2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题 (文科)解析版

2 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数 学（文史类）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}，则 A B = （ ）
(A) {2} (B) {1, 2} (C) {1, 3} (D) {1, 2, 3}
【答案】C
考点：集合的运算.
2. “ x = 1”是“ x 2
- 2x +1 = 0 ”的（ ） (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：由“ x = 1 ”显然能推出“ x 2
- 2x +1 = 0”，故条件是充分的；又由 “ x 2
- 2x +1 = 0”可得(x - 1)2
= 0 ⇒ x = 1，所以条件也是必要的； 故选 A.
考点：充要条件.
3. 函数 f (x) = log (x 2
+ 2 x - 3) 的定义域是（ ）
(A) [-3,1]
(C) (-∞, -3] [1, +∞) 【答案】D
(B) (-3,1)
(D) (-∞, -3) (1, +∞) 【解析】试题分析：由 x 2
+ 2x - 3 > 0 ⇒ (x + 3)(x - 1) > 0 解得 x < -3 或 x > 1； 故选 D.
考点：函数的定义域与二次不等式.
4. 重庆市 2013 年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下
则这组数据中的中位数是（ ） (A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23
【答案】
B
考点：茎叶图与中位数.
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
(A) 1 + 2π
(B)
13π (C)
7π (D)
5π
3
【答案】B 【解析】
6
3
2
试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为 1，高也为 1；构成的一个组合体，故其体积为
π⨯12 ⨯ 2 + 1 ⨯π⨯12 ⨯1 =
13π
；
6
6
故选 B.
考点：三视图.
6. 若 tan a = 1 , tan(a + b ) = 1
,则 tan b = （ ）
3
2
(A)
1
7
【答案】A 【解析】
(B)
1 6
(C)
5 7
(D)
5 6
1 -
1 试题分析： tan b = tan[(a + b ) - a ] = tan(a + b ) - tan a = 2
3 = 1 ；
1 + tan(a + b ) tan a 1 + 1 ⨯ 1 7
2 3
故选 A.
考点：正切差角公式.
7. 已知非零向量
满足
，且 ⊥ (2 则
b 的夹角为（ ）
π
(A)
3
【答案】C
a ,
b π (B)
2
|b |=4|a | (C)
a a +
b ) a 与
2π 5π
(D)
3
6
考点：向量的数量积运算及向量的夹角.
8. 执行如图（8）所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）
(A)
3
4
【答案】D
(B)
5 6
(C)
11 12
(D)
25 24
考点：程序框图
.
± ⎩
x 2 y 2
9. 设双曲线 a 2 - b
2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 A 1 , A 2 ,过 F 做
A 1A 2 的垂线与双曲线交于
B ，
C 两点，若 A 1B ⊥ A 2 C ,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
(A) 1 2 (B) ± 2 2
(C) ±1 (D) ± 2
【答案】C
【解析】
考点：双曲线的几何性质.
⎧ x + y - 2 ≤ 0 10. 若不等式组 ⎪
x + 2 y - 2 ≥ 0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 4 ，则 m 的值
为（ ）
⎨
⎪x - y + 2m ≥ 0 3
(A)-3 (B) 1
(C) 4
3
(D)3
【答案】B 【解析】
试题分析：如图，
⎩
；
⎧ x + y - 2 ≤ 0
由于不等式组 ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 ,表示的平面区域为三角形 ABC ，且其面积等于 4 ，
⎨
⎪x - y + 2m ≥ 0 3
再注意到直线 AB ：x+y-2=0 与直线 BC:x-y+2m=0 互相垂直，所以三角形 ABC 是直角三角形；
易知，A （2，0），B （1-m,m+1）,C( 2 - 4m ,
2m + 2
);
3
3
1
1
2m + 2 4 从而 S ∆ABC =
2 2 + 2m ⋅ m +1 - 2
2 + 2m ⋅ 3
= 3
，
化简得： (m +1)2 = 4，解得 m=-3,或 m=1；
检验知当 m=-3 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以 m=1; 故选 B.
考点：线性规划.
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．复数(1+ 2 i ) i 的实部为 .
【答案】-2
考点：复数运算.
12. 若点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 .
