2020学年辽宁省大连市新高考高一数学下学期期末质量跟踪监视试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足111222n n n a a a -+++=，*2,n n N ≥∈，且121,2a a ==，则16a = A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
2．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为
2
a
的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）
A ．18
π-
B ．
4
π C ．14
π-
D ．与a 的值有关联
3．在等差数列{}n a 中，若前10项的和1060S =，77a =，则4a =( ) A ．4
B ．4-
C ．5
D ．5-
4．已知向量(2,3)a =，(,4)b m =，若a ，b 共线，则实数m =（ ） A ．6-
B ．83
-
C ．83
D ．6
5．将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )
A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分中乙
B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差
D ．甲乙两队得分的极差相等
6．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
7．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B =（ ） A ．135︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．90︒
8．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之和是6的概率是（ ）
A
．
19
B ．
16
C ．
536
D ．
1536
9．下列各数中最小的数是（ ） A ．(9)85
B ．(6)210
C ．(4)1000
D ．(2)111111
10．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得BCD ∠︒15＝，
BDC ∠︒30＝，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于
A ．6
B ．13
C ．2
D ．611．已知实心铁球的半径为R ，将铁球熔成一个底面半径为R 、高为h 的圆柱，则
h
R
=( ) A ．
3
2
B ．
43 C ．54
D ．2 12．设()11
12f n n
=++⋅⋅⋅+，则()12k f +比()2k f 多了（ ）项
A ．12k -
B ．21k +
C ．2k
D ．21k -
二、填空题：本题共4小题
13．已知1
1,102,111
n n n a n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩，则lim n n a →∞=______． 14．设sin 2sin ,(,)2
π
αααπ=-∈,则tan(2)πα-的值是____.
15．下列命题：
①函数()cos 2y x =-的最小正周期是π；
②在直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，将向量OP 绕点O 逆时针旋转90︒得到向量OQ ，则点Q 的坐标是
(),b a -；
③在同一直角坐标系中，函数cos y x =的图象和函数y x =的图象有两个公共点； ④函数sin 2y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
在[]0,π上是增函数． 其中，正确的命题是________（填正确命题的序号）．
16．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若134a a +=，则44a =，则6a =______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱维
中，底面.
(1)从三棱锥中选择合适的两条棱填空_________⊥________，则该三棱锥为“鳖臑”; (2)如图，已知垂足为，垂足为
.
(i)证明:平面⊥平面;
(ii)作出平面与平面
的交线,并证明
是二面角
的平面角.(在图中体现作图过程
不必写出画法)
18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =
，三棱锥P ABD -的体积 3
4
V =
，求A 到平面PBC 的距离．
19．（6分）已知向量a ，b 满足：||2a =，||1b =，()(2)8a b a b +⋅-=． （Ⅰ）求a 与b 的夹角θ； （Ⅱ）求||a b +．
20．（6分）设递增数列{}n a 共有k 项，定义集合{|,1}k i j A x x a a i j k ==+≤<≤，将集合k A 中的数按从小到大排列得到数列{}n b ；
（1）若数列{}n a 共有4项，分别为11a =，23a =，34a =，46a =，写出数列{}n b 的各项的值； （2）设{}n a 是公比为2的等比数列，且10.52a <<，若数列{}n b 的所有项的和为4088，求1a 和k 的值；
（3）若5k =，求证：{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项； 21．（6分）设向量(3cos ,2sin )a θθ=-. （1）当4
3
θπ=
时，求a 的值； （2）若(3,1)b =-，且//a b
，求
2
2cos 1
2
4θ
πθ-⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭的值.
