高一数学人教A版必修1优化训练1-2-1函数的概念 含解析

1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)
1.设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|0≤x ≤4},则A ∩B 等于( )
A.［0,2］
B.［1,2］
C.［0,4］
D.［1,4］
思路解析：在数轴上表示出两个集合，通过观察公共部分可以得出A ∩B=A={x|0≤x ≤2}. 答案：A
2.试判断以下各组函数中，是否表示同一函数? (1)f(x)=2x ，g(x)=33x ； (2)f(x)=x x ||，g(x)=⎩
⎨⎧<-≥;01,0,1x x (3)f(x)=1212++n n x ，g(x)=(12-n x )2n-1(n ∈N )； (4)f(x)=1+x x ，g(x)=x x +2.
思路解析：两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同.
解：(1)由于f(x)=
2x =｜x ｜，而g(x)= 33x =x.故它们的值域、对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.
(2)由于函数f(x)=x x ||的定义域为{x|x ≠0,x ∈R }，而g(x)=⎩⎨⎧<-≥0
,1,0,1x x 的定义域为R.故它们不是同一函数.
(3)由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，
∴f(x)= 1212++n n x =x ，g(x)= ( 12-n x )2n-1=x ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，因此它们是同一函数.
(4)由于函数f(x)= 1+x x 的定义域为｛x ｜x ≥0｝，而g(x)= x x +2的定义域为｛x ｜x ≤-1或x ≥0｝，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.
3.求下列函数的定义域： (1)f(x)=2
1-x ； (2)f(x)=23+x ； (3)f(x)=x
x -++211. 思路解析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出函数解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合.
(1)解：∵x-2=0，即x=2时，分式
21-x 无意义，而x ≠2时，分式2
1-x 有意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≠2}.
(2)解：∵3x+2<0，即x<-
32时，根式23+x 无意义，而3x+2≥0，即x ≥-3
2时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≥-3
2}. (3)解法一：∵当x+1≥0且2-x ≠0，即x ≥-1且x ≠2时，根式1+x 和分式x -21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x|x ≥-1且x ≠2}.
解法二：要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠-≥+.
2,10201x x x x ∴这个函数的定义域是{x|x ≥-1且x ≠2}.
4.已知f(x)=x
+11(x ∈R 且x ≠-1)，g(x)=x 2+2（x ∈R ）. (1)求f(2)、g(2)的值;
(2)求f ［g(2)］的值;
(3)求f ［g(x)］的函数解析式.
思路解析：在解本题时，要理解对应法则“f ”和“g ”的含义，在求f ［g(x)］时，一般遵循先里后外的原则.（1）、（2）是求函数值，把自变量的值代入函数解析式即可；（3）是求函数的表达式，解出的是含x 的式子.
解：(1)f(2)=
211+ =3
1，g(2)=22+2=6. (2)f ［g(2)］=f(6)= 71611-+. (3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=3
1)2(1122+=++x x . 10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)
1.下列四个图形中，不可能是函数y=f （x ）的图象的是( )
思路解析：本题考查函数的定义.对函数y=f （x ），x 为自变量，y 为函数值.在选项D 中，一个x 值对应两个y 的值，所以不满足函数多对一或一对一的条件.故选D.
答案：D
2.已知函数f （x ）=322--x x 的定义域为F ，g （x ）=3
1-+x x 的定义域为G ，那么集合F 、G 的关系是( )
A.F=G
B.F ⊆G
C.G ⊆F
D.F ∪G=G
思路解析：函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的值.F={x|x 2-2x-3≥0}={x|x ≤-1或
x ≥3}，G={x 3
1-+x x ≥0且x-3≠0}={x|x ≤-1或x ＞3}，∴G ⊆F ，选C. 答案：C
3.函数f （x ）的定义域为［0，2］，则函数f （x+1）的定义域是( )
A.［-2，2］
B.［-1，1］
C.［0，2］
D.［1，3］
思路解析：f （x ）与f （x+1）的定义域都是指的x 的取值范围，由函数的对应法则知0≤x+1≤2，即可求出x 的范围.解不等式0≤x+1≤2，得-1≤x ≤1，∴选B.
