2012届高考数学考点突破测考试试题35

专题达标检测四
一、选择题
1．(2010·山东潍坊)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是 ( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π
6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦
⎤π6，5π6 解析：由直线x cos α＋3y ＋2＝0，所以直线的斜率为k ＝－cos α3.
设直线的倾斜角为β，则tan β＝－cos α
3.
又因为－33≤－cos α3
≤33，即－33≤tan β≤3
3，所以β∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：B
2．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，
则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，π4 B.⎣⎡⎦⎤π12，5π12 C.⎣⎡⎦⎤π6，π3 D.⎣⎡⎦
⎤0，π2 解析：由题意知，圆心到直线的距离d 应满足0≤d ≤2，d ＝
|2a ＋2b |a 2＋b 2
≤2⇒a 2＋
b 2
＋4ab ≤0.
显然b ≠0，两边同除以b 2，得⎝⎛⎭⎫a b 2＋4⎝⎛⎭⎫a b ＋1≤0， 解得－2－3≤a
b
≤－2＋ 3.
k ＝－a
b ，k ∈[2－3，2＋3]，θ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π12，故选B. 答案：B
3．(2010·陕西)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为
( )
A.1
2
B ．1
C ．2
D ．4 解析：圆x 2＋y 2－6x －7＝0的圆心坐标为(3,0)，半径为4. y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p
2，
∴3＋p
2＝4，∴p ＝2.故选C.
答案：C
A ．0
B ．2
C ．4
D ．－2
解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→
＝(3－x 0，－y 0)， ∴PF 1→·PF 2→
＝－2. 答案：D
5．已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形
MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 ( ) A ．4＋23 B.3－1 C.
3＋1
2
D.3＋1 解析：设正三角形MF 1F 2的边MF 1的中点为H ，则M (0，3c )，F 1(－c,0)． 所以H ⎝⎛⎭⎫－12
c ，3
2c ，H 点在双曲线上，
故
⎝⎛⎭⎫－12c 2a 2
－
⎝⎛⎭
⎫32c 2
b 2
＝1，
化简e 4－8e 2＋4＝0，
解得e 2＝4＋23，所以e ＝3＋1. 答案：D
答案：D 二、填空题
7．(2010·辽宁沈阳)若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为 －2
3
的直线垂直，则实数a 的值为________． 解析：由于直线l 与经过点(－2,1)且斜率为－2
3的直线垂直，可知a －2≠－a －2.
∵k l ＝
1－(－1)
－a －2－(a －2)＝－1a ，∴－1a ·
⎝⎛⎭⎫－23＝－1，∴a ＝－2
3. 答案：－2
3
8．若双曲线x 23－16y 2
p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．
解析：由题意可列式 3＋p 216＝p
2
，解得p ＝4. 答案：4
9．(2010·上海)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0 的距离d ＝ ________.
解析：∵x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，∴(x －1)2＋(y －2)2＝1. 圆心(1,2)到3x ＋4y ＋4＝0的距离为d ＝|3×1＋4×2＋4|
32＋42＝3.
答案：3
10．(2009·湖南)过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切
线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为 ________． 解析：
如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°， ∴∠AOF ＝60°， 又OA ＝a ，OF ＝c ， ∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c
a ＝2. 答案：2 三、解答题
11．(2010·宁夏银川)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
∵当直线不经过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
(2)解法一：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)＝0，a －2≤0，
∴ a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是a ≤－1.
解法二：将l 的方程化为(x ＋y ＋2)＋a (x －1)＝0(a ∈R )．
它表示过l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：x －1＝0的交点(1，－3)的直线系(不包括x ＝1)．由 图象可知l 的斜率为－(a ＋1)≥0，即当a ≤－1时，直线l 不经过第二象限．
12．P 为椭圆x 225＋y 2
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＝1上任意一点，F 1、F 2为左、右焦点，如图所示．
(1)若PF 1的中点为M ，求证： |MO |＝5－1
2
|PF 1|；
(2)若∠F 1PF 2＝60°，求|PF 1|·|PF 2|之值；
(3)椭圆上是否存在点P ，使PF 1→·PF 2→
＝0，若存在，求出P 点的坐标，若不存在， 试说明理由．
(1)证明：在△F 1PF 2中，MO 为中位线， ∴|MO |＝
|PF 2|2＝2a －|PF 1|
2
＝a －|PF 1|2＝5－1
2|PF 1|.
(2)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|，
在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|，
∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝
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3
. (3)解：设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 20
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＝1.①
易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)， PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，
∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．
(2)设△AMB 的面积为S ，写出S ＝f (λ)的表达式，并求S 的最小值． (1)证明：由已知条件，得F (0,1)，λ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由AF →＝λFB →
，即得(－x 1,1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，
⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 1＝λx 2， ①1－y 1＝λ(y 2－1)， ②
将①式两边平方并把y 1＝14x 21，y 2＝14x 22代入得y 1＝λ2
y 2.③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，
且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4， 抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y ′＝12
x .
所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝1
2x 2(x －x 2)＋y 2，
即y ＝12x 1x －14x 2
1，
y ＝12x 2x －14x 22
. 解出两条切线的交点M 的坐标为⎝⎛
⎭
⎫x 1＋x 2
2，－1. 所以FM →·AB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2
2，－2·
(x 2－x 1，y 2－y 1)＝ 12
(x 22－x 2
1)－2⎝⎛⎭⎫14x 22－14x 21＝0， 所以FM →·AB →为定值，其值为0.
(2)解：由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ， 因而S ＝1
2|AB ||FM |.
|FM |＝ ⎝⎛⎭
⎫x 1＋x 222＋(－2)2 ＝ 14x 21＋14x 22＋1
2x 1x 2＋4 ＝ y 1＋y 2＋1
2×(－4)＋4
＝
λ＋1λ＋2＝λ＋1λ
. 因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB |＝|AF |＋|BF | ＝y 1＋y 2＋2[来源:] ＝λ＋1
λ＋2＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ2.
于是S ＝12|AB ||FM |＝12⎝⎛⎭⎫λ＋1λ3， 由λ＋1
λ
≥2知S ≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.。