22．（8分）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，且满足n mS n =，
,()m nS m m n =≠. （1）证明4m n S +>；
（2）若()
2
2
2
2
2
2
333312sin cos cos cos sin sin sin 0p p p p p p p p a a a a a a a a ++++++-+-=+≠，()0,1d ∈，
当且仅当9n =时，n S 取得最小值，求首项a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
利用111222n n n a a a -+++=，121,2a a ==，依次求34,,......a a ，观察归纳出通项公式()2log 2n n a = ，从而求出16a 的值. 【详解】
∵ 数列{}n a 满足111222n n n a a a -+++=，*2,n n N ≥∈，121,2a a ==，
∴312 2228a ++==，∴326a =，∴32
log 6a = ， 421log 62222a ++=，∴4
22648a =⨯-=，∴ 42log 83a ==，……， ∵121log 2a ==，222log 4a ==，32log 6a =，42log 83a ==，…….， 由此归纳猜想()2log 2n a n =，∴162log 325a ==．故选B ． 【点睛】
本题考查了一个教复杂的递推关系，本题的难点在于数列的项位于指数位置，不易化简和转化，一般的求通项方法无法解决，当遇见这种情况时一般我们就可以用“归纳”的方法处理，即通过求几项，然后观察规律进而得到结论． 2．C 【解析】
试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为22
2()214
a a a ππ-=-．
考点：几何概型，圆的面积公式． 3．C 【解析】 试题分析：()
()1101047410560,52
a a S a a a ⋅+=
=+==.
考点：等差数列的基本概念. 4．C 【解析】 【分析】
利用向量平行的性质直接求解． 【详解】
向量(2,3)a =，(,4)b m =，,a b 共线，
∴
4
23
m =， 解得实数8
3
m =．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．C 【解析】 【分析】
由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案． 【详解】
26282931315x ++++=
=甲29；2829323130
5
x ++++==乙30，∴x x 甲乙，<∴A 错误；
甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B 错误；
甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，54≠，
∴D 错误；
排除可得C 选项正确， 故选C ． 【点睛】
本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题. 6．A 【解析】
设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x
y k x ⎧=⎨=-⎩，得
2
2
221
1
1
240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212
1
24
k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342
2
24
k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=
22
122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则
2
2||sin p AB α
=，则2
222||πcos sin (+)2
p p
DE αα==，所以222221
||||4(cos sin cos p p AB DE ααα
+=+=+
2222
22222
111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα
=++=++≥⨯+=. 7．A 【解析】 【分析】
由正弦定理，整理得到sin cos 0B B +=，即可求解，得到答案. 【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A a B +=， 由正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=，
因为0180A <<，则sin 0A >，所以sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，
又因为0180B <<，则135B =，故选A. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理的边角互化，以及特殊角的三角函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
由题意可知，基本事件总数为36，然后列举出事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是6”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
同时抛掷两个骰子，共有2636=个基本事件，
事件“同时抛掷两个骰子，向上的点数之和是6”所包含的基本事件有：()1,5、()2,4、()3,3、()4,2、()5,1，共5个基本事件. 因此，所求事件的概率为536
. 故选：C. 【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
将选项中的数转化为十进制的数，由此求得最小值的数. 【详解】
依题意()98589577=⨯+=，()26210261678=⨯+⨯=，()3
410001464=⨯=，
()543210211111122222263=+++++=，故最小的为D.所以本小题选D.
【点睛】
本小题主要考查不同进制的数比较大小，属于基础题. 10．D 【解析】
在BCD ∆ 中，1801530135CBD ∠=︒-︒-︒=︒
由正弦定理得
30
sin 30sin135BC =︒︒
，解得BC =
在Rt ABC ∆ 中，tan AB BC ACB =∠==
11．B 【解析】 【分析】
根据变化前后体积相同计算得到答案. 【详解】
314
3
V R π= 22V R h π=⋅
321244
33
h V V R R h R ππ=⇒=⋅⇒=
故答案选B 【点睛】
本题考查了球体积，圆柱体积，抓住变化前后体积不变是解题的关键. 12．C 【解析】 【分析】
可知()f n 中共有n 项，然后将()12k f +中的项数减去()
2k
f 中的项数即可得出答案.
