2018年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷含答案解析 精品

2018年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项序号在答题卡上涂黑作答．
1．﹣2的相反数是（）
A．﹣2 B．2 C．0
2．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
3．把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．C．
D．
4．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
5．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1
6．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值是（）
A．B．C．D．
7．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于
．平均数是．中位数是．极差是．众数是
8．已知下列命题：
①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；
②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）
A．50°B．80°C．65°D．115°
10．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）
A．π﹣B．πC．π﹣D．π
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题正确答案写在答题卡上对应的横线上．
11．分解因式：3x2﹣27=．
12．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康危害很大.2.5μm用科学记数法可表示为m．
13．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，若∠MOD=30°，则∠COB=
度．
14．分式方程的解是．
15．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为cm2．
16．⊙O的半径为5，弦BC=8，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．
三．解答题：（本大题共有9个小题，共72分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在答题卡上对应的答题区域内．
17．先化简：，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适
的整数作为x的值代入求值．
18．为响应习总书记“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数为；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
19．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：
（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE 的高度．（测量器的高度忽略不计）
20．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积=；
（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．
21．如图，一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数的图象相交于A、
B两点．已知点A的坐标是（﹣2，1），△AOB的面积为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
22．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D．（1）过D作DE⊥MN于E（保留作图痕迹）；
（2）证明：DE是⊙O的切线；
（3）若DE=6，AE=3，求弦AB的长．
23．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶每千克成本50元，经研y kg x/kg
设该绿茶的月销售利润为（元）（销售利润单价销售量﹣成本）
（1）请根据上表，写出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，w 的值最大？
（3）若在第一个月里，按使w获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于80元，要想在全部收回装修投资的基础上使第二个月的利润至少达到1700元，那么第二个月时里应该确定销售单价在什么范围内？
24．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF会变成矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，AB与EC相交于点P，与EF相交
于点D，若BC=2，AE=，求BP的长．
25．综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2018年湖北省襄阳市襄州区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项序号在答题卡上涂黑作答．
1．﹣2的相反数是（）
A．﹣2 B．2 C．0
【考点】相反数．
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：B．
2．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】根据同类二次根式的合并、二次根式的除法运算，和平方的知识，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、≠，故本选项错误；
B、3+≠3，故本选项错误；
C、=3，故本选项错误；
D、==2，故本选项正确；
故选D．
3．把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】根据不等式组取解集的方法找出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
表示在数轴上，如图所示：
．
4．如图所示的几何体是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】俯视图是从上面看到的图形．
【解答】解：从上面看，左边和中间都是2个正方形，右上角是1个正方形，
故选D．
5．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）
A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，
∴△≥0，
即4﹣4m≥0，
∴﹣4m≥﹣4，
∴m≤1．
故选：D．
6．在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则的值