【答案】x+2y-5=0 【解析】
试题分析：由点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为： x 2
+ y 2
= 5，所以该圆在点 P 处的切线方程为1⨯ x + 2 ⨯ y = 5即 x+2y-5=0； 故填：x+2y-5=0. 考点：圆的切线.
⎩
13. 设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a , b , c ,且 a = 2, cos C = - 1
, 3sin A = 2sin B ,
4
则 c= . 【答案】4 【解析】
试题分析：由3sin A = 2sin B 及正弦定理知：3a=2b,又因为 a=2,所以 b=3；
由余弦定理得： c 2
= a 2
+ b 2
- 2ab cos C = 4 + 9 - 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ (- 1
) = 16 ，所以 c=4;
4
故填：4.
考点：正弦定理与余弦定理.
14. 设 a , b > 0, a + b = 5,则 a +1+ 的最大值为
.
考点：基本不等式.
15. 在区间[0, 5]上随机地选择一个数 p ，则方程 x 2
+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的概率为 .
2 【答案】 3
【解析】
⎧∆ = 4 p 2
- 4(3 p - 2) ≥ 0 试题分析：方程 x 2
+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是⎪ x + x = -2 p < 0
⎨ 1 2
2 <≤p ≥orp 1,,2
3 ⎪ x 1 x 2 = 3 p - 2 > 0
即 ；又因为 p ∈[0, 5] ，所以使方程 x 2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的
(1- 2
) + (5 - 2)
2 p 的取值范围为( ,1] [2, 5]，故所求的概率
= 2 ； 3
2
故填： .
3
5 - 0 3 考点：复数运算.
【答案】3 2
b +3 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分 12 分，（I ）小问 7 分，（II ）小问 6 分)已知等差数列{a }满足 a =2，前 3 项和 S = 9
.
n
3
3
2
（I ） 求{a n }的通项公式；
（II ）
设等比数列{b n }满足b 1 = a 1 ， b 4 = a 15 ，求{b n }前 n 项和T n .
【答案】（Ⅰ） a =
n +1
；（Ⅱ） T = 2n
-1.
n
2
n
试题解析： （1）设{a n }的公差为 d ，则由已知条件得
a + 2d = 2, 3a + 3´ 2 d = 9 , 1 1 2 2
3 1
化简得 a 1 + 2d = 2, a 1 + d = 2 , 解得 a 1 =1，d = 2 ,
n -1
故通项公式 a n =1+ 2
n +1 ， 即 a n = 2 .
(2)由（1）得b 1 =1，b 4 =a 15 = 15+1 = 8.
2 设{b }的公比为 q,则q
3 = b 4
= 8 ,从而 q = 2 .
n
故{b n }的前 n 项和
b 1
b (1- q n ) 1´ (1- 2n ) n T n = 1 = = 2
-1.
1- q 考点：1. 等差数列；2. 等比数列.
1- 2
17、(本小题满分 13 分，（I ）小问 10 分，（II ）小问 3 分)
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年
n ny （I ） 求 y 关于 t 的回归方
（II ） 用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6）的人民币储蓄存款.
附：回归方 中
【答案】（Ⅰ） y ˆ = 1.2t + 3.6；（Ⅱ）10.8千亿元..
（Ⅱ）将t = 6 代入回归方程 y
ˆ = 1.2t + 3.6可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款． 试题解析： (1)列表计算如下
n = 5,t =
1 n
t = 15 = 3, y = 1 n
y = 36
= 7.2.
这里
邋i
i =1
n i =1 i
5
n
又l nt =
邋
t i
- nt i =1
2
= 55 - 5 3
2
10,l = n
t i y i -
nt y = 120 - 5创3 7.2 = 12. i =1
从而b ˆ = l ny l nt = 12 = 1.2,a ˆ = y - b ˆt = 7.2 - 1.2´ 3 = 3.6 .
10
故所求回归方程为 y ˆ = 1.2t + 3.6.
(2) 将 t = 6 代 入 回 归 方 程 可 预 测 该 地 区 2015 年 的 人 民 币 储 蓄 存 款 为
y ˆ = 1.2´ 6 + 3.6 = 10.8(千亿元).
