11.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义

等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1 Lyapunov 关于稳定性的定义
系统稳定性是动态系统一个重要的、可以用定量方法研究和 表示的定性指标。
它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变, 但可通过系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的精髓。 在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生 有界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性
要掌握好Lyapunov稳定性理论，重要的是深刻掌握和理 解Lyapunov稳定性定义的实质和意义。
在这里，空间想象力对理解Lyapunov稳定性的实质和意 义非常有帮助。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即
线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统 转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内
此外，庞加莱还在1895年证明了“庞加莱 回归定理” ，并开创了动力系统理论。
在Routh和Poincare等工作的影响下，1892年，俄国数学力 学家A.M. Lyapunov（李亚普诺夫，1857–1918) 发表了博士 论文“The General Problem of the Stability of Motion 论运动 稳定性的一般问题”，建立了关于运动稳定性研究的一般性 理论，总结和发展了系统的经典时域分析法。
该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫） 是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好的 关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率论 中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和李 亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证明 了中心极限定理。 Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control
本节讨论的Lyapunov稳定性即为内部稳定性。 Inner stability
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于 线性系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两 种定义才具有等价性。
History of stability theory
最重要问题。提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论 的基本任务之一。
对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统
的稳定性判据。
经典控制理论中，借助于常微分方程稳定性理论，产 生出现了许多稳定性判据，给出了既实用又方便的判
别系统稳定性的方法，如Routh-Hurwitz判据和 Nyquist判据等。
function)的标量函数来分析判别稳定性。
由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二 种方法称为直接法，也称为Lyapunov第二法。
Lyapunov稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统， 而且也能用来研究 时变系统 非线性系统 离散时间系统 离散事件动态系统 逻辑动力学系统
（国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
Lyapunov把分析一阶常微分方程组稳定性的方法归纳为两类 第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化，然 后通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性 来讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法，与经典控制理论中判别 稳定性方法的思路是一致的。 该方法称为间接法，也称为Lyapunov第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性，而是通过定义一个叫Lyapunov函数(Lyapunov
取决于其特征方程的根，与初始条件和扰动都无关, 而非线性系统则不然。
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的，很难笼统 地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。
对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定 性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 稳定的线性系统只存在唯一的孤立平衡态，所以只 有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。
法国大数学家J.H. Poincaré （庞加莱，
1854-1912）为了研究行星轨道和卫星轨 道的稳定性问题，在1881～1886年间创立 了微分方程的定性理论。他研究了微分方 程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、 结点、中心）附近的性态，并提出根据解 对极限环(一种特殊的封闭曲线)的关系， 可以判定解的稳定性。
f(x, t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。
lim x(t )
t
