_平均数_教学实录_张齐华

出 4 个。平均分到每一次上，每一次 正好能分到 1 个， 结果自然就是 5 个了。
师：那么，最后一次如果从原来 的 1 个变成 9 个， 平均数又会增加 多少呢？
生：应该增加 2。 因为 9 比 1 多 8， 多出的 8 个再平均分到四次上， 每一次只增加了 2 个。 所以平均数 应增加2 个。
生： 我 是 列 式 计 算 的 ，4+6+5+ 9=24（个 ），24÷4=6（个）。 结果也是 6 个。
生：我不同意。万一他后面两次 投中的多了，那我不就危险啦！
生：我会同意的。做老师的应该 大度一点。
师：呵呵，还真和我想到一块儿 去了。不过，小强后两次的投篮成绩 很有趣。
（师出示小强的后两次投篮成 绩：5 个，5 个。 生会心地笑了）
师：还真巧，小强三次都投中了 5 个。 现在看来，要表示小强 1 分钟 投中的个数，用哪个数比较合适？
小强、小林、小刚对我的投篮技术也 术
深表怀疑。就在上星期，他们三人还
欣 约我进行了一场 “1 分钟投 篮 挑 战
赛”。 怎么样，想不想了解现场的比
赏
赛情况？
生：（齐）想！
师：首先出场的是小强，他 1 分
钟投中了 5 个球。可是，小强对这一
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成绩似乎不太满意， 觉得好像没有 发挥出自己的真实水平， 想再投两 次。如果你是张老师，你会同意他的 要求吗？
师：是呀，三次成绩各不相同。 这一回， 又该用哪个数来表示小林 1 分钟投篮的一般水平呢？
生：我觉得可以用 5 来表示，因 为他最多一次投中了 5 个。
生：我不同意！小强每次都投中 5 个，所以用 5 来表示他的成绩。 但 小林另外两次分别投中 4 个和 3 个，怎么能用 5 来表示呢？
师：也就是说，如果也用 5 来表 示 ，对 小 强 来 说 — — —
7、图 8）吧？ 生：（观察片刻）也是这样的。 师：这 儿 还 有 几 幅 图 ，（出 示 图
化，只需要改变其中的几个数？ 生：一个数。 师：瞧，前三个数始终不变，但
最后一个数从 1 变到 5 再变到 9， 平 均 数 — — —
生：也跟着发生了变化。 师：难怪有人说，平均数这东西 很敏感， 任何一个数据的 “风吹草 动”，都会使平均数发生变化。 现在 看来，这话有道理吗？ （生：有）其实 呀， 善于随着每一个数据的变化而 变化， 这正是平均数的一个重要特 点。在未来的数学学习中，我们将就 此作更进一步的研究。 大家还有别 的发现吗？ 生： 我发现平均数总是比最大 的数小，比最小的数大。 师：能解释一下为什么吗？ 生：很简单。多的要移一些补给 少的， 最后的平均数当然要比最大 的小，比最小的大了。 师：其实，这是平均数的又一 个重要特点。 利用这一特点，我们 还可以大概地估计出一组数据的 平均数。 生：我 还 发 现 ，总 数 每 增 加 4， 平均数并不增加 4，而是只增加 1。 师：那么，要是这里的每一个数 都增加 4，平均数又会增加多少呢？ 还会是 1 吗？ 生：不会，应该增加 4。 师：真是这样吗？ 课后，同学们 可以继续展开研究。或许，你们还会 有更多的新发现！ 不过， 关于平均 数， 还有一个非常重要的特点隐藏 在这几幅图当中。 想不想了解？ 生：想！ 师：以图 6 为例。 仔细观察，有 没有发现这里有些数超过了平均 数，而有些数还不到平均数？ （生点 头示意） 比较一下超过的部分与不 到的部分，你发现了什么？ 生：超 过 的 部 分 和 不 到 的 部 分一样多，都是 3 个。 师：会不会只是一种巧合呢？让 我们赶紧再来看看另两幅图 （指图
个数呢？
生： 这里的 4 代表的是小刚三
次投篮的平均水平。
生： 是小刚 1 分钟投篮的一般
水平。
（师板书：一般水平）
师：最后，该我出场了。 知道自
己投篮水平不怎么样， 所以正式比
赛前，我主动提出投四次的想法。没
想到，他们竟一口答应了。前三次投
篮已经结束，怎么样，想不想看看我
每一次的投篮情况？
（ 师 呈 现 前 三 次 投 篮 成 绩 ：4
师：凭直觉，张老师最终是赢了
还是输了？
