2025届四川省宜宾市第四中学高考适应性考试数学试卷含解析

2025届四川省宜宾市第四中学高考适应性考试数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，设其前n 项和n S ，若14+=n
n n a a （n *∈N ），则5S =（ ）
A ．30
B ．
C ．
D ．62
2．由曲线3,y x y ==
）
A ．
5
12 B ．
13
C ．
14
D ．
12
3．在ABC ∆中，30C =︒，2
cos 3
A =-
，2AC =，则AC 边上的高为（ ）
A B ．2
C D ．
2
4．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面
C ．相交
D ．平行或异面或相交
5．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）
A ．[0,4]
B ．{0,2,4}
C ．{2,4}
D ．[2,4]
6．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线2
22:14
y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )
A ．(
B ．)
+∞
C ．(
D ．)
+∞
7．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．5
B ．3
C ．
3
2
D ．2
8．设i 为虚数单位，z 为复数，若
z i z
+为实数m ，则m =（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
9．定义在上的函数
满足
，且
为奇函数，则
的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ） A ．22log log b a < B ．1122b a
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．33b a >
D ．2ab b <
11．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =
交于点N ，3
OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．已知直线y =k (x +1)(k >0)与抛物线C 2
:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则|FA | =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数()3sin()0,
2f x x π
ωϕϕϕπ⎛
⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.
14．若一组样本数据7，9，x ，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.
15．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴
于E 点，若满足112F E AF =，且
1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 16．在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
:143
x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，,P Q 为椭圆C 上两
点，圆222
:(0)O x y r r +=>.
（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程； （2）若圆O 的半径为3，点,P Q 满足3
4
OP OQ k k ⋅=-
，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值. 18．（12分）已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F ，点(),3A a ，点P 为抛物线C 上的动点． （1）若PA PF +的最小值为5，求实数a 的值；
（2）设线段OP 的中点为M ，其中O 为坐标原点，若MOA MAO AOF ∠=∠=∠，求OPA ∆的面积． 19．（12分）如图所示的几何体中，ADEF ABCD ⊥面底面，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，
//AB CD ，2
BAD π
∠=
，24AB AD CD ===，G 为BF 中点.
（1）证明：//CG ADEF 面； （2）求二面角A BF C --的余弦值.
20．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验
方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若31
1e
p =-，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
21．（12分）某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l 1和l 2通过一段抛物线形状的栈道AB 连通（道路不计宽度），l 1和l 2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l 3平行于观光道且与l 2相距1.5（百米）（其中A 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l 3，且交l 3于M ），在堤岸线l 3上的E ，F 两处建造建筑物，其中E ，F 到M 的距离为1 （百米），且F 恰在B 的正对岸（即BF ⊥l 3）．
（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB 的方程；
（2）游客（视为点P ）在栈道AB 的何处时，观测EF 的视角(∠EPF )最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P 的坐标．
22．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()2
2a b c ab -=-. （1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛
⎫
+
+= ⎪⎝
⎭
，1a =，求ABC ∆的面积. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解析】
根据14+=n
n n a a ，分别令1,2n =，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公
式，最后利用等比数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可知中：10,0a q >>.由14+=n
n n a a ，分别令1,2n =，可得124a a =、2316a a =，
由等比数列的通项公式可得：1112
114162
a a q a a q a q q ⎧⋅⋅=⎧=⎪⇒⎨
⎨⋅⋅⋅==⎪⎩⎩
因此5S ==故选：B 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 2、A 【解析】
先计算出两个图像的交点分别为()()0,0,1,1，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【详解】
封闭图形的面积为)
1
33
14120
00
215
||3412
x dx x x =-=⎰.选A. 【点睛】
本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取. 3、C 【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得BC 边长，由此求得AC 边上的高. 【详解】
过B 作BD CA ⊥，交CA 的延长线于D .由于2cos 3A =-
，所以A
为钝角，且sin 3
A ==，所以()()sin sin sin CBA CBA A C π∠=-∠=
+21sin cos cos sin 32
A C A C =+=-⨯=.在三角形
ABC 中，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即152
515236
BC -=-，所以25BC =.在Rt BCD ∆中有1
sin 2552
BD BC C ==⨯
=，即AC 边上的高为5. 故选： C
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题. 4、D 【解析】
结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a 与b 的关系分别是平行、异面或相交．
选D ． 5、B 【解析】
计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】
{}{|4}0,1,2,3,4A x N y x =∈=-=,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，
故{0,2,4}A
B =.
故选：B . 【点睛】
本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 6、C
【解析】
先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】
双曲线22
2:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14
y C x -=没有公共点，
所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C
的离心率(
e =.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题. 7、D 【解析】
由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出
124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离.
【详解】
解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为12
22
x x +=. 故选:D. 【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 8、B 【解析】
可设(,)z a bi a b R =+∈，将z i z
+
a b i
+
0b =，解方程即
可求解 【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈
，则
)2
2
a b i z
a bi i i i z a b
+
-+=+=+=
+.
