中职数学教案：函数的单调性

中等专业学校2023-2024-1教案
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的
变化规律，因此这一节我们一起来研究函数的性质．
3.3.1 函数的单调性
一．情境导入
请大家观察下图，这是某市某天气温y（℃）是时
间y(时)的函数图像，记这个函数为y = f(x)．观察图像，当自变量x变化时，函数y = f(x)怎样
变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？
由图可知：时间从4ℎ到14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是
说当y∈ [4，14] 时，函数y = y(y)的值随自变量x 的增大而增大．时间从14ℎ到24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也
就是说当y∈ [14，24] 时，函数y = y(y)的值随自变量x
的增大而减小．
由图可知：在给定区间[4，14]上，
对于图像上的任意两点y1(y1, y1)，y2(y2, y2)，当y1＜y2时，都有y1＜y2，即，f(x1)＜f(x2)．在给定区间[14，24]上，
对于图像上的任意两点y3(y3, y3)，y4(y4, y4)，
当y3＜y4时，都有y3＞y4，即f(x3)＞f(x4)．
二、新授
从上述例子可抽象出如下定义：
设函数y = y(y)的定义域为D，区间y⊆ y．
（1）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1
＜y2时，都有
y(y1) ＜y(y2)，
那么称函数y = y(y)在区间I上是增函数，区间
I 称为函数y = y(y)的增区间．如图（1）所示．
（2）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1€
y2时，都有
y(y1) Σ y(y2)，
那么称函数y = y(y)在区间I上是减函数，区间
I称为函数y = y(y)的减区间．如图（2）所示．
如果函数y = y(y)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y = y(y)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．
三、例题讲解
例1 根据函数在R 上的图像，如图所示，写出其
单调区间：
解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数y =
y(y)的定义域为R，增区间为(—∞，0]，减区
间为[0，+ ∞)．
（2）由函数图像（2）可知，函数y = y(y)的定义
域为(—∞，0) ∪ （0, +∞) ，增区间为(—∞，0)和（0, +∞)．
探究与发现
函数f (x)=1 的减区间能写成(—∞，0) ∪
x
（0, +∞)吗？
例2 讨论函数y(y) = 2y + 1在(—∞，+ ∞）上的单调性．
解任取y1, y2∈ (—∞，+ ∞）且y1＜y2，因为y(y1) —y(y2) = (2y1 + 1)－(2y2 + 1)
=2y1— 2y2= 2(y1—y2)，
由y1—y2＜0，所以y(y1) —y(y2)＜0,即
y(y1) ＜y(y2)．。