【详解】
()11
12f n n
=++⋅⋅⋅+，则()f n 中共有n 项，所以，()12k f +比()2k f 多了的项数为1222k k k +-=.
故选:C. 【点睛】
本题考查数学归纳法的应用，解题的关键就是计算出等式中的项数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题 13．2 【解析】 【分析】
由题意得出2lim lim
1
→∞
→∞=+n n n n
a n ，然后在分式的分子和分母中同时除以n ，然后利用常见的数列极限可计算
出所求极限值. 【详解】 由题意得出222
lim lim
lim 2
1110
1n n n n n a n n
→∞→∞→∞====+++. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
14【解析】 【分析】
根据二倍角公式得出tan α= 【详解】
解：由题意知：sin 22sin cos sin αααα==-
(,)2
π
απ∈sin 0α∴≠
故2cos 1α=-，
∴1
cos 2α=-即sin 2α=
tan α=()
tan 2tan παα∴-=-=
. 【点睛】
本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题． 15．①②④ 【解析】 【分析】
由余弦函数的周期公式可判断①；由任意角的三角函数定义可判断②；由余弦函数和一次函数的图象可判断③；由诱导公式和余弦函数的单调性可判断④． 【详解】
函数y ＝cos （﹣2x ）即y ＝cos2x 的最小正周期是π，故①正确； 在直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ），
将向量OP 绕点O 逆时针旋转90°得到向量OQ ，
设a ＝rcosα，b ＝rsinα，可得rcos （90°+α）＝﹣rsinα＝﹣b ， rsin （90°+α）＝rcosα＝a ，则点Q 的坐标是（﹣b ，a ），故②正确；
在同一直角坐标系中，函数y ＝cosx 的图象和函数y ＝x 的图象有一个公共点，故③错误； 函数y ＝sin （x 2
π
-
）即y ＝﹣cosx 在[0，π]上是增函数，故④正确． 故答案为①②④．
【点睛】
本题考查余弦函数的图象和性质，主要是周期性和单调性，考查数形结合思想和化简运算能力，属于基础题． 16．6 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质求出2a 的值，再利用等差中项的性质求出6a 的值. 【详解】
由等差中项的性质可得21324a a a =+=，得22a =，
由等差中项的性质得42628a a a =+=，628826a a ∴=-=-=. 故答案为：6. 【点睛】
本题考查等差数列中项的计算，充分利用等差中项的性质进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）或
或
或
.（2）(i) 见证明；(ii)见解析
【解析】 【分析】 （1）根据已知填或或
或
均可；（2）(i)先证明平面
，再
证明平面
⊥平面
;(ii) 在平面中，记
，
，连结
，则
为所求的.再证明
是二面角
的平面角.
【详解】 （1）
或
或或. （2）（i ）在三棱锥
中，
，
，
，
所以平面，
又平面，所以，
又,，所以平面.
又平面，所以，
因为且，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（ii）
在平面中，记，连结，则为所求的.
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面.
又平面且平面，所以，.
所以就是二面角的一个平面角.
【点睛】
本题主要考查空间线面位置关系，面面角的作图及证明，属于中档题．
313
18．（1）证明见解析（2）A到平面PBC
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原
点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离 试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ．
因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB
又EO 平面AEC ，PB 平面AEC 所以PB ∥平面AEC ．
（2）1366
V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得
. 作交于．
由题设易知，所以
故
， 又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为
法2：等体积法
136V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得.
由题设易知,得BC
假设到平面的距离为d ，
又因为PB=
所以
又因为(或)，
，
所以
考点：线面平行的判定及点到面的距离
19．（Ⅰ）=60θ（Ⅱ7
【解析】
【分析】
（I ）利用向量数量积的运算，化简()(2)8a b a b +-=，得到cos θ，由此求得θ的大小.（II ）先利用向量的数量积运算，求得2||a b +的值，由此求得||a b +的值.