考点：线性回归方程.
5
2+ 3 1- 3 2 - 3 3 3 3 2 - 3
⎦
) 18、(本小题满分 13 分，（I ）小问 7 分，（II ）小问 6 分) 1
已知函数 f(x)= sin2x- 2
cos 2 x .
（I ） 求 f （x ）的最小周期和最小值；
（II ）
将函数 f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到
函数 g （x ）的图像.当 x ∈ ⎡π,π⎤
时，求 g(x)的值域.
⎢⎣ 2
⎥⎦
【答案】（Ⅰ） f (x ) 的最小正周期为p ，最小值为 - ；（Ⅱ） [
, ] .
【解析】
2
2
2
1
试题分析：（Ⅰ）首先用降幂公式将函数 f (x ) = sin 2x - 2
3 cos 2 x 的解析式化为
f (x ) = A sin(ωx +ϕ) + B 的形式，从而就可求出 f （x ）的最小周期和最小值；
⎡π ⎤
（Ⅱ）由题目所给变换及（Ⅰ）的化简结果求出函数 g （x ）的表达式，再由 x ∈ ⎢⎣ 2 ,π⎥ 并
结合正弦函数的图象即可求出其值域．
试题解析： (1) f (x ) = 1 sin 2x - 3 cos 2
x = 1
sin 2x -
3 (1+ cos 2x )
2 2 2
= 1 sin 2x - 3 cos 2x - 3 = sin(2x - p - , 2 2 2 3 2
2+ 3
因此 f (x ) 的最小正周期为p ，最小值为 - .
2
p
(2)由条件可知： g(x ) = sin(x - ) - .
3 2
p p p 2p p 1
当 x Î [ ,p ] 时 ， 有 2
x - Î [ , ] 3 6 3 ， 从 而 sin(x - ) 3 的 值 域 为 [ ,1] 2 ， 那 么
p 1- 3 2 - 3 sin(x - ) - 的值域为[ , ] .
3 2 2 2
p 1- 3 故g(x ) 在区间[ ,p ] 上的值域是[ , ] .
2 2 2
考点：1. 三角恒等变换；2.正弦函数的图象及性质.
19、(本小题满分 12 分，（I ）小问 4 分，（II ）小问 8 分)已知函数 f （x ）=a x 3
+ x 2
（a ∈R ）在 x= - 4
处取得极值. 3
（I ）
确定 a 的值； （II ）
若 g （x ）= f （x ） e x ，讨论的单调性.
【答案】（Ⅰ）a = 1
；（Ⅱ）g(x ) 在(-¥ 2
, -4)和(-1, 0) 内为减函数，(-4, -1)和(0, +¥ ) 内
为增函数.. 【解析】
3
琪2 琪2 3 试题分析：（Ⅰ）先求出函数 f (x ) 的导函数 f ¢(x ) = 3ax 2
+ 2x ，由已知有 f ¢(- 4
) = 0 可得
3
关于 a 的一个一元方程，解之即得 a 的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数g(x ) = 骣1 x 3 + x 2 桫
e x
，利用积的求导法则可求出
g ¢(x ) = 1
x (x +1)(x + 4)e x ，令g ¢(x ) = 0，解得 x = 0, x = -1或x =-4 .从而分别讨论 x < -4 ，
2
-4 < x < -1， -1 < x < 0 及 x > 0 时g ¢(x ) 的符号即可得到函数g(x ) 的单调性．
试题解析： (1)对 f (x ) 求导得 f ¢(x ) = 3ax 2
+ 2x
因为 f (x ) 在 x = - 4 处取得极值，所以 f ¢(- 4
) = 0 ，
3 3
16 4 16a 8 1 即3a ´ + 2´ (- ) = - = 0,解得 a = .