是（）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】根据菱形的对边平行且相等的性质，判断△BEF∽△DAF，得出=，再根据
BE与BC的数量关系求比值．
【解答】解：如图，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴=，
又∵EC=2BE，
∴BC=3BE，即AD=3BE，
∴==，
7．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，对于
【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．
【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、中位数及极差后，选择正确的答案即可．
【解答】解：A．=（52+60+62+54+58+62）÷6=58；故此选项正确；
B．∵6个数据按大小排列后为：52，54，58，60，62，62；
∴中位数为：（60+58）÷2=59；故此选项错误；
C．极差是62﹣52=10，故此选项错误；
D.62出现了2次，最多，∴众数为62，故此选项错误；
故选：A．
8．已知下列命题：
①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB；
②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1）；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】命题与定理．
【分析】先对原命题进行判断，再根据互逆命题的定义写出逆命题，然后判断逆命题的真假即可．
【解答】解：①在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB，原命题为真命题，逆命题是：在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA＞sinB，则∠A＞∠B，逆命题为真命题；
②四条线段a，b，c，d中，若=，则ad=bc，原命题为真命题，
逆命题是：四条线段a，b，c，d中，若ad=bc，则=，逆命题为真命题；
③若a＞b，则a（m2+1）＞b（m2+1），原命题为真命题，
逆命题是：若a（m2+1）＞b（m2+1），则a＞b，逆命题为真命题；
④若|﹣x|=﹣x，则x≥0，原命题为假命题，
逆命题是：若x≥0，则|﹣x|=﹣x，逆命题为假命题．
故选A．
9．如图，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）
A．50°B．80°C．65°D．115°
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】由把矩形ABCD沿EF对折，根据矩形的性质，可得AD∥BC，由折叠的性质，可得∠BFE=∠2，又由∠1=50°，即可求得∠BFE的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠AEF的度数．
【解答】解：∵把矩形ABCD沿EF对折，
∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，
∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°．
故选D．
10．如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD的延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（）
A．π﹣B．πC．π﹣D．π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连接DE、OE、OD，可得△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，由此可求出扇形OBE的圆心角的度数和圆的半径长；由于∠AOE=∠BOD，则AB∥DE，
S△ODE=S△BDE；根据阴影部分的面积=S
扇形OAE ﹣S△OAE+S
扇形ODE
求解即可．
【解答】解：连接OE、OD，点D、E是半圆的三等分点，∴∠AOE=∠EOD=∠DOB=60°
∵OA=OE=OD=OB
∴△OAE、△ODE、△OBD、△CDE都是等边三角形，
∴AB ∥DE ，S △ODE =S △BDE ；
∴图中阴影部分的面积=S 扇形OAE ﹣S △OAE +S 扇形ODE =×2﹣
×22=π﹣
．
故选A ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题正确答案写在答题卡上对应的横线上．
11．分解因式：3x 2﹣27= 3（x+3）（x ﹣3） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】观察原式3x 2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x 2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解． 【解答】解：3x 2﹣27， =3（x 2﹣9）， =3（x+3）（x ﹣3）． 故答案为：3（x+3）（x ﹣3）．
12．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm （1μm=0.000001m ）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康危害很大.2.5μm 用科学记数法可表示为 2.5×10﹣6 m ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：2.5μm=0.0000025m=2.5×10﹣6m ， 故答案为：2.5×10﹣6．
13．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OM ⊥AB ，若∠MOD=30°，则∠COB= 120 度．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【分析】根据余角、邻补角的定义计算．
【解答】解：∵直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOC 与∠BOD 是邻补角， ∴∠MOD=30°， 又OM ⊥AB ， ∴∠BOM=90°，
∴∠BOD=90°﹣30°=60°．
∴∠BOC=180°﹣60°=120°．
故答案为：120
14．分式方程的解是x=﹣2．
【考点】分式方程的解．
【分析】观察可知原方程变形后最简公分母为（x﹣1），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：由原分式方程可得：
+=1，
方程两边都乘以最简公分母（x﹣1），得：2x+1=x﹣1，
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，x﹣1=﹣3≠0，
∴原分式方程的解为：x=﹣2，
故答案为：x=﹣2．
15．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为40cm2．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC
边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的周长为36cm，