【详解】
解：（Ⅰ）因为()(2)8a b a b +-=，
所以7+2cos 8θ=． 所以1cos 2θ=
． 因为0θ180，所以=60θ．
（Ⅱ）因为2222||()2a a b a b b a b +=+=+⋅+，
由已知||2a =，1b ||=，
所以2||4217a b =++=+． 所以||7a b =
+．
【点睛】
本小题主要考查向量数量积运算，考查向量夹角的计算，考查向量模的求法，属于基础题.
20．（1）14b =，25b =，37b =，49b =，510b =；（2）11a =，9k =；（3）证明见解析；
【解析】
【分析】
(1)根据题意从小到大计算{}n b 中的值即可.
(2)易得数列{}n b 的所有项的和等于{}n a 中的每个项重复加了1k -次,再根据等比数列求和即可.
(3)分别证明当5k =时,若{}n a 为等差数列则数列{}n b 恰有7项以及当数列{}n b 恰有7项证明{}n a 为等差数列即可.
【详解】
(1)易得当11a =,23a =,34a =,46a =时, 112134b a a =+=+=, 213145b a a =+=+=,31423167b a a a a =+=+=+=,424268b a a =+=+=,
5344610b a a =+=+=.
(2)若{}n a 是公比为2的等比数列,且10.52a <<,则数列{}n b 的所有项的和等于{}n a 中每一项重复加了
1k -次,故14088(1)(21)k k a =-⋅-.即14088(1)(21)
k a k =-⋅-,又10.52a <<,故4088(1)(21)9176(1)(21)0.522044k k k k <
<⇒-⋅-<<-⋅-,易得(1)(21)k k -⋅-随着k 的增大而增大. 当8k 时(1)(21)72551785k k -⋅-=⨯=,
当9k =时(1)(21)85114088k k -⋅-=⨯=,
当10k =时(1)(21)910239207k k -⋅-=⨯=,
故9k =,此时11a =.
(3)证明：
先证明充分性：若5k =,且{}n a 为等差数列,不妨设0d >,则数列{}n b 也为等差数列为d 的等差数列.且最小值为112b a d =+,最大值为71113427b a d a d a d =+++=+.
故数列{}n b 恰有7项.
再证明必要性：
若数列{}n b 恰有7项.
则因为12132324343545a a a a a a a a a a a a a a +<+<+<+<+<+<+.
故{}n b 的7项分别为12132324343545,,,,,,a a a a a a a a a a a a a a +++++++.
又131434a a a a a a +<+<+,可得1423a a a a +=+,即4321a a a a -=-.
同理有54323221,a a a a a a a a -=--=-,故{}n a 为等差数列.
综上可知, 若5k =,则{}n a 为等差数列的充要条件是数列{}n b 恰有7项
【点睛】
本题主要考查了数列综合运用,需要根据题意分析{}n a 与{}n b 的关系,将{}n b 中的通项用{}n a 中的项表达,再计算即可.同时也考查了推理证明的能力.属于难题.
21．（1）
2；（2）23. 【解析】
【分析】
（1）直接由向量的模长公式2a x y =+. （2）由向量平行的公式可得1tan 2
θ=，再用余弦的二倍角和正弦的和角公式，然后再转化为tan θ的式子，
代值即可.
【详解】
（1）因为43θπ=
，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝，
所以23||2a ⎛⎫== ⎪. （2）由//a b 得3cos 3
2sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2
θ=，故22cos 1
cos 122sin cos tan 13
4θ
θπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝
⎭. 【点睛】 本题考查向量求模长和向量的平行的坐标公式的利用，以及三角函数的化简求值，属于基础题. 22．（1）证明见解析；（2）34,23ππ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】 （1）根据等差数列的前n 项和公式,变形可证明n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列.结合条件n mS n =,,()m nS m m n =≠,可得11n m S S n m m n -=-,进而表示出2d mn =.由n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列,表示出m n S m n ++,化简变形后结合不等式性质即可证明4m n S +>.
