2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知23
t =-，a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ） .A 1
2
.B 32 .C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书
30本，那么不同的购书方案有 （ ）
.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3
3
3
3
21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
.A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数2
1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当
a b -为整数时，ab = （ ）
.A 0 .B 14 .C 3
4
- .D 2-
4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若
8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 （ ）
.A 12 .B 15 .C 16 .D 18
5.如图，在四边形ABCD 中，0
90BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==
1CD =,对角
线的交点为M ，则DM = ( )
.
A 3.
B 5
.
C 2 .
D 12
6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
.A 12 .B 23 .C 3
4
.D 1 二、填空题（本题满分
28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x
=
（0x >）的图象上，0
90ACB ∠=,0
30ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .
1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，
AD =则AM = .
2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，
,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知,a b 为正整数，求2
2
324M a ab b =---能取到的最小正整数值.
二、（本题满分25分） (A ).如图，点C 在以AB 为直径的
O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,
AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与
O 交于点N .证明:FN DE =.
(B ).已知：5,a b c ++= 2
2
2
15,a b c ++= 333
47.a b c ++=
求222222
()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.
三、（本题满分25分）
(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且
222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)
4x y y z z x xy yz zx
------++= .
(1) 求
111
xy yz zx
++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线
AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.
2019年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
(本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.)
1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知
t =
，a 是
t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则
11
2b a
-= （ ）
.A 1
2
.B 2 .C 1 .D 【答案】A .
【解析】
1
22,2t =
=<<-324,∴<< 即34,t <<
3 1.a t ∴=-=
又
221,t -=---<-423,∴-<-<-
(4)2b t ∴=---=11211,
2222b a ∴
-==-=故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图
书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
.A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种
【答案】C .
【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30
101520500x y z x y z ++=⎧⎨
++=⎩
，
即30341002y z x y z x +=-⎧⎨
+=-⎩，解得20210y x
z x
=-⎧⎨=+⎩ 依题意得，,,x y z 为自然数（非负整数），
故010,x ≤≤x 有11种可能的取值（分别为0,1,2,
,9,10)，对于每一个x 值，y 和z 都
有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C .
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：3
3
3
3
21(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 【答案】B .
【解析】[]3322
(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦
22(121)k =+ （其中k 为非负整数），由2
2(121)2016k +≤得，9k ≤ 0,1,2,,8,9k ∴=，即得所有不超过2019的“和谐数”
，它们的和为 333333
333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-+
+-+-=+=⎣⎦故选B .
3(B ）.已知二次函数2
1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab =
（ ） .A 0 .
B 14 .
C 3
4
- .D 2- 【答案】B .
【解析】依题意知0,0,10,2b
a a
b a
<-
<++= 故0,b < 且1b a =--， (1)21a b a a a -=---=+，于是10,a -<< 1211a ∴-<+<
又a b -为整数，210,a ∴+= 故1,2a b =-
=1
4
ab =，故选B . 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,
若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为（ ）
.A 12 .B 15 .C 16 .D 18
【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+
OD AB ⊥于,C 1
4,2
AC CB AB ∴==
= 在Rt OAC ∆中，2
2
2
,OC AC OA +=
即2
2
2
4(2),x x +=+解得3x =，即3OC = （第4题答案图）
OC 为ABE ∆的中位线，2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径，90,B ∴∠=
11
4612.22
BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .
5.如图，在四边形ABCD 中，0
90BAC BDC ∠=∠=，5AB AC ==
1CD =,对角线
的交点为M ，则DM = ( )
.
A 32 .
B 53
.
C 22 .
D 12
（第5题答案图）
【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆～,CMD ∆,AH AM
CD CM
∴
=1,CD =
,AM
AH CM ∴=
设,AM x = 则5,5CM x AH x
=∴=
-在Rt ABM ∆中，2225,BM AB AM x =
+=+ 则2
55
AB AM
x AH BM
x ⋅=
=+
2555
x x
x =
-+显然0x ≠，化简整理得2255100x x -+= 解得5
x =
（5x =，故 5CM =
在Rt CDM ∆中，221
2
DM CM CD =-=,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )
.A 12 .B 23 .C 3
4
.D 1
【答案】C .
【解析】
22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++
22
22
11122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
222
211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
当且仅当1,02x y ==时，M 取等号，故max 3
4
M =
，故选C . 二、填空题（本题满分
28分，每小题7分）
(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B ）】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3
y x
=
（0x >）的图象上，0
90ACB ∠=,0
30ABC ∠=,AB x ⊥轴，点B 在点A 的上方，且6,AB =则点C 的坐标为 .
