安徽省合肥市瑶海区19-20九上期末数学试卷

安徽省合肥市瑶海区19-20九上期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.二次函数y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是()
A. (−2,5)
B. (2,5)
C. (−2,−5)
D. (2,−5)
2.若x
y =2
3
，则下列各式不成立的是()
A. x+y
y =5
3
B. y−x
y
=1
3
C. x
2y
=1
3
D. x+1
y+1
=3
4
3.反比例函数y=m−1
x
的图象，在每个象限内，y的值随x的增大而增大，则m的取值范围是()
A. m>0
B. m<0
C. m>1
D. m<1
4.二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表
达式是()
A. y=2x2−12x
B. y=−2x2+6x+12
C. y=2x2+12x+18
D. y=−2x2−6x+18
5.下列四个三角形，与图中的三角形相似的是()
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接
AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()
A. 3：4
B. 9：16
C. 4：9
D. 1：3
7.如图，C是以AB为直径的半圆上一点，D是AC⏜上的点，若∠BOC=
40°，则∠D的度数为()
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 130°
8.如图，在△ABC中，点D在AC上，DE⊥BC，垂足为E，若2AD=DC，AB=4DE，则sin B=()
A. 1
2B. √7
3
C. 3√7
7
D. 3
8
9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB//y轴，AB=3，反比例
函数y=−3
x
的图象经过点B，与AC交于点D，且CD=2AD，
则点D的横坐标是()
A. −1
B. −2
C. −3
D. −4
10.如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、
AE的中点，则FG=()
A. 5
2B. √10
2
C. 2
D. 3√2
2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11.反比例函数y=k
x
的图象经过点(3,−1)，则k的值为______．
12.某人沿着有一定坡度的坡面前进了5米，此时他与水平地面的垂直距离为4米，则这个坡面的
坡度为______．
13.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的
延长线于点E.若AB=15，BM=8，则DE的长为______．
14.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A(−1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴
的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点)，下列结论：
①当−1<x<3时，y>0；②−1<a<−2
；③当m≠1时，a+b>m(am+b)；④4ac−b2>
3
8a其中正确的结论是______．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
)−1+(2019−π)0+3tan30°
15.计算：|√3−2|+(−1
2
四、解答题（本大题共8小题，共82.0分）
16.如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A 1B 1C 1绕点A 1按逆时针方向旋转90∘，在网格中画出旋转后的△A 1B 2C 2；
(3)如果网格中小正方形的边长为1，求线段BB 2的长．
17. 如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE ⊥AC 于
E ．
求证：(1)DB =DC ；
(2)DE 为⊙O 的切线．
18. 观察下列有规律的数：12，16，112，120，130，1
42…
根据规律可知：
(1)第8个数是_______________；
(2)1
132
是第_______________个数；
(3)计算：1
2+1
6
+1
12
+1
20
+⋯+1
199×200
．
19.如图，在一笔直的海岸线上有A、B两上观测站，A在B的正东方向，BP=6√2(单位：km).有
一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
(1)求A、B两观测站之间的距离；
(2)小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观测站B到射线AP的最短距离．
20.已知，如图，反比例函数y=k
x
的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)，点B(m,−1)，
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OAB的面积；
(3)直接写出不等式x+b>k
的解．
x
21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=3
4
(1)求AD和AB的长；
(2)求sin∠BAD的值．
22. 某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在15天内完成．已知每件产品的售价为65元，
工人甲第x 天生产的产品数量为y 件，y 与x 满足如下关系：
y ={8x(0≤x ≤5)5x +10(5<x ≤15)
(1)工人甲第几天生产的产品数量为80件？
(2)设第x 天(0≤x ≤15)生产的产品成本为P 元/件，P 与x 的函数图象如图，工人甲第x 天创造的利润为W 元．
①求P 与x 的函数关系式；
②求W 与x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？
23. 如图1，在△ABC 中，AB =AC =10，BC =16，点D 为BC 边上的动点(点D 不与点B ，C 重
合).以D 为顶点作∠ADE =∠B ，射线DE 交AC 边于点E ，过点A 作AF ⊥AD 交射线DE 于点F ，连接CF ．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)当DE//AB时(如图2)，求AE的长；