（2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得()3sin sin31p p a a d +-==.由()0,1d ∈,即可确定6d π
=.当且仅当9n =时，n S 取得最小值,可得不等式组,即可得首项a 的取值范围.
【详解】
（1）证明:等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,
则1(1)2n n n S na d -=+ 所以122n S d d n a n =+-,112
n n S S d n n -==-, 故n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列,
因为n mS n =,,()m nS m m n =≠,所以11,n m S S n m m n
== ()112n m S S n m d n m m n --==-,解得2d mn
=, 因为()2
m n n S S m n n d m n n ++-=++, 得()112m n n S S m n n d m n n m n
++-=+=++ 故2
()4,()m n m n S m n mn
++=>≠,从而4m n S +>. （2）而2222223333sin cos cos cos sin sin p p p p p p a a a a a a ++++-+-
()()222233sin 1sin cos 1cos p p p p a a a a ++=---
222233sin cos cos sin p p p p a a a a ++=-
()()3333sin cos cos sin sin cos cos sin p p p p p p p p a a a a a a a a ++++=+-
()()33sin sin p p p p a a a a ++=+-.
由条件()222222333312sin cos cos cos sin sin sin 0p p p p p p p p a a a a a a a a ++++++-+-=+≠
又由等差数列性质知：()()312sin sin 0p p p p a a a a ++++=+≠
所以()3sin sin31p p a a d +-==,
因为(0,1)d ∈,所以3(0,3)d ∈,那么6d π
=. 等差数列06d π
=>,当且仅当9n =时,n S 取得最小值.
911101148033902a a d a a a d a ππ⎧=+=+<⎪⎪⎨⎪=+=+>⎪⎩
, 所以134,23a ππ⎛⎫∈-
- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用.三角函数式变形,正弦和角与差角公式的应用,不等式组的解法,综合性强,属于难题.
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
8453S S =，则2412S S =（ ） A ．53 B ．2 C ．3527 D ．2735
2．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移
12π个单位得到数学函数()g x 的图像，在()g x 图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ）
A ．24x π
=- B ．4x π
= C ．524x π= D ．12x π
=
3．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是 A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b
B ．若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥c
C ．若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥
D ．若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b
4．设,x y 满足约束条件1
{2
x y y x y +≤≤≥-,则3z x y =+的最大值为 （ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．3 5．设342334333log ,,224a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．a c b >>
6．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数1a b +，1b c +，1c a +( ) A ．都大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
7．已知数列{}n a 满足11a =，()
*1(1)2n n n a a n +=-⨯∈N ，则4a =（ ） A ．4 B ．-4 C ．8 D ．-8
8．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A ．sin y x =
B ．cos y x =
C ．1sin 2y x =
D ．cos 2y x =
9．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个县按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，已知3个县人口数之比为2:3:5，如果人口最多的一个县抽出60人，那么这个样本的容量等于（ ） A ．96 B ．120 C ．180 D ．240
10．若三个球的半径的比是1：2：3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的（ ）倍．
A ．
B ．
C ．
D ． 11．一条光线从点(2,3)-射出，经x 轴反射后与圆22(3)(2)1x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．65或56
B ．54或45
C ．43或34
D ．32或23
12．若(0,),(,0)22π
παβ∈∈- ，13cos ,cos +43423
ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ） A ．33 B ．33- C ．69- D ．539
二、填空题：本题共4小题
13．．已知(1,3),,a OA a b OB a b =-=-=+，若AOB ∆是以点O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ∆的面积为 ．
14．无限循环小数0.036化成最简分数为________
15．已知圆C 的方程为22220x y ax y a ++++=，一定点为A(1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________
16．已知tan 3α=，则226cos 3sin cos 3sin cos 2sin αααααα
-=-_________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，且平面ABCD ⊥平面BCE ，FD ⊥平面ABCD ，
3FD =．
(I)求证：//EF 平面ABCD ；
(II)求证：平面ACF ⊥平面BDF ．
18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3B π
=，13b =，3c =，D 为BC 的中点.