9 3 3 3 (2)由(1)得， g(x ) = 骣1 x 3 + x 2
桫
2
e x ,
故
¢ 骣 2 x 骣1 3 2 x 骣1 3 5 2 x 1 x
g (x ) = 琪 x + 2x e + 琪 x +
x e = 琪 x + x + 2x e = x (x +1)(x + 4)e 桫2 桫2 桫
2 2 2 令g ¢(x ) = 0，解得 x = 0, x = -1或x =-4 . 当 x < -4 时， g ¢(x ) < 0 ,故g(x ) 为减函数； 当 -4 < x < -1时， g ¢(x ) > 0 ,故g(x ) 为增函数； 当-1 < x < 0 时， g ¢(x ) < 0 ,故g(x ) 为减函数； 当 x > 0 时， g ¢(x ) > 0 ,故g(x ) 为增函数；
综上知g(x ) 在(-¥ , -4)和(-1, 0) 内为减函数， (-4, -1)和(0, +¥ )内为增函数.
考点：1. 导数与极值；2. 导数与单调性.
20、(本小题满分 12 分，（I ）小问 5 分，（II ）小问 7 分)
如题（20）图，三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC ⊥ 平面 ABC ， ∠ ABC=
π
，点 D 、E 在线段
2
AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EF//BC. （I ） 证明：AB ⊥ 平面 PFE. （II ） 若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长.
【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ） BC = 3或BC = 3 3 . 【解析】
试题分析：（Ⅰ）先由已知易得 PE ^ AC ，再注意平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，且交线为 AC ，由面面垂直的性质可得 PE ^ 平面 ABC ，再由线面垂直的性质可得到 AB ^ PE ；再注意到 EF//BC ，而 BC ^ AB ，从而有 AB ^ EF ，那么由线面垂的判定定理可得 AB ⊥ 平面 PFE.； （Ⅱ）设 BC=x 则可用 x 将四棱锥 P-DFBC 的体积表示出来，由已知其体积等于 7，从而得到关于 x 的一个一元方程，解此方程，再注意到 x>0 即可得到 BC 的长． 试题解析：证明：如题(20)图.由 DE=EC ，PD=PC 知，E 为等腰D P DC 中 DC 边的中点，故 PE ^ AC ，
又平面 PAC ^ 平面 ABC ，平面 PAC Ç 平面 ABC=AC ，PE Ì 平面 PAC ，PE ^ AC ，所以PE ^ 平面 ABC ，从而 PE ^ AB. p
因Ð ABC= , EF BC ,故AB ^ EF .
2
从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE ，EF 都垂直， 所 以 AB ^ 平 面 PFE. (2)解：设BC=x ,则在直角D A BC 中，
AB= AC 2
- BC 2
= .从而S D ABC = 1 AB ´ 2 1
BC=
2
由 EF BC ，知 AF = AE = 2 ，得D AEF D ABC ,故 S D AEF 2 4 = ( )2 = ，
AB AC 3
S D ABC 3 9 36 -
x 2
36 - x 2
36 - x 2 PC 2 - EC 2 42 - 22
3 3 2 【答案】（Ⅰ） +y =1；（Ⅱ） < e £ .
x 2 2 2 5
+ = （
+ = 9 4
即 S D AEF = 9
S D ABC .
1 由 AD= AE , S
= 1 S = 1 4 S
= 2 S = 1 x ,
2 D AFB
× 2 D AFE 2 D ABC 9 D ABC 9
从 而 四 边 形 DFBC 的 面 积 为 S DFBC = S D ABC -S 1
D ADF = 2
x - 1 x 9 = 7
x 18
由(1)知，PE ^ 平面 ABC ，所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高.
在直角D PEC 中， PE= = = 2 , 体积V 1 S PE = 1 7
x
2 7 , P - DFBC
= 3鬃DFBC
3 18 故得 x
4 - 36x 2 + 243 = 0 ，解得 x 2 = 9或x 2 = 7，由于 x > 0 ，可得 x = 3或x = 3 .
所以 BC = 3或BC = 3 3 .
考点：1. 空间线面垂直关系；2. 锥体的体积；3.方程思想.
21、(本小题满分 12 分，（I ）小问 5 分，（II ）小问 7 分)
x
2
y 2 如题（21）图，椭圆 1
> >0）的左右焦点分别为F , F ,且过F 的 a 2 b 2
a b
1 2 2 直线交椭圆于 P,Q 两点，且 PQ ⊥ PF 1 .
（I ）
若| PF 1 |=2+ ，| PF 2 |=2- 2 ，求椭圆的标准方程.
