广东省高二上学期期中考试理科数学试卷 Word版含答案

广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分选择题（共60分）
一、(每题5分，共60分)
1. 名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩及格的分别有人和人，项
测验成绩均不及格的有人，项测验成绩都及格的人数是 ( )
A. B. C. D.
2. 已知直线，，若，则
A. 或
B. 或
C. 或2
D.
3. 下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线都相交的两
条直线；④两两相交的三条直线．其中，不能确定一个平面的条件有
A. ①②
B.②③
C. ①②③
D. ①②③④
4. 若的三个内角，，满足，则
A. 一定是锐角三角形
B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5. 若直线按向量平移得到直线，则 ( )
A. 只能是
B. 只能是
C. 只能是或
D. 有无数个
6. 在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )
A.3
B.
C.
D. 6
7. 在数列中，，前项和为，且点在直线上，则 ( )
A. B.
C. D.
8. 按下列程序框图运算，规定：程序运行到"判断结果是否大于"为次运算，若，
则运算停止时进行的运算次数为 ( )
A. B. C. D.
9. 如图，在三棱锥中，，在内，，，则的度数为 ( )
A. B.
C. D.
10. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组
的解的情况是 ( )
A. 无论如何，总是无解
B. 无论如何，总有唯一
解
C. 存在，使之恰有两解
D. 存在，使之有无穷多解
11. 某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的
俯视图的是 ( )
A. ①②③
B. ①②
C. ②③④
D. ①②③④
12. 设，为整数，方程在区间内有两个不同的根，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
第二部分非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，共20分）
13. 过点M（1，2），且与点A (3 ,4 ) , B ( -1 , 6 ) 距离相等的直线方程为.
14. 已知倾斜角为的直线，与直线平行，则.
15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 的两个全等的等腰
直角三角形，则该几何体的体积是 ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 ．
16. 在平面直角坐标系 中，已知点 ，，直线 ，其中实数 ，， 成等差数列，若点 在直线 上的射影为 ，则线段 长的取值范围是 ．
三、解答题（共70分） 17.(本小题10分)
在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，已知 ，且 ．
Ⅰ 求 的大小；
Ⅱ 设 且 的最小正周期为 ，求 在 的最大值．
18. (本小题12分)
如图，三棱锥 内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知 ，，，，
Ⅰ求圆锥的侧面积及侧面展开圆的中心角； Ⅱ 求 经过圆锥的侧面到 点的最短距离．
19. (本小题12分)
某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了 辆纯电动汽车作为运营车辆．目
前我国主流纯电动汽车按续航里程数 （单位：公里）分为 类，即 类：， 类：， 类：．该公司对这 辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：
Ⅰ 从这 辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过 万公里的概率；
Ⅱ 公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取 辆车进行车况分析，按表中描述的
六种情况进行分层抽样，设从 类车中抽取了 辆车． ①求 的值；
②如果从这 辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过 万公里的
概率．
C
P
A
D
B
20. (本小题12分)
如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，顶点P在底面的射影在CA延长线上（含点A）.
Ⅰ求证：平面.
Ⅱ若P在底面上的射影为A，当平面与平面垂直时，求的长.(在答卷中填空并解答)
Ⅲ若PA与底面的所成角为，求二面角P-BC-A 的余弦值.
21. (本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．
Ⅰ若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；
Ⅱ当时，求折痕长的最大值；
Ⅲ当时，折痕为线段，设，试求的最大值．
22. (本小题12分)
设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．
Ⅰ如果定义域为的函数为上的高调函数，求实数的取值范围；
Ⅱ如果定义域为的函数（为常数且）为上的高调函数，求证：；
Ⅲ如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，求实数的取值范围．
广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试答案
数学
一、选择题：
CBDC D ACABB DA
二、填空题：
13.14. 15. , 316.
三、解答题：
17. （1）因为，且，所以，
所以．………………..2分
又，所以．………………..4分
（2）………………..7分
因为，所以，所以，………………..8分
因为，所以．
所以当，即时，．………………..10分18. （1）因为，，，
所以为底面圆的直径．………………..4分
圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为，弧长为，
则，所以，所以．………………..7分（2）沿着圆锥的侧棱展开，在展开图中，，，
．………………..10分
19. （1）总共有140辆汽车，行驶总里程超过万公里的汽车有20+20+20=60辆
故从这辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为
．………………..4分
（2）①依题意．………………..6分② 辆车中已行驶总里程不超过万公里的车有辆，记为，，；
辆车中已行驶总里程超过万公里的车有辆，记为，．
“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共种：
，，，，，，，，，．………………..8分
“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过万公里”的选法共种：
，，，，，．………………..10分
则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率．………………..12分
20. （1）过P作PE面AC于E
因为顶点P在底面的射影在CA延长线上
所以E在CA 延长线上即PE
因为底面为菱形，
因为，
所以，
BD所以平面.…………４分
（2）如图①，在上取一点，使得.
又因为，
所以，
所以，
所以为二面角的平面角，…………６分
所以.又，
所以，即为等腰直角三角形.
所以.
如图②，从截面利用相似三角形可得. ……….…８分
(3)过点E作EM BC于M 连结PM
因为PE面ABCD
所以PE BC
所以BC面PEM
所以BC PM 即为二面角的平面角……….…10分
因为PA与底面的所成角为
所以EA=，EC=
所以EM=tan =cos =
二面角的余弦值为……….…12分
21.（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程为．..1分
当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，
所以与关于折痕所在的直线对称，有
故点坐标为，
从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为．…..2分
折痕所在的直线方程为
综上，得折痕所在的直线方程为．…..……3分
（2）设折痕的长度为．
当时，折痕所在直线交于点
交轴于，
所以折痕长度的最大值为．……………..6分
当时，折痕的长；而，
故折痕长度的最大值为．………………..7分
（3）当时，折痕所在直线交于
交轴于．，
故…………..10分
因为，所以当且仅当时取“ ”．
所以当时，取最大值，的最大值是．……………….12分22. （1）由题意，当时，，得，因为，所以
由，得，由得，
因为在为减函数，所以．
所以的取值范围是．…………….3分
（2）当时，，
由得，即，…………..5分
当时，上式恒成立．
当时，，因为在上的最小值为，
所以，所以．…………..7分
（3）当时，，
因为是奇函数，，所以时，
即………...9分
当时，，由得，
从而，两边平方得，所以，
因为在上的最小值是，所以．
当时，，由得，
从而，两边平方得，
因为当时，，所以．
当时，，由得
，
从而，
因为
所以或（舍去），…………..13分
所以．综上，的取值范围是． (14)
分。