（1）求AD 的长；
（2）求sin ADB ∠的值.
19．（6分）某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.
()1求图中m 的值；
()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；
()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数. 分数段 [)90,100
[)100,110 [)110,120 :x y
6:5 1:2 1:1 20．（6分）已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)
(1)若向量AC ∥BD ，求实数m 的值；
(2)若m ＝3，求向量AC 与BD 的夹角．
21．（6分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2sin cos 3A bcosC c B a += （1）求A ；
（2）若A 为锐角，5a =，ABC 53，求ABC 的周长． 22．（8分）如图，在ABC ∆中，22
AC BC AB ==，四边形ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G ，F 分别是,EC BD 的中点.
（1）求证：GF 平面ABC ;
（2）求证：平面EBC ⊥平面ACD ;
（3）求几何体ADEBC 的体积V .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
根据等比数列前n 项和为n S 带入即可。

【详解】
当1q =时1841
824S a S a ==，1q =不成立。

当1q ≠时 ()()8184484441115211133
11a q S q q q q S q a q q
---===+=⇒=---， 则()()()()()241121224342412121212111113511112711a q q q S q q q S q q a q q
--+--====+=----,选择C 【点睛】
本题主要考查了等比数列的前n 项和n S ，()
11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，属于基础题。

2．A
【解析】
分析：根据平移变换可得243y sin x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
，根据放缩变换可得函数()g x 的解析式，结合对称轴方程求解即可. 详解：将函数()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到243y sin x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭， 再将所得图象向左平移
12π个单位得到函数()g x 的图象， 即()224241233g x sin x sin x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦， 由24,32
x k k Z ππ+=+π∈， 得1,424
x k k Z π=π-∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π
=-，故选A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数sin()y A x ωϕ=+可求得函数的周期为2π
ω；由2x k π
ωϕπ+=+可得对称轴方程；由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.
3．C
【解析】
【分析】
根据空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，A 中，若a ∥α，b ∥α，则a 与b 可能平行、相交或异面，故A 错误；
B 中，若b a ⊥，c a ⊥，则b 与c 可能平行，也可能垂直，比如墙角，故B 错误；
C 中，若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥,正确；
D 中，若a α⊂，b β⊂，α∥
β，则a 与b 可能平行或异面，故D 错误；
故选C ．
本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记空间中点、线、面的位置关系，以及线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．
4．A
【解析】
【分析】
【详解】
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：首先作出可行域，再作出直线l0：y=-3x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=-3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=-3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．
解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=-3x，将l0平移至过点A（3，-2）处时，函数z=3x+y有最大值1．
故选A．
点评：本题考查线性规划问题，考查数形结合思想．解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．
5．B
【解析】
【分析】
不难发现0,1,01,
a b c
<<从而可得.
b c a
>>
【详解】
34
23
3
4
33333
log0,,
22244
a b c b c a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===∴>
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,故选B.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．
6．D
【分析】
【详解】 由题意得111111()()()2226a b c a b c b c a a b c
+++++=+++++≥++=， 当且仅当1a b c ===时，等号成立， 所以111,,a b c b c a +
++至少有一个不小于2，故选D. 7．C
【解析】
【分析】
根据递推公式，逐步计算，即可求出结果.
【详解】
因为数列{}n a 满足11a =，()
*1(1)2n n n a a n +=-⨯∈N ，
所以121(1)22a a =-⨯=-，23(1)2(2)4a =-⨯⨯-=-，34(1)2(4)8a =-⨯⨯-=. 故选C
【点睛】
本题主要考查由递推公式求数列中的项，逐步代入即可，属于基础题型.
8．D
【解析】
【分析】 由函数的最小正周期为2T ωπ=
，逐个选项运算即可得解. 【详解】
解:对于选项A, sin y x =的最小正周期为2π,
对于选项B, cos y x =的最小正周期为2π,
对于选项C, 1sin 2
y x =的最小正周期为4π, 对于选项D, cos 2y x =的最小正周期为π,
故选D.