生：输了。 因为你最后一次只投
中 1 个，也太少了。
师： 不计算， 你能 名 几个吗？
家
生：大约是 4 个。
生：我也觉得是 4 个。
教
师：英雄所见略同呀。 不过，第
二次我明明投中了 6 个， 为什么你 学
们不估计我最后的平均成绩是 6
生： 使原来几个不相同的数变
名
得同样多。
师：数学上，我们把通过移多补 家
少后得到的同样多的这个数， 就叫
教
做原来这几个数的平均数。（板书课
题：平均数）比如，在这里（出示图 学
1）， 我们就说 4 是 3、4、5 这三个数 艺
的平均数。 那么， 在这里 （出示图
3），哪个数是哪几个数的平均数呢？ 术
在小组里说说你的想法。 欣
师：数学上，像这样从多的里面 移一些补给少的， 使得每个数都一 样多。这一过程就叫“移多补少”。移 完后， 小林每分钟看起来都投中了 几个？
生：（齐）4 个。 师： 能代表小林 1 分钟投篮的 一般水平吗？ 生：（齐）能！ 师：轮到小刚出场了。 （出示图 2）小 刚 也 投 了 三 次 ，成 绩 同 样 各 不 相同。 这一回，又该用几来代表他 1
二、深化理解 师：现在，请大家观察下面的三 幅图，你有什么发现？把你的想法在 小组里说一说。 （师出 示 图 6、图 7、图 8，三 图 并排呈现）
（生独立思考后，先组内交流想 法，再全班交流）
生：我发现，每一幅图中，前三 次成绩不变， 而最后一次成绩各不 相同。
师 ：最 后 的 平 均 数 — — — 生：也不同。 师：看 来 ，要 使 平 均 数 发 生 变
个、6 个、5 个，如图 4）
师：猜猜看，三位同学看到我前 三次的投篮成绩，可能会怎么想？
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生：他们可能会想：完了完了， 肯定输了。
师：从哪儿看出来的？ 生：你们看，光前三次，张老师 平均 1 分钟就投中了 5 个， 和小强 并列第一。更何况，张老师还有一次 没投呢。 生：我觉得不一定。万一张老师 最后一次发挥失常，一个都没投中，或 只投中一两个，张老师也可能会输。 生： 万一张老师最后一次发挥 超常 ，投 中 10 个 或 更 多 ，那 岂 不 赢 定了？ 师：情况究竟会怎么样呢？还是 让我们赶紧看看第四次投篮的成绩 吧。 （师出示图 5）
生：5。 师：为什么？ 生：他每次都投中 5 个，用 5 来
表示他 1 分钟投中的个数最合适 了。
师：说得有理！接着该小林出场 了。小林 1 分钟又会投中几个呢？我 们也一起来看看吧。
（师出示小林第一次投中的个 数：3 个）
师：如果你是小林，会就这样结 束吗？
生：不会！我也会要求再投两次 的。
师：为什么？ 生：这也太少了，肯定是发挥失 常。 师：正如你们所说的，小林果然 也要求再投两次。 不过，麻烦来了。 （ 出 示 小 林 的 后 两 次 成 绩 ：5 个 ，4 个）三次投篮，结果怎么样？ 生：（齐）不同。
生：在 这 里 ，4 是 3、7、2 这 三 个
数的平均数。
赏
师：不过，这里的平均数 4 能代
表小刚第一次投中的个数吗？
生：不能！
师：能代表小刚第二次、第三次
投中的个数吗？
生：也不能！
师：奇怪，这里的平均数 4 既不
能代表小刚第一次投中的个数，也
不能代表他第二次、 第三次投中的
个数， 那它究竟代表的是哪一次的
生：也不可能。这次尽管只投中 1 个，但其他几次都比 1 个多，移一 些补给它后，就不止 1 个了。
师：这样看来，尽管还没得出结 果，但我们至少可以肯定，最后的平 均 成 绩 应 该 比 这 里 最 大 的 数 — — —