（II ）
若|PQ|=λ| PF |，且 3 ≤ λ≤ 4
，试确定椭圆离心率的取值范围.
1
4 3
4 2 3
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义知 2a =| PF 1 | + | PF 2 | 可求出 a 的值，再由 PF 1 ^ PF 2 及勾股 定理可求得 c 的值，最后由b = 求得 b 的值，从而根据椭圆的标准方程 x a
2 y 2
b
2
1
36 - x 2
36 - x 2 36 - x 2 36 x 2
3 a 2
- c
2
2
| PF |2 + | PQ |2
1
1+ l2
1+ l+ 1+ l2
琪 1 + l2
(l+ 1+ l2 -1)2
2
2c =| F
1
F
2
|== (2 + 2 + 2 - 2 )
) (22
| PF |2 + | PQ |2
1
1+ l2
1
1 2 2
琪
1
得到结果；
（Ⅱ）由P F ^PQ,| PQ |= l| P F | ,得| QF |== | PF |
1 1 1 1
由椭圆的定义，| PF
1
| +| PF
2
|=2a,| QF
1
| +| QF
2
|=2a ,进而| PF
1
| +| PQ | +| QF
1
|=4 a
于是(1+ l+1+ l2) | PF |= 4a. 解得
4a
| PF
1
|= ，故
| PF
2
|= 2a- | PF
1
|=
再注意到
．
| PF |2 + | P F |2 =| PF |2 = (2c)2 = 4c2 从而
骣4a 2 骣2a(l+2
-1)
琪+ = 4c2 ,
琪
桫1+l+
2
桫1+l+
1 2
两边除以4a ，得
2
+=e ,若记t =1+l+，则上式变成
(1+l+1+l2)(1+l+1+ l2)
4 + (t- 2)2 骣1 1 2 1 3 4
e2 = = 8琪- + . 再由£l< ，并注意函数的单调性，即可求得离心率t 2 桫t 4 2 4 3
e 的取值范围。

试题解析：(1)由椭圆的定义，2a =| PF
1
| +| PF
2
|=(2 +
设椭圆的半焦距为c，由已知PF
1
^ PF
2
，因此
2 )+ (2 - 2 )= 4，故a =2.
从而b == 1
x2
2
=2 3 ，即c= 3.
故所求椭圆的标准方程为+y =1.
4
(2)如题(21)图，由P F1 ^ PQ,| PQ |= l| P F1 | ,得
| QF
1
|= =
1
|
由椭圆的定义，| PF
1
| +| PF
2
|=2a,| QF
1
| +| QF
2
|=2a ,进而| PF
1
| +| PQ | +| QF
1
|=4 a
于是(1+l+ 1+l2) | PF |= 4a .
| PF |2 + | PF |2
12
+ 1+ l2-1)
1+ l+ 1+ l2
1+ l21+ l2
1+ l2 a2 - c2
2a (l + 1+ l 2 -1)
1+ l + 1+ l 2 1+ l 2 (l + 1+ l 2 -1)2 2
1 2 2 4a 解得| PF 1 |= ，故| PF 2 |= 2a - | PF 1 |= .
1+ l + 1+ l 2
由勾股定理得| PF |2 + | P F |2 =| PF |2
= (2c )2 = 4c 2 , 骣 4a 2
骣2a (l + 2 1 + l 2 -1) 从而琪 + 琪 琪 琪 = 4c 2 , 2
桫1+ l + 2 桫 1+ l + 1 1+
l 2
两边除以 4a ，得 2
+ = e , (
1+ l + 1+ l 2
) (
1+ l + 1+ l 2
)
4 + (t - 2)2
骣1 1 2 1 若记t = 1+ l +，则上式变成e 2
= = 8琪- + . t 2
桫
t 4 2 3 4 由 £ l < ，并注意到1+ l + 1 1 1 关于l 的单调性，得3 £ t < 4 ，即 < £ ，进而 4 3 1 < e 2 £ 5 ，即 2 < e £ 5 . 4 t 3 2 9 2 3
考点：1. 椭圆的标准方程；2. 椭圆的定义；3.函数与方程思想.
1+ l 2 1+ l 2。