【点睛】
本题考查了三角函数的最小正周期，属基础题.
9．B
【解析】
根据分层抽样的性质,直接列式求解即可.
【详解】 因为3个县人口数之比为2:3:5,而人口最多的一个县抽出60人,
则根据分层抽样的性质,有
605120235
n n =⇒=++, 故选:B.
【点睛】
本题考查分层抽样,解题关键是明确分层抽样是按比例进行抽样.
10．D
【解析】
【分析】
设最小球的半径为，根据比例关系即可得到另外两个球的半径，再利用球的体积公式表示出三个球的体积，即可得到结论。

【详解】
设最小球的半径为，由三个球的半径的比是1：2：3，可得另外两个球的半径分别为
，； 最小球的体积，中球的体积，最大球的体积； ，即最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍；
故答案选D
【点睛】
本题主要考查球体积的计算公式，属于基础题。

11．C
【解析】
【分析】
由题意可知：点(2,3)--在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：3(2)y k x +=+，利用直线与圆的相切的性质即可得出．
【详解】
由题意可知：点(2,3)--在反射光线上．
设反射光线所在的直线方程为：3(2)y k x +=+，即230kx y k -+-=．
211k =+，化为：21225120k k -+=，
解得34k =或43
． 故选C ．
【点睛】
本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．D
【解析】
【分析】
由于02＜＜π
α，02πβ-＜＜，143cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，42cos πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，利用“平方关系”可得4sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，42sin πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，变形24
42cos cos βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可得出． 【详解】 ∵02＜＜π
α，1043
cos πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，
∴442π
π
π
α+＜＜，∴43sin πα⎛
⎫+== ⎪⎝⎭
∵02π
β-＜＜，∴0424π
β
π+＜＜，∵42cos πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
∴42sin πβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ ∴24
42442442cos cos cos cos sin sin βππβππβππβαααα⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
13333
=⨯+⨯
=． 故选D.
【点睛】
本题考查了两角和的余弦公式、三角函数同角基本关系式、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题
13．4
【解析】 由(1,3a =-得2a =；
由AOB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则OA OB ⊥，2OA OB ==.
由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=.又,OA a b OB a b =-=+，则()()0a b a b -⋅+=，所以224a b == 又OA OB =，则22||OA OB =，则()()22a b a b -=+，所以222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅ 所以0a b ⋅=； 则2222OA OB a b ==+=
则AOB ∆的面积为11422S OA OB =⋅=⋅= 14．255
【解析】
【分析】
利用无穷等比数列求和的方法即可.
【详解】
0.0360.0360.0360.0360.000360.0000036...10.2010.9955=+++=
==-. 故答案为：
255 【点睛】 本题主要考查了无穷等比数列的求和问题,属于基础题型.
15．(33
- 【解析】
【分析】
使过A 点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.
【详解】
已知圆C 的方程为222
20x y ax y a ++++=，
222240440D E F a a a +->⇒+->⇒<< 要使过A 点作圆的切线有两条 即点A(1,2)在圆C 外：22144090a a a a ++++>⇒++>恒成立.
综上所述：33
a -<<
故答案为：⎛ ⎝⎭
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.
16．13
. 【解析】
【分析】
在分式中分子分母同时除以2cos α，将代数式转化为正切来进行计算.
【详解】 由题意得，原式222222226cos 3sin cos 63tan 6331cos cos 3sin cos 2sin 3tan 2tan 33233cos cos ααααααααααααα
---⨯===-⨯-⨯-=， 故答案为13
. 【点睛】
本题考查弦的分式齐次式的计算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要应用于以下两种题型：
（1）弦的n 次分式齐次式：当分式是关于角α的n 次分式齐次式，在分子分母中同时除以cos n α，可以将分式化为切的分式来求解；
（2）弦的二次整式：当代数式是关于角α弦的二次整式时，先除以22cos sin αα+，将代数式转化为关于角α弦的二次分式齐次式，然后在分式分子分母中同时除以2cos α，可实现弦化切.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.