答案：B
4.设函数f （x ）=ax+b ，若f （1）=-2，f （-1）=0，则( )
A.a=1，b=-1
B.a=-1，b=-1
C.a=-1，b=1
D.a=1，b=1
思路解析：已知函数的对应法则，此题可用待定系数法求a 、b 的值.
由已知⎩
⎨⎧=+--=+,0,2b a b a 得a=-1，b=-1，选B. 答案：B
5.下列4对函数中表示同一函数的是( )
A.f （x ）=x ，g （x ）=（x ）2
B.f （x ）=x ，g （x ）=2x
C.f （x ）=x ，g （x ）=33
x D.f （x ）=242--x x ，g （x ）=x+2 思路解析：考查函数的概念和同一函数的判断方法.两函数若是同一函数，需定义域和对应法则均相同（即值域相同，图象完全重合），由此可知A 、B 、D 均不正确，故选C. 答案：C
6.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文−→−
明文(解密)，已知加密规则为：明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 …( )
A.4,6,1,7
B.7,6,1,4
C.6,4,1,7
D.1,6,4,7
思路解析：由题意，可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=+.284,232,92,142d d c c b b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.
7,1,4,6d c b a 7.右图是某校在2005年2月份的一次考试中，一个解题的分数分布图，这个图是使用图象法表示的函数吗?_________.为什么
?_________.
思路解析：因为每个分数都对应一个不同的人数，符合函数的定义，并且函数中两变量的对
应关系用图表反映出来，故是.
答案：是 符合函数的定义
8.已知函数y=,
1,1,3,1>≤⎩⎨⎧+-+x x x x 求f ［f （25）］的值. 思路解析：考查函数的概念及函数值的求法，注意分段求解.
解：f （
25）=-25+3=2
1＜1， 所以f ［f （25）］=21+1=23. 快乐时光
感 想
A ：听说你最近去美国考察了一次，感受不浅吧？
B ：是啊，感触太深了，人家的文化水平就是高.
A ：何以见得呢？
B ：人家大人小孩都会说英语.
30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)
1.设M=｛x ｜-2≤x ≤2｝，N=｛y ｜0≤y ≤2｝，给出下列4个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )
思路解析：由于函数是特殊的映射，因而判断某一对应(或某一式子)是否表示函数时，可先考查它能否构成映射.
A 中，当0＜x ≤2时，N 中没有元素与x 对应，不能构成映射.C 中一个x 有两个y 与之对应，所以不是映射.D 中的对应是映射，但不是以M 为定义域，N 为值域的函数.所以选B. 答案：B
2.设集合A={x||x-2|≤2,x ∈R },B={y=-x 2,-1≤x ≤2},则(A ∩B)等于( )
A.R
B.{x|x ∈R ,x ≠0}
C.{0}
D. ∅
思路解析：A=［0,2］，B=［-4,0］，
所以 (A ∩B)= {0}.
答案：B
3.有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费，由函数f （m ）=1.06×（0.5［m ］+1）（元）决定，其中m ＞0，［m ］是大于或等于m 的最小整数.则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为( )
A.3.71元
B.3.97元
C.4.24元
D.4.77元
思路解析：∵m=5.5，∴［5.5］=6.代入函数解析式中，f （5.5）=1.06×（0.5×6+1）=1.06×4=4.24.故选C.
答案：C
4.小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示
图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是(
)
思路解析：首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A 、C ，在B 、D 中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D. 答案：D
5.函数f （x ）=31++-x x -1的定义域是( )
A.x ≤1或x ≥-3
B.（-∞，1）∪［-3，+∞］
C.-3≤x ≤1
D.［-3，1］
思路解析：考查函数的定义域.由1-x ≥0，x+3≥0可知，-3≤x ≤1，所以原函数的定义域为［-3，1］，故选D.