(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF？若存在，求出此时BD 的长；若不存在，请说明理由．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：y=−(x−2)2+5图象的顶点坐标是(2,5)．
故选：B．
根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2.答案：D
解析：解：∵x y=23，
∴设x=2k，y=3k，
A、x+y
y =2k+3k
3k
=5
3
，正确；
B、y−x
y =3k−2k
3k
=1
3
，正确；
C、x
2y =2k
2⋅3k
=1
3
，正确；
D、x+1
y+1=2k+1
3k+1
≠3
4
．
故选：D．
根据比例设x=2k，y=3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便．
3.答案：D
解析：
本题主要考查的是反比例函数的性质的有关知识，由题意根据反比例函数的图象在每个象限内，y 的值随x的增大而增大，可以得到反比例函数的图象在第二，四象限，进而得到m−1<0，求解即可．
解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y的值随x的增大而增大，
∴m−1<0，
∴m<1．
故选D．
4.答案：C
解析：解：二次函数y=2(x−3)2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y=2(x−3+6)2+2−2，即y=2x2+12x+18．
故选：C．
根据平移规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5.答案：B
解析：
此题考查比例线段和相似三角形的判定的知识点，解题关键点是熟练掌握两个三角形相似判定方法.根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为√2,2√2,√10．
A.三角形三边2,√10,3√2，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边2，4，2√5，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；
C.三角形三边2，3，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边√5，4，√13，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．
故选B．
6.答案：B
解析：解：设DE=3k，EC=k，则CD=4k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4k，DE//AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴S△DEF
S△ABF =(DE
AB
)2=(3k
4k
)2=9
16
，
故选B．
设DE=3k，EC=k，则CD=4k，由四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD=4k，DE//AB，
推出△DEF∽△BAF，推出S△DEF
S△ABF =(DE
AB
)2由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
7.答案：B
解析：
此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
解：∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=180°−40°=140°，
∴∠D=1
2
×(360°−140°)=110°，
故选B．
8.答案：D
解析：
本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是作三角形ABC的高线，构建直角三角形．
解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则有DE//AF．
∴△CED∽△CFA，
∴CD
CA =DE
AF
．
∴AF=3
2
DE．
则sinB=AF
AB =
3
2
DE
4DE
=3
8
．
故选D．
9.答案：C
解析：解：过D作AB的平行线，交BC于E，交x轴于F，则ABEF 是矩形，EF=AB=3．
∵DE//AB，CD=2AD，
∴DE
AB =CD
AC
=2
3
，
∴DE=2
3
AB=2，
∴DF=EF−DE=3−2=1，
∴D点纵坐标为1，
∵反比例函数y=−3
x
的图象经过点D，
∴y=1时，x=−3，
∴点D的横坐标是−3．
故选：C．
过D作AB的平行线，交BC于E，交x轴于F，得出ABEF是矩形，根据矩形的性质得出EF=AB=3.
由DE//AB，根据平行线分线段成比例定理求出DE=2
3
AB=2，则DF=1，即D点纵坐标为1，再
根据反比例函数y=−3
x
的图象经过点D，即可求出点D的横坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，求出D点纵坐标是解题的关键．
10.答案：B
解析：
由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=BE=3，可得EC=1，由勾股定理可求DE=√10，由三角形中位线定理可求GF的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的定理，求EC的长是解本题的关键．
【详解】
解：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∴EC=BC−BE=1，
∴DE=√EC2+CD2=√10，
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG=1
2DE=√10
2
．
故选B．
11.答案：−3
解析：解：∵反比函数y=k
x
的图象经过点(3,−1)，
∴k=xy=3×(−1)=−3．
故答案是：−3．
把点(3,−1)代入y=k
x
来求k的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
12.答案：4：3
解析：解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了5米．此时他与水平地面的垂直距离为4米，
∴根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为：√52−42=3，
则坡度为4：3，
故答案为：4：3．
根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度．
此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．