【解析】
(1)添加辅助线，通过证明线线平行来证明线面平行.
(2) 通过证明线面垂直AC ⊥面FBD ，来证明面ACF ⊥面BDF .
（Ⅰ）证明：如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ，
∴EH =
∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，
平面ABCD ⋂平面BCE BC =，
∴EH ⊥平面ABCD ，
又∵FD ⊥平面ABCD ，3FD =
， ∴//FD EH ，FD EH =.
∴四边形EHDF 为平行四边形．
∴//EF HD .
∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ，
∴//EF 平面ABCD ．
（Ⅱ）证明：FD ⊥面ABCD ，FD AC ∴⊥，又四边形ABCD 是菱形，
AC BD ∴⊥，又FD BD D ⋂=，AC ∴⊥面FBD ，
又AC ⊂面ACF ，从而面ACF ⊥面BDF ．
点晴：本题考查的是空间线面的平行和垂直关系.第一问要考查的是线面平行，通过先证明//FD EH ，FD EH =得四边形EHDF 为平行四边形．证得//EF HD ，可得//EF 平面ABCD ，这里对于线面平行的条件EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD 要写全;第二问中通过先证明AC ⊥面FBD ，再结合A C ⊂面ACF ，从而面ACF ⊥面BDF ．
18． (1) 7AD =
(2) 321sin ADB ∠= 【解析】
【分析】
（1）在ABC ABD 、中分别利用余弦定理完成求解；（2）在ADB △中利用正弦定理求解sin ADB ∠的值.
【详解】
解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos b c a c a B =+-⋅，
∴21139232
a a =+-⨯⨯⨯，解得4a = ∵D 为BC 的中点，∴2BD =．
在ABD ∆中，由余弦定理得
2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠
19423272=+-⨯⨯⨯
=， ∴
AD =
（2）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB ABD ADB
=∠∠，
∴sin sin 14
AB ABD ADB AD ∠∠=
=． 【点睛】 本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.
19．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人
【解析】
【分析】
(1)根据面积之和为1列等式解得.
(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
(3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.
【详解】
解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=,
解得0.005m =.
()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数,
即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图,属中档题.
20． (1)1；（2）34π.
【解析】
【分析】
(1) 先求出AC ，BD 的坐标，再根据两向量平行坐标交叉相乘相减等于零求解；(2) 先求出AC ，BD 的
坐标和模，再求AC ，BD 的数量积，即可求向量AC 与BD 的夹角．
【详解】
(1)因为A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)，
所以(1,0)AC =，(2,1)BD m =--，
若向量AC ∥BD ，则10m -=，即1m =，
(2) 若m ＝3，则(1,0)AC =，(2,2)BD =-， 所以1AC =，22BD =，2AC BD ⋅=-，
所以cos ,2AC BD
AC BD AC BD ⋅<>==-⋅， 故向量AC 与BD 的夹角为
34
π . 【点睛】 本题考查向量平行与夹角的计算.向量平行根据向量共线定理，求向量的夹角要选择合适的公式.
21．（1）3π或23
π； （2）5. 【解析】
【分析】
(1)由正弦定理将边化为对应角的正弦值，即可求出结果；
(2)由余弦定理和三角形的面积公式联立，即可求出结果.
【详解】
（I ） ()2sin cos cos A b C c B +=
∴由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B A +，
∴ ()sin B C +=sin 2A =又()0,A π∈，∴ 3A π=或23A π=． （II ）3A π
=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
即2225b c bc =+- ∴ ()2253b c bc =+-，
而ABC ∴ 1sin 2bc A = ∴ 10bc =． ()2
253055b c +=+= ∴ b c += ∴ ABC 的周长为
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题型.。