答案：D
6.某城镇近20年常住人口y （千人）与时间x （年）之间的函数关系如右图.考虑下列说法：
①前16年的常住人口是逐年增加的；②第16年后常住人口实现零增长；
③前8年的人口增长率大于1；④第8年到第16年的人口增长率小于1.
在上述四种说法中，正确说法的序号是_________.
思路解析：由题图知前16年中人口不断增加，但增长率小于1，16年后人口零增长. 答案：①②④
7.函数y=1,10,0,5,3,32>≤<≤⎪⎩
⎪⎨⎧+-++x x x x x x 的最大值为_________.
思路解析：画出该分段函数的图象（如下图），即可获得y 的最大值为
4.
答案：4
8.已知f(x)的定义域是［a,b ］，求F(x)=f(x-1)+f(x+1)的定义域.
思路解析：函数的定义域就是使函数解析式有意义的实数的集合.本题中x-1和x+1都应在在区间［a,b ］内.
解：要使F(x)有意义，必须f(x-1)且f(x+1)都有意义，于是有⎩⎨⎧≤+≤≤-≤,
12,1b x b x a 即)
2()1(.11,11⎩⎨⎧-≤≤-+≤≤+b x a b x a 当b-a ≥2时，①与②的交集为［a+1，b-1］即是F(x)的定义域；
当b-a ＜2时，①与②的交集是空集.此时F(x)无意义.
9.已知函数y=5
4322++-kx kx x 的定义域为R ，求k 的取值范围. 思路解析：在解不等式kx 2＋4kx ＋5≠0对一切x ∈R 都成立时要注意对二次项系数k 的讨论.
解：由已知kx 2＋4kx ＋5≠0的解集为R,当k=0时，函数y=
5
32-x 的定义域为R. 当k ≠0时，Δ=(4k)2-20k ＜0,解得0＜k ＜45.∴所求k 的范围是［0，45］. 10.已知y=32341
++-ax ax ax 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.
思路解析：确定a 的取值范围，使之对任意实数x 都有ax 2+4ax+3≠0.
解：当a=0时，ax 2+4ax+3=3≠0对任意x ∈R 都成立；
当a ≠0时，要使二次三项式ax 2+4ax+3对任意实数x 恒不为零，必须满足：其判别式Δ=4a(4a-3)＜0，于是，0＜a ＜
43. 综上，a ∈［0，4
3). 11.已知函数f(x)=1
2++x b ax 的值域为［-1，4］，求实数a 、b 的值. 思路解析：由函数的解析式可确定一个含有a 、b 的值域，比照已知条件，可确定a 、b 的值. 解：设y=1
2++x b ax ，去分母、整理得yx 2-ax+y-b=0.y=0显然在函数的值域［-1，4］内. 若y ≠0时，由于x ∈R ，故Δ=a 2-4y(y-b)≥0，∴y 2-by-4
2
a ≤0. ① 由已知，有-1≤y ≤4，从而，(y+1)(y-4)≤0，∴y 2-3y-4≤0. ② 比较不等式①与②，得b=3，a 2=16.
∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==3
,43,4b a b a 或 12.求函数f （x ）=x 2-2ax-1在区间［0，2］上的最大值和最小值.
思路解析：考查函数的最值的求法及分类讨论的思想方法.二次函数在给定区间上的最值（值域）通常与它的开口方向、对称轴和区间的相对位置有关，因此此类题也常常需要分类讨论. 解：f （x ）=x 2-2ax-1=（x-a ）2-a 2-1为二次函数，图象为开口向上的抛物线，在区间［0，2］上的最值与对称轴x=a 和区间［0，2］的相对位置相关，所以需要对对称轴x=a 进行讨论：
①当a＜0时，f（x）min=-1，f（x）max=3-4a；
②当0≤a＜1时，f（x）min =-1-a2，f（x）max =3-4a；
③当1≤a≤2时，f（x）min =-1-a2，f（x）max =-1；
④当a＞2时，f（x）min =3-4a，f（x）max =-1.。