13.答案：169
8
解析：
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
方法一：先根据题意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的长，再求出DG的长，根据△MCG∽△EDG 即可得出结论．
方法二：Rt△ABM中利用勾股定理求得AM，证明△ABM∽△EMA，则BM
AM =AM
AE
，代入即可求得DE
的长．
解：方法一：
∵四边形ABCD是正方形，AB=15，BM=8，∴MC=15−8=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴AB
MC =BM
CG
，∴15
7
=8
CG
，
解得：CG=56
15
，
∴DG=15−56
15=169
15
，
∵AE//BC，
∴∠E=∠CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，
∴MC
DE =CG
DG
，∴7
DE
=
56
15
169
15
，∴DE=169
8
，
故答案为：169
8
．
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AD//BC，
∵AM⊥ME，∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∵AD//BC，∴∠CMG=∠E，
∴∠BAM=∠E，又∠B=∠AME=90°，
∴△ABM∽△EMA，∴BM
AM =AM
AE
，
∵Rt△ABM中，AB=15，BM=8，∴AM=√152+82=17，
∴8
17=17
15+DE
，解得DE=169
8
，
故答案为：169
8
．
14.答案：①②③
解析：
本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0)，即可求解；
②设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，则y=ax2−2ax−3a，令x=0得：y=−3a，即可求解；
③由二次函数的最大值是y=a+b+c，从而可知a+b+c>am2+bm+c(m≠1)．
④由4ac−b2
4a
>2，a<0，从而求得4ac−b2<8a．
解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为(3,0)，当−1<x<3时，y>0，故①正确；
②设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，则y=ax2−2ax−3a，
令x=0得：y=−3a．
∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(不包括这两个点)，
∴2<−3a<3．
解得：−1<a<−2
3
，故②正确；
③∵当x=1时，函数有最大值，即a+b+c>am2+bm+c(m≠1)，
∴a+b>m(am+b)，故③正确；
④∵4ac−b2
4a
>2，a<0，
∴4ac−b2<8a，故④错误，
故答案为①②③．
15.答案：解：|√3−2|+(−1
2
)−1+(2019−π)0+3tan30°
=(2−√3)+(−2)+1+3×√3 3
=2−√3−2+1+√3
=1
故原式的值为1．
解析：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值化简、特殊角三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
16.答案：解：(1)如下图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如下图所示：△A1B2C2即为所求；
(3)如图所示：线段BB2的长为：√22+42=2√5．
解析：此题主要考查了轴对称变换以及旋转变换和勾股定理应用等知识，得出旋转变换后对应点位置是解题关键．
(1)利用平移变换的性质得出平移规律进而得出对应点坐标位置即可；
(2)利用旋转的性质得出逆时针旋转90°后对应点位置，进而得出答案；
(3)直接利用勾股定理得出线段BB2的长即可．
17.答案：证明：(1)连AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BC，
又AB=AC，
∴D为BC中点，
即DB=DC；
(2)连OD，
∵D为BC中点，OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD//AC，
又∵DE⊥AC于E，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴DE为⊙O的切线．
解析：本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定和三角形的中位线等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
(1)连接AD，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得出即可；
(2)求出OD//AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可．
18.答案：解：(1)1
72
(2)11
(3)原式=1−1
2+1
2
−1
3
+⋯+1
199
−1
200
=1−1
200
=199
200
．
解析：
本题主要考查数字的变化规律，根据题意掌握数列的分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积是解题的关键．
(1)以上分子均为1，分母是序数与序数加1的乘积，据此可得．
(2)根据(1)可知第n个数为1
n(n+1)
，列方程求解可得；
(3)由1
n(n+1)=1
n
−1
n+1
裂项相消求解可得．
解：(1)∵第1个数1
2=1
1×2
，
第2个数1
6=1
2×3
，
第3个数1
12=1
3×4
，
…
∴第8个数为1
8×9=1
72
，
故答案为1
72
；
(2)由(1)知第n个数为1
n(n+1)
，
由题意知n(n+1)=132，
解得n=11或n=−12(舍)，
即1
132
是第11个数，
故答案为11；
(3)见答案．
19.答案：解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°−45°=45°，
∵BP=6√2，
∴BD=PD=6km．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°−60°=30°，
∴AD=PD
tan30°
=√3PD=6√3km，
∴AB=BD+AD=(6+6√3)km；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F，