∴AB+BC=18cm①，
∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，
∴4AB=5BC②，
由①②得：AB=10cm，BC=8cm，
∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．
故答案为：40．
16．⊙O的半径为5，弦BC=8，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为2或8．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在Rt△OBD中，根据
勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图所示，连接OB，
∵⊙O的半径为5，弦BC=8，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴BD=BC=4，
在Rt△OBD中，
∵BD2+OD2=OB2，即42+OD2=52，
解得，OD=3，
∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=5﹣3=2；
当如图2所示时，AD=OA+OD=5+3=8，
故答案为：2或8．
三．解答题：（本大题共有9个小题，共72分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在答题卡上对应的答题区域内．
17．先化简：，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适
的整数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x=﹣2代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•﹣=﹣=，
当x=﹣2时，原式==7．
18．为响应习总书记“足球进校园”的号召，我区在各中学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数为30人；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图．
【分析】（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数；
（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，
∴三等奖所占的百分比为25%，
∵三等奖为50人，
∴总人数为50÷25%=200人，
∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）=30人，
故答案为30人；
2
故恰好选到A、B两所学校的概率为P==．
19．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：
（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE 的高度．（测量器的高度忽略不计）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】由于AF⊥AB，则四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△CDE中，CE=
==x，在Rt△ABC中，得到=，求出BC，在Rt△AFD中，求出AF，由
AF=BC+CE即可求出x的长．
【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2
设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=2，
∴BC=2，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，
∴AF===（x﹣2），
∵AF=BE=BC+CE．
∴（x﹣2）=2+x，
解得x=6．
答：树DE的高度为6米．
20．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积=800；
（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据所给出的图形和矩形的面积公式进行计算即可；
（2）根据整个的面积减去花圃的面积等于通道的面积占整个面积的，求出a的值，即可
得出答案．
【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40﹣2×10）（60﹣2×10）=800（平方米）．
故答案为：800；
（2）根据题意得：
60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=×60×40，
解得：a1=5，a2=45（舍去）．
答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．
21．如图，一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数的图象相交于A、
B两点．已知点A的坐标是（﹣2，1），△AOB的面积为．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把A（2，1）分别代入一次函数y=kx﹣1的图象与反比例函数，求出k、
m的值即可得出其解析式；
（2）在y=kx﹣1中，当x=0时，y=﹣1，设直线与y轴相较于点C，则OC=1，设点B的横
坐标为n，根据△AOB的面积为求出n的值，根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）据题意，反比例函数的图象经过点A（﹣2，1），
∴有m=xy=﹣2，
∴反比例函数解析式为，
∵直线y=kx﹣1经过点A（﹣2，1），
∴﹣2k﹣1=1，得k=﹣1，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1；
（2）在y=kx﹣1中，当x=0时，y=﹣1，设直线与y轴相较于点C，则OC=1，
设点B的横坐标为n，
∵△AOB的面积为，
∴×1×（2+n）=，解得n=1，
∴一次函数的值小于反比例函数的值时，﹣2＜x＜0或x＞1．
22．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D．（1）过D作DE⊥MN于E（保留作图痕迹）；
（2）证明：DE是⊙O的切线；
（3）若DE=6，AE=3，求弦AB的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定方法即可解决．
（2）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．
（3）连接CD，作OF⊥AB于点F，设AF=x，则EF=OD=x+3，在Rt△AOF中，利用勾股定理列出方程即可．
【解答】解：（1）①以点D为圆心适当的长为半径画弧交MN于G、H，
②再分别以G、H为圆心大于GH为半径画弧，两弧交于点K，
③连接DK与MN交于点E，
直线DE就是所求．
（2）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴DO∥MN，
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°，
即OD⊥DE，
∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．
（3）连接CD，作OF⊥AB于点F，
∵OF⊥AB，OD⊥DE，DE⊥AB，
∴∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°，
∴四边形DEFO为矩形，
∴OF=DE=6，OD=EF，
设AF=x，则EF=OD=x+3，
在Rt△AOF中，（x+3）2=62+x2，
解得，x=4.5，
∴AF=4.5，
∴AB=2AF=9．
23．某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶每千克成本50元，经研y kg x/kg
（1）请根据上表，写出y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，w 的值最大？
（3）若在第一个月里，按使w获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于80元，要想在全部收回装修投资的基础上使第二个月的利润至少达到1700元，那么第二个月时里应该确定销售单价在什么范围内？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设y=kx+b，待定系数法求解即可得；
（2）根据：“总利润=每千克利润×销售量”列出函数关系式，配方可得其最值情况；
（3）由（2）知，第二个月利润需达到1700+550即W=2250才能满足题目条件，解方程可得x的值，根据二次函数性质可得x的取值范围．
【解答】解：（1）设y=kx+b，
将（70，100），（75，90）代入上式，
得：
解得：，
则y=﹣2x+240，
（2）w=（x﹣50）y
=（x﹣50）（﹣2x+240）
=﹣2x2+340x﹣9000
=﹣2（x﹣85）2+2450，
=2450；
当x=85时，w
最大
（3）由（2）知，第1个月还有3000﹣2450=550元的投资成本没有收回．
则要想在全部收投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，
即w=2250才可以，
可得方程：﹣2（x﹣85）2+2450=2250
解得：x1=75，x2=95
根据题意x2=95不合题意，应舍去，
当x=80时，y=2400，
∵﹣2＜0，
∴当x＜85时，w随x的增大而增大，
当w≥2250，且销售单价不高于80时，75≤x≤80．
答：当销售单价为75≤x≤80元时，在全部收回投资的基础上使第二个月的利润不低于1700元．
24．如图，在三角形ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF会变成矩形？并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，AB与EC相交于点P，与EF相交
于点D，若BC=2，AE=，求BP的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）直接利用平行线的性质结合结合角平分线的性质得出∠OCE=∠BCE，
∠OCF=∠GCF，即可得出EO=CO，FO=CO求出答案即可；
（2）利用已知得出AO+CO=EO+FO，即AC=EF，进而利用矩形的判定方法得出答案；（3）利用正方形的性质得出∠ACB=90°，OE∥BC，进而得出△BPC∽△DAF，
△BPC∽△DAF，再利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】证明：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）解：如备用图：设AB与EF交于点D，过点P作PQ⊥BC于点Q，
当四边形AECF是正方形时，
∵AE=EC=AF=，∠AEC=∠ECF=90°，∠AOC=90°，AO=OC，
∴∠ACE=∠BCE=∠AFE=45°，AC=，
∴∠ACB=90°，OE∥BC，
∴∠ADO=∠ABC，
∴△BPC∽△DAF
而BC=2，
∴tan∠B=，
∴∠B=60°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，AD=AB=2
设BQ=x，则，BP=2x，CQ=PQ=2﹣x，
而△BPC∽△DAF，，
∴PC=x，
在Rt△PQC中，PQ2+CQ2=PC2，
得，
解得（不合题意，舍去）
∴BP=2BQ=．
25．综合与探究：如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，过点B作线段BC⊥x轴，交直线y=﹣2x于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B关于直线y=﹣2x的对称点B′的坐标，判定点B′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B′C于点D，是否存在这样的点P，使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解得b、c的值；
（2）过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点C的横坐标为2，将x=2代入直线y=﹣2x的解析式可求得点C的坐标∵点B和B′
关于直线y=﹣2x对称，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得OC=5，然后利用面积法可
求得BF=2．由轴对称图形的性质可知B′F=FB=4．由同角的余角相等可证明
∠B′BE=∠BCF，从而可证明Rt△B′EB∽Rt△OBC，由相似三角形的性质可求得B′E=4，BE=8，故此可求得点B′的坐标为（﹣3，﹣4），然后可判断出点B′在抛物线上；
（3）先根据题意画出图形，然后利用待定系数法求得B′C的解析式，设点P的坐标为（x，
﹣+x+），则点D为（x，﹣），由平行四边形的判定定理可知当PD=BC时．四边形PBCD是平行四边形，最后根据PD=BC列出关于x的方程即可求得点P的坐标
【解答】解：（1）∵y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴．
解得：．
∴抛物线的解析式为y=﹣+x+．
（2）如图，过点B′作B′E⊥x轴于E，BB′与OC交于点F．
∵BC⊥x轴，
∴点C的横坐标为5．
∵点C在直线y=﹣2x上，
∴C（5，﹣10）．
∵点B和B′关于直线y=﹣2x对称，
∴B′F=BF．
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：OC===5．∵S△OBC=OC•BF=OB•BC，
∴5×BF=5×10．
∴BF=2．
∴BB′=4．
∵∠B′BE+∠B′BC=90°，∠BCF+∠B′BC=90°，
∴∠B′BE=∠BCF．
又∵∠B′EB=∠OBC=90°，
∴Rt△B′EB∽Rt△OBC．
∴，即．
∴B′E=4，BE=8．
∴OE=BE﹣OB=3．
∴点B′的坐标为（﹣3，﹣4）．
当x=﹣3时，y=﹣×（﹣3）2+=﹣4．
所以，点B′在该抛物线上．
（3）存在．
理由：如图所示：
设直线B′C的解析式为y=kx+b，则，解得：
∴直线B′C的解析式为y=．
设点P的坐标为（x，﹣+x+），则点D为（x，﹣）．
∵PD∥BC，
∴要使四边形PBCD是平行四边形，只需PD=BC．又点D在点P的下方，
∴﹣（﹣）=10．．
解得x1=2，x2=5（不合题意，舍去）．
当x=2时，=．
∴当点P运动到（2，）时，四边形PBCD是平行四边形．
2018年5月31日。