式中，x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的给定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它 不可能是一个稳定系统。
对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,只有稳定 的系统才有用。 分析一个控制系统的稳定性，一直是控制理论中所关注的
稳定性的定义为：
当系统受到外界干扰后, 显然它的平衡被破坏, 但在外 扰去掉以后, 它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。 Unstable systems
也可以说，系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后，系 统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数 值)过渡过程的收敛性， 用数学方法表示就是
E.J. Routh (1831-1907) 出生在加拿大魁北克, 11岁那年回到
英国，在de Morgan指导下学习数学。在剑桥大学的毕业考 试中获得第一名。并得到了“Senior Wrangler”的荣誉称号。 （Maxwell排在了第二位。尽管Maxwell当时被称为最聪明 的人。）毕业后Routh开始从事私人数学教师的工作。从 1855年到1888年Routh教了600多名学生，其中有27位获得 “Senior Wrangler”称号，建立了无可匹敌的业绩。
实际上，控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：
外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态, 即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。
经典控制理论讨论的有界输入有界输出（BIBO）稳 定即为外部稳定性 。Outer stability 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现 稳定性，即系统的内部状态稳定性。
Ch.11 Lyapunov 稳定性 分析
目 录
概述
11.1 Lyapunov 关于稳定性的定义
11.2 Lyapunov 第一方法
11.3 Lyapunov 第二方法
11.4 线性定常系统的 Lyapunov 稳定性分析
概
稳定的系统。
述
一个自动控制系统要能正常工作和实用, 首先必须是一个 具有稳定性的系统称为稳定系统。Stable systems
1895年，德国数学家A. Hurwitz (赫尔维持，1859-1919)在不 了解Routh工作的情况下，独立给出了根据多项式系数决定 多项式的根是否都具有负实部的另一种方法。Hurwitz的条 件同Routh的条件在本质上是一致的，因此这一稳定性判据 现在也被称为Routh-Hurwitz稳定性判据。
应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要
求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
在解决这类复杂系统的稳定性问题时，最通常的方法
是基于Lyapunov第二法而得到的一些稳定性理论，即 Lyapunov稳定性定理。Lyapunov stability theorem
人们很早就开始关注稳定性问题。牛顿可能是第一个关注动 态系统稳定性的科学家。1687年，《自然哲学之数学原理》 对围绕引力中心做圆周运动的质点进行了研究。他假设引力 与质点到中心距离的 q 次方成正比。牛顿发现，假设q>-3 , 则在小的扰动后，质点仍将保留在原来的圆周轨道附近运动。 而当 q≤-3时，质点将会偏离初始的轨道，或者按螺旋状的 轨道离开中心趋向无穷远，或者将落在引力中心上。 在牛顿建立引力理论后，天文学家试图证明太阳系的稳定性。 特别地，拉格朗日和拉普拉斯在这一问题上做了突出的贡献。 1773年，24岁的拉普拉斯“证明了行星到太阳的距离在一些 微小的周期变化之内是不变的”，并因此成为法国科学院副 院士。虽然他们的论证今天看来并不严格，但这些工作对于 后来Lyapunov的稳定性理论有很大的影响。
十九世纪中期，稳定性理论仍集中在对保守系统研究上, 如 天文学问题。在出现控制系统的镇定问题后，科学家们开始 考虑非保守系统的稳定性问题。 J.C. Maxwell（麦克斯韦）第一次利用特征方程的系数来判 断系统稳定性，第一次对反馈控制系统的稳定性进行系统分 析并发表论文，开创了控制理论研究的先河。1868年的论文 “On Governors论调节器”中，导出了调节器的微分方程， 并在平衡点附近进行线性化处理，指出稳定性取决于特征方 程的根是否具有负实部。他在论文中对三阶和五阶微分方程 的调节器进行了研究，并给出了系统的稳定性条件。 1872年，俄国И.А.维什聂格拉斯基（1831-1895）也对蒸汽机 的稳定性问题进行了研究，被视为苏联自动调整理论的奠基 人。 1876年他的论文“论调整器的一般原理” 发表在法国 科学院院报上。他还利用线性化方法简化问题，用线性微分 方程描述由调整对象和调整器组成的系统，使问题大大简化。
Maxwell (1831-1879)是一位天才的科学家，在许多方面都有 极高的造诣。他是电磁理论的创立人，把电、光统一起来， 实现了物理学的第二次大综合。 Maxwell在他的论文中还催促数学家们尽快解决多项式系数 与根的关系的问题。由于五次以上的多项式没有直接的求根 公式，这给判断高阶系统的稳定性带来了困难。 1875年，Maxwell担任剑桥Adams Prize的评奖委员。这项两 年一次的奖授予在该委员会所选科学主题方面竟争的最佳论 文。1877年，该奖的主题是“运动的稳定性”。E.J. Routh （劳斯）在这项竟赛中以其根据多项式的系数决定多项式在 右半平面根的数目的论文夺得桂冠。Routh的这一成果现在 被称为劳斯判据。Routh工作的意义在于将当时各种有关稳 定性的孤立结论和非系统的结果统一起来，开始建立有关动 态稳定性的系统理论。
Lyapunov稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的 局部稳定性问题。
它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 本节先讨论Lyapunov稳定性理论的基础--Lyapunov 稳定性定义。
本节主要讨论Lyapunov意义下的各种稳定性的定义和意义。 本节主要问题为: 基本概念: 平衡态、Lyapunov稳定性、渐近稳定性、 大范围渐近稳定性、不稳定性 基本方法: 求解平衡态方法