由题意有2200a b b a +-=⇒=，所以0m =. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 9、D 【解析】 根据为奇函数，得到函数关于
中心对称，排除
，计算
排除，得到答案.
【详解】
为奇函数，即
，函数关于
中心对称，排除
.
，排除.
故选：. 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键. 10、D 【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出. 【详解】
∵0b a <<，∴22log log b a >，1122b a
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，33b a <，2ab b <. 故选：D . 【点睛】
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题. 11、C 【解析】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 3
3t
OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零
点的个数,即为所求. 【详解】
设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 33
3OM ON t OP t t +⎛⎫
==+ ⎪⎝⎭,
依题意可得1
ln 03t t
+=, 设1()ln 3g t t t =+,则22
1131()33t g t t t t -'=-=, 当103
t <<
时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当1
3t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,
所以min
1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫
=-+>=> ⎪⎝⎭
,
1
()ln 03g t t t
∴=+
=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【点睛】
本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 12、C 【解析】
方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .
方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线
()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA .
【详解】
方法一：由题意得抛物线2
4y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的中点， 则1
||||2
OB AF =
，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12
， 所以13
||122
FB =+
=，所以||2||3FA FB ==．
方法二：抛物线2
4y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+ 由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >， 则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+
又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ①
222224(24)01(1)
A B y x
k x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨
=+⎩ ② 由①②得2
20,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、8 【解析】
根据图象利用6
(0)f =，先求出ϕ的值，结合()10f =求出ω，然后利用周期公式进行求解即可． 【详解】
解：由6
(0)3sin f ϕ==
2sin 2
ϕ=，
2ϕ
π
<<π，
3
4
πϕ
∴=，
则
3 ())
4
f x x
π
ω
=+，
(
)3
10
4
f
π
ω
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
3
4
π
ωπ
∴+=，即
4
π
ω=，
则函数的最小正周期
22
8
4
T
ππ
π
ω
===
，
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．
14、1
【解析】
根据题意，由平均数公式可得
79810
9
5
x
++++
=，解得x的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】
根据题意，数据7，9，x，8，10的平均数为9，
则
79810
9
5
x
++++
=，解得：11
x=，
则其方差222222
1
[(79)(99)(119)(89)(109)]2
5
S=-+-+-+-+-=.
故答案为：1．
【点睛】
本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出x的值，属于基础题．
15
【解析】
采用数形结合，计算
1
F E以及
1
AF，然后根据椭圆的定义可得
2
AF，并使用余弦定理以及
c
e
a
=，可得结果. 【详解】
如图
由1260EF F ∠=，所以12cos60c F E c == 由112F E AF =，所以1112
AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =- 所以2221212
12121
cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠= 所以()()22222cos12022c c a c c c
+--=⋅ 化简可得：()2
27227c a c a c c =-⇒-= 则71371
c a ==+ 故答案为：
713 【点睛】
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
16、,1,n n n n ⎧⎨-⎩
为奇数为偶数 【解析】
由题意可得112(2)n n a a n +--=，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和
偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩
为奇数为偶数. 【详解】
解：∵12n n a n a +=-，
∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-②，
①﹣②得：112(2)n n a a n +--=，又∵11a =，
∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，
∴当n 为奇数时，n a n =，
当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，
∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数
，
故答案为：,1,n n n n ⎧⎨
-⎩
为奇数为偶数. 【点睛】 本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2245x y +=
（2
【解析】
试题分析：（1）确定圆O 的方程，就是确定半径的值，因为直线AP 与圆O 相切，所以先确定直线方程，即确定点P 坐标：因为PF x ⊥轴，所以3
(1,)2P ±，根据对称性，可取3(1,)2P ，则直线AP 的方程为1(2)2
y x =+，根据圆心到
切线距离等于半径得r =（2）根据垂径定理，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值，就是求圆心O 到直线PQ 的距离的最小值. 设直线PQ 的方程为y kx b =+，则圆心O 到直线PQ
的距离d =34
OP OQ k k ⋅=-得1212340x x y y +=，化简得221212(34)4()40k x x kb x x b ++++=，利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达
定理得22243b k =+
，因此d ==，当0k =时，d 取最小值，PQ
. 试题解析：解：（1）
因为椭圆C 的方程为22143x y +=，所以(2,0)A -，(1,0)F . 因为PF x ⊥轴，所以3(1,)2P ±，而直线AP 与圆O 相切，
根据对称性，可取3(1,)2P ，
则直线AP 的方程为1(2)2y x =
+， 即220x y -+=.
由圆O 与直线AP 相切，得25r =
， 所以圆O 的方程为2245
x y +=
. （2）
易知，圆O 的方程为223x y +=.
①当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-
， 所以3OP k =， 此时得直线PQ 被圆O 67.