【答案】322⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.
【解析】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中，cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中，33
sin 2
CD BC B =⋅=
（第1题答案图） 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝
⎭⎝⎭， 依题意知0,n m >>故33
,CD n m AD =-=
，于是 332
333
2n m m
n ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分，
3AD =则AM = .
【答案】2.
【解析】
（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,0
90,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠.
(1)若ABC ACB ∠>∠时，如答案图1所示，ADM ∆≌,ADB ∆1
,2
BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴
==在Rt DAC ∆中，即1
cos ,2
DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.
在Rt ADC ∆中，tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠== 1.DM =
在Rt ADM ∆中，222AM AD DM =
+=.
(2)若ABC ACB ∠<∠时，如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述，2AM =.
2(A).在四边形ABCD 中，BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点，
,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .
【答案】126.
【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,
CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,
BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,
,CD AO =AD AO ∴=,
ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=
,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=
2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==，72DBC BCD ∴∠=∠=,
,BD CD AD ∴==18054,2
ABD BAD β
-∴∠=∠=
= 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】16733
4.
【解析】设两个三位数分别为,x y ，则10003x y xy +=，①
31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍，不妨设y tx =（t 为正整数），
代入①得10003,t tx +=1000,3t
x t
+∴=
x 是三位数，10001003t
x t
+∴=
≥，解得 1000
,299
t ≤
t 为正整数，t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t =符合，此时
167,334.x y == 故所求的六位数为167334.
3(B).若质数p 、q 满足：340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 【答案】1007.
【解析】由340q p --=得，34,p q =-2
224(34)343,33pq q q q q q ⎛
⎫∴=-=-=-- ⎪⎝
⎭
因q 为质数，故pq 的值随着质数q 的增大而增大，当且仅当q 取得最大值时，pq 取得最大值.
又111p q +<，34111,q q ∴-+<3
28
4
q ∴<，因q 为质数，故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q =时，3465513p q =-==⨯不是质数，舍去.
当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则5M =；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M ≤
另一方面，如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知,a b 为正整数，求22
324M a ab b =---能取到的最小正整数值.
【解析】解：因,a b 为正整数，要使得22324M a ab b =---的值为正整数，则有2a ≥.
当2a =时，b 只能为1，此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.
当3a =时，b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =，则7M =.
当4a =时，b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.
(下面考虑：22
324M a ab b =---的值能否为1？)
（反证法）假设1M =，则223241a ab b ---=，即22325a ab b -=+， 2(3)25a a b b -=+ ①
因b 为正整数，故25b +为奇数，从而a 为奇数，b 为偶数，
不妨设21,2a m b n =+=，其中,m n 均为正整数，则
22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦
即2
(3)a a b -被4除所得余数为3，而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1，
故①式不可能成立，故1M ≠.因此，M 能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A ).如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上，,AE AC =四边形DEFM 是正方形，AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.
(第2(A)题答案图)
【证明】：连接BC 、.BN AB 为O 的直径，CD AB ⊥于点D
90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=
,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴∆∆∽
,AC AB AD AC
∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:
点M 在CD 上，DE DM EF MF ===
,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴∆∆∽
,AN AB AD AM
∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =2AE AM AN ∴=⋅
以点F 为圆心、FE 为半径作
,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线，直线AMP 是F 的割线，故由切割线定理得2AE AM AP =⋅ AN AP ∴=,即点N 与点P 重合，点N 在F 上，FN FE DE ∴==.
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
(B ).已知：5,a b c ++= 222
15,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=
++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得，
4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-
又22
()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=- 同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-
∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=
【注：恒等式32
()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】
三、（本题满分25分）
(A ).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx
------++= . (3) 求111xy yz zx
++的值.
(4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx
------++=， 去分母得222222
(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，
222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦ ()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，
∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠，
()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=
1.x y z xyz ++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又,,x y z 为正实数,
9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++
9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++
222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-
222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥
∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.
【注：222222
()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++
222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++
222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】
(B ).如图，在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点，点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.
（第3（B ）题答案图）
【解析】如图，连接,,AE ED CF ,则,AB AC =ABD ACB ∴∠=∠
点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等) BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆，AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠
,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=22 5.AD AF AB ∴⋅===
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）。