 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； (3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径， 写出证明过程．
4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，BD 是角平分线，DE⊥AB，E 为垂足．若△ADE 的周长等 于 10cm，求 AB 的长．
解：∵BD 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝ED. ∵BD＝BD，CD＝ED， ∴Rt△BDC≌Rt△BDE，∴BC＝BE. ∵△ADE 的周长为 ED＋AE＋AD＝CD＋AD＋AE ＝AC＋AE＝BC＋AE＝BE＋EA＝AB，∴AB＝10 cm.
解：如答图，作∠CAB 的平分线 AE，∠ABD 的平 分线 BF 交 AE 于点 P，点 P 即为所求．
7．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
(1)若△ABC 的面积是 40cm2，AB＝12cm，AC＝8cm， 求 DE 的长．
解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵△ABC 的面积是 40 cm2，AB＝12 cm，AC＝8 cm， ∴40＝12×12DE＋12×8DF，∴DE＝DF＝4(cm)．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴EB＝FC.
变式 1 (2018·广西梧州)如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DFห้องสมุดไป่ตู้BC 于点 F，DE＝6， 则 DF 的长度是( D )
A．2 C．4
B．3 D．6
知识点 2 用尺规作角平分线在实际中的应用 ☞ 例 2 (教材 P49 思考)如图，要在 S 区建一个集贸市 场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路 的交叉处 500m．这个集贸市场应建于何处(在图上标出它 的位置，比例尺为 1∶20 000)?
3．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB，垂足为 E.
(1)若 DC＝5，则 DE＝___5_____； (2)若 BC＝8，BD＝5，则 DE＝____3 ____； (3)若∠B＝45°，BE＝6，则 CD＝___6_____； (4)若 BC＝20，BD∶CD＝3∶2，则点 D 到 AB 的距 离是___8_____．
知识点 1 角的平分线的性质 ☞ 例 1 (教材 P51 习题 12.3 第 2 题)如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD＝CD，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为 E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，
∴DE＝DF. BD＝CD，