生：小一些。 生：还要比最小的数大一些。 生： 应该在最大数和最小数之 间。 师：是不是这样呢？赶紧想办法 算算看吧。 [生列式计算， 并交流计算过 程 ：4+6+5+1=16 （个 ），16÷4=4 （个 ）] 师：和 刚 才 估 计 的 结 果 比 较 一 下，怎么样？ 生： 的确在最大数和最小数之 间。 师：现在看来，这场投篮比赛是 我输了。 你们觉得问题主要出在哪 儿？ 生：最后一次投得太少了。 生：如果最后一次多投几个，或 许你就会赢了。 师：试想一下：如果张老师最后 一次投中 5 个，甚至更多一些，比如 9 个，比赛结果又会如何呢？ 同学们 可以通过观察来估一估， 也可以动 笔算一算， 然后在小组里交流你的 想法。 （生估计或计算， 随后交流结 果） 生：如果最后一次投中 5 个，那 么只要把第二次多投的 1 个移给第 一次，很容易看出，张老师 1 分钟平 均能投中 5 个。 师： 你是通过移多补少得出结 论的。 还有不同的方法吗？ 生： 我是列式计算的。 4+6+5+ 5=20（个 ），20÷4=5（个）。 生：我还有补充！其实不用算也 能知道是 5 个。大家想呀，原来第四 次只投中 1 个，现在投中了 5 个，多
艺 个？
生：不可能，因为只有一次投中 术
6 个，又不是次次都投中 6 个。
欣
生： 前三次的平均成绩只有5
个，而最后一次只投中 1 个，平均成
赏
绩只会比 5 个少，不可能是 6 个。
生： 再说，6 个是 最 多 的 一 次 ，
它还要移一些补给少的。 所以不可
能是 6 个。
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师： 那你们为什么不估计平均 成绩是 1 个呢？ 最后一次只投中 1 个呀！
分钟投篮的一般水平呢？ 同学们先 独立思考， 然后在小组里交流自己 的想法。
生：我觉得可以用 4 来代表他 1 分钟的投篮水平。他第二次投中 7 个，可以移 1 个给第一次，再移 2 个 给第三次， 这样每一次看起来好像 都投中了 4 个。 所以用 4 来代表比 较合适。
（结合学生交流， 师再次呈 现 移 多 补 少 过 程 ， 如 图 3）
生：（齐）不公平！ 师：该用哪个数来表示呢？ 生：可以 用 4 来 表 示 ，因 为 3、 4、5 三个数，4 正好在中间， 最能代 表他的成绩。 师：不过，小林一定会想，我毕 竟还有一次投中 5 个， 比 4 个多 1 呀。 生：（齐） 那他还有一次投中 3 个，比 4 个少 1 呀。 师：哦，一次比 4 多 1，一次比 4 少 1…… 生：那么，把 5 里面多的 1 个送 给 3，这样不就都是 4 个了吗？ （师结合学生的交流，呈现移多 补少的过程，如图 1）
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编者按：张齐华老师自重备、重上“圆的认识”之后， 又踏上了对经典课例“平均数”进行超越的思考和实践 之旅。 这次超越与前者不同， 它对教师自身数学素 养— ——将 “平 均 数 ”看 做 一 个 统 计 量 ， 进 而 具 备 统 计 观 点— — — 的 要 求 更 高 ，而 这 对 于 在 上 学 期 间 从 未 系 统 学 习 过“概率与统计”知识的教师而言，更是难上加难！ 因此， 这次超越是否成功我们姑且不论，仅这种超越的勇气和 精神就值得称道！ 因为创造来自于不断的超越。 “课堂实 录+磨课思考+专家评析”的饕餮大餐，相信会给您带来 方法、思想乃至艺术上的享受。
师：还有别的方法吗？ 生：我 们 先 把 小 刚 三 次 投 中 的 个数相加，得到 12 个，再用 12 除以 3 等于 4 个。 所以，我们也觉得用 4 来表示小刚 1 分钟投篮的水平比较 合适。 [师 板 书 ：3+7+2=12 （ 个 ），12÷3= 4（个）] 师：像 这 样 先 把 每 次 投 中 的 个 数合起来， 然后再平均分给这三次 （ 板 书 ：合 并 、平 分 ），能 使 每 一 次 看 起来一样多吗？ 生：能！ 都是 4 个。 师： 能不能代表小刚 1 分钟投 篮的一般水平？ 生：能！ 师：其实，无论是刚才的移多补 少，还是这回的先合并再平均分，目 的 只 有 一 个 ，那 就 是 — — —
“平均数”教学实录
◇张齐华
一、建立意义
师：你们喜欢体育运动吗？
生：（齐）喜欢！
师：如果张老师告诉大家，我最 名 喜欢并且最拿手的体育运动是篮
家
球，你们相信吗？
生：不相信。篮球运动员通常都
教 很强壮，就像姚明和乔丹那样。张老
师，您也太瘦了点。 学
师：真是哪壶不开提哪壶啊。不
艺 过还别说，和你们一样，我们班上的