则∠BAP=30°，
∵AB=(6+6√3)，
∴BF=1
2
AB=(3+3√3)km．
∴观测站B到射线AP的最短距离为(3+3√3)km．
解析：(1)过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD 的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；
(2)过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
20.答案：解：(1)把A点坐标(1,4)分别代入y=k
x
，y=x+b，得k=1×4，1+b=4，解得k=4，b=3，
∴反比例函数、一次函数的解析式分别为y=4
x
，y=x+3．
(2)如图，当y=−1时，x=−4，
∴B(−4,−1)，
又∵当y=0时，x+3=0，x=−3，
∴C(−3,0)．
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=1
2×3×4+1
2
×3×1=15
2
．
(3)不等式x+b>k
x
的解是x>1或−4<x<0．
解析：(1)根据反比例函数y=k
x
的图象过点A(1,4)利用待定系数法求出即可；把B(m,−1)代入所求的反比例函数的解析式得出B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)将三角形AOB分割为S△AOB=S△BOC+S△AOC，求出即可．
(3)根据函数的图象和交点坐标即可求得．
此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出S△AOB=S△BOC+S△AOC是解题关键．
21.答案：解：(1)∵D是BC的中点，BD=2，
∴BD=DC=2，BC=4，
在Rt△ACB中，由tanB=AC
CB =3
4
，
∴AC
4=3
4
，
∴AC=3，
由勾股定理得：AD=√AC2+CD2=√32+22=√13，AB=√AC2+BC2=√32+42=5；
(2)过点D作DE⊥AB于E，
∴∠C =∠DEB =90°，
又∠B =∠B ，
∴△DEB∽△ACB ，
∴DE AC =DB AB
， ∴DE =65，
∴sin∠BAD =DE AD =65
√13=6√1365
．
解析：(1)由中点定义求BC =4，根据tanB =3
4得：AC =3，由勾股定理得：AB =5，AD =√13；
(2)作高线DE ，证明△DEB∽△ACB ，求DE 的长，再利用三角函数定义求结果．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 22.答案：解：(1)根据题意，得：∵若8x =80，得：x =10>5，不符合题意；
若5x +10=80，解得：x =14．
答：工人甲第14天生产的产品数量为80件；
(2)①由图象知：当0≤x ≤5时，P =40；
当5<x ≤15时，设P =kx +b ，
将(5,40)，(15,50)代入得：{5k +b =4015k +b =50
， ∴{k =1b =35
， ∴P =x +35，
综上，P 与x 的函数关系式为：P ={40(0≤x ≤5)x +35(5<x ≤15)
； ②当0≤x ≤5时，W =(65−40)×8x =200x ，
当5<x ≤15时，W =(65−x −35)(5x +10)=−5x 2+140x +300，
综上，W 与x 的函数关系式为：W ={200x (0≤x ≤5)−5x 2+140x +300(5<x ≤15)
；
当0≤x≤5时，W=200x，
∵200>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=5时，W最大为1000元；
当5<x≤15时，W=−5(x−14)2+1280，
当x=14时，W最大值为1280元，
综上，第14天时，利润最大，最大利润为1280元．
解析：(1)根据y=80求得x即可；
(2)先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=售价−成本，学会利用函数的性质解决最值问题．
23.答案：(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE，又∠B=∠ACB，
∴△BAD∽△DCE．
(2)解：∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，
∵△CDE∽△ABD，
∴△ABD∽△CBA，
∴AB
BC =BD
AB
，即10
16
=BD
10
，
解得，BD=25
4
，∵DE//AB，
∴AE
AC =BD
BC
，即AE
10
=
25
4
16
，
解得，AE=125
32
；
(3)点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．
理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，
∴∠MAN=90°，MH=AN，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=CM=1
2
BC=8，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM=√AB2−BM2=√102−82=6，
∴tanB=AM
BM =3
4
，
∵∠ADE=∠B，
∴tan∠ADE=AF
AD =3
4
，
∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF=90°=∠AMD，∵∠DAF=90°=∠MAN，∴∠NAF=∠MAD，
∴△AFN∽△ADM，
∴AN
AM ═AF
AD
=3
4
，即AN
6
=3
4
，
解得，AN=9
2
，
∴MH=AN=9
2
，
∴CH=CM−MH=7
2
，
∵FD=FC，FH⊥CD，
∴CD=2CH=7，
∴BD=BC−CD=9．
解析：(1)根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB，根据三角形的外角性质得到∠BAD=∠CDE，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
(2)证明△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质求出BD，根据平行线分线段成比例定理列式求出AE；
(3)作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N.根据勾股定理求出AM，证明△AFN∽△ADM，
根据相似三角形的性质求出MH，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、正确添加辅助线、构造直角三角形解决问题．。