②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，112212(,),(,)(0)P x y Q x y x x ≠， 首先由34
OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即121234()()0x x kx b kx b +++=，
所以221212(34)4()40k x x kb x x b ++++=（*）. 联立22
{143
y kx b
x y =++=，消去x ，得222(34)84120k x kbx b +++-=， 将21212228412,3434kb b x x x x k k
-+=-=++代入（*）式， 得22243b k =+.
由于圆心O 到直线PQ
的距离为d =
所以直线PQ 被圆O
截得的弦长为l ==0k =时，l
.
>，所以直线PQ 被圆O
. 考点：直线与圆位置关系
18、（1）a 的值为3-或4.（2
）
2
【解析】 （1）分类讨论，当94
a >
时，线段AF 与抛物线C 没有公共点，设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，当,,D P A 三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当94a ≤时，线段AF 与抛物线C 有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得//MA x 轴且 MO MA MP ==，设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线方程求出,M P ，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
()1由题，()1,0F ，若线段AF 与抛物线C 没有公共点，即94
a >时， 设点P 在抛物线准线1x =-上的射影为D ，
则,,D P A 三点共线时，
PA PF +的最小值为()15AD a =--=，此时4;a =
若线段AF 与抛物线C 有公共点，即94
a ≤时， 则,,A P F 三点共线时， PA PF +的最小值为：
5PF ==，此时3a =-
综上，实数a 的值为3-或4.
()2因为MOA MAO AOF ∠=∠=∠，
所以//MA x 轴且 MO MA MP ==，
设(),3M t ，则()2,6P t ，代入抛物线C 的方程解得29,t =
于是 MO MA MP ===， 所以191322
OPA p S MA y ∆=
= 【点睛】 本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
19、（1）见解析；（2）
13
【解析】
(1)取AF 的中点H ，结合三角形中位线和长度关系，CDHG 为平行四边形，进而得到//CG HD ，根据线面平行判定定理可证得结论；
(2)以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；
【详解】
（1）取AF 的中点H ，连结GH ，HD
因为G 为BF 中点，//AB CD ，2AB CD =，
所以//GH CD ，GH CD =，∴CDHG 为平行四边形，
所以//CG HD ，
又因为HD ADEF ⊂面，CG ADEF ⊄面
所以//CG ADEF 面；
（2）由题及（1）易知AB ，AD ，AF 两两垂直，
所以以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,
则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0D ，()0,0,4F ，()2,4,0C ，()4,0,4BF =-，()2,4,4FC =-
易知面ABF 的法向量为()10,1,0n =
设面ABF 的法向量为()2,,n x y z =
则22
4402440n BF x z n FC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 可得211,,12n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
所以12112cos ,31124n n ==⨯+, 如图可知二面角A BF C --为锐角，所以余弦值为13
【点睛】
本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.
20、（1）110（2）（i ）()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4. 【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11k p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,
则()232355
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
110
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +, ()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦, 若()()12E E ξξ=,则()11k k k k p =+--,则()11k p k
-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥） （ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k <-, 311p =-
,1k k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3f x x x =-
（0x >）, 则()113
f x x '=-,令()0f x '=,则13x =, ∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减,
又ln 4 1.3863≈,4 1.33333
≈, 4ln 43
∴>, 又ln5 1.6094≈,
5 1.66673≈, 5ln 53
∴<, ∴k 的最大值为4
【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性
21、（1）见解析，22x y =，x ∈[0，1]；（2）P
1
，2)时，视角∠EPF 最大．
【解析】
（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系，设出方程，通过点B 的坐标可求方程；
（2）设出P 的坐标，表示出tan EPF ∠，利用基本不等式求解tan EPF ∠的最大值，从而可得观测点P 的坐标．
【详解】
（1）以A 为原点，l 1为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建系
由题意知：B (1，0.5)，设抛物线方程为22x py =
代入点B 得：p ＝1，故方程为22x y =，x ∈[0，1]；
（2）设P
，2t )，t ∈[0
]，作PQ ⊥l 3于Q ，记∠EPQ ＝α，∠FPQ ＝β
1EQ =+，22PQ t =-
，1FQ =-
224222
tan tan 2(2)22tan tan()121tan tan 231(2)t t t EPF t t t t αβαβαβ+---∠=+===---+-- 令232[2]2t x -=∈，
，22t x =-，则：
222221tan 3(2)212322x x EPF x x x x x x
∠===≤-+--++-， 当且仅当3x x =
即x =
22t =-
t =时取等号； 故P
1
，2-)时视角∠EPF 最大，
答：P
1
，2)时，视角∠EPF 最大．
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的实际应用，理解题意，构建合适的模型是求解的关键，涉及最值问题一般利用基本不等式或者导数来进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.
22、（1）3
π
（2【解析】
（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆.
【详解】
（1）由()2
2a b c ab -=-，得222a b c ab +-=. 所以由余弦定理，得222cos 122
a b c C ab +-==. 又因为()0,C π∈，所以3C π
=.
（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝
⎭，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =.
又因1a =，所以4b =.
所以ABC ∆的面积11sin 1422S ab C =
=⨯⨯=【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.。