专题04 因式分解与分式方程(考点串讲)-八年级数学下学期期末考点大串讲(北师大版)

【典例 3】若把分式 中的 x 和 y 都变为原来的 3 倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的 3 倍
B．变为原来的
C．变为原来的
D．不变
【解答】解：用 3x 和 3y 代替式子中的 x 和 y 得：
，
则分式的值变为原来的 ．故选：B．
易错混淆
【典例 4】解方程：
（1）
；
（2）
．
【解答】解：（1）
解得 x＝90 经检验，x＝90 符合题意 ∴甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元． ②设购买甲种物品 y 件，则乙种物品购进（55﹣y）件 由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050 解得 5≤y≤10 ∴共有 6 种选购方案．
，
原分式方程可化为： +2＝ ，﹣3+2（x﹣4）＝1﹣x，﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
2x+x＝1+8+3，3x＝12，x＝4，
检验：把 x＝4 代入（x﹣4）＝0，∴原分式方程无解；
（2）
，
原分式方程可化为：
﹣1＝ ，1+4x﹣（x﹣2）＝﹣3，1+4x﹣x+2＝﹣3，
4x＝﹣2 代入（x﹣2）≠0，∴原分式方程解为 x＝﹣2．
题型剖析
【典例 5】（2023 春•句容市期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智
能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的 20 倍，经过测试，由 5 台机器分拣 6000 件快件的
时间，比 20 个人工分拣同样数量的快件节省 4 小时．
押题预测
3．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，
我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ，
这样的分式就
是假分式； ，
（1）求人工每人每小时分拣多少件？
（2）若该快递公司每天需要分拣 10 万件快件，机器每天工作时间为 16 小时，则至少需要安排台这样的分拣机．
【解答】解：（1）设人工每人每小时分拣 x 件，则每台机器每小时分拣 20x 件，
根据题意得，
，30000﹣6000＝400x，x＝60，
检验：当 x＝60 时，100x≠0，∴x＝60 是方程的解，且符合题意，
由题意得：
，
解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0， ∴w 随 m 的增大而减小， ∴当 m＝12 时，w 最小，此时 w＝﹣0.5×12+60＝54， ∴购买 A 型机器 12 台，B 型机器 18 台时，购买总金额最低是 54 万元．
易错混淆
【典例 1】若 4x2﹣（k﹣1）x+9 能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为
针对训练
1．（2023 秋•南沙区期末）已知多项式 x2+ax+16 可以用完全平方公式进行因式分解，则 a 的值为（ ）
A．4
B．8
C．﹣8
D．±8
【解答】解：∵多项式 x2+ax+16 可以用完全平方公式进行因式分解，
∴a＝±2×1×4＝±8．故选：D．
2.（2022 秋•上海期末）如果分式
的值为零，那么 x 等于（ ）
＝1 的解是正数，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 C．a＜﹣1 且 a≠﹣2
B．a＜﹣1 D．a＞﹣1 且 a≠0
【解答】解：解方程
＝1，得 x＝﹣a﹣1，
∵关于 x 的方程
＝1 的解是正数，
∴x＞0， 即﹣a﹣1＞0， 当 x﹣1＝0 时，x＝1，代入得：a＝﹣2．此为增根， ∴a≠﹣2， 解得：a＜﹣1． 则 a 的取值范围是：a＜﹣1 且 a≠﹣2． 故选：C．
例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）； ②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
根据材料，把下列式子进行因式分解．
（1）x2﹣6x+8；
（2）x2﹣2x﹣15；
（3）（x﹣4）（x+7）+18．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）； （2）x2﹣2x﹣15＝（x+3）（x﹣5）； （3）（x﹣4）（x+7）+18＝x2+3x﹣28+18＝x2+3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．
题型剖析
【典例 3】（2023•永修县校级开学）先化简 代入求值．
【解答】解：
，再从﹣1，0，1，2 中选择一个适当的数作为 a 的值
＝[
]×
＝
∵a2﹣2a≠0，解得：a≠0，a≠2，∴当 a＝1 时，
原式＝
＝2；当 a＝﹣1 时，原式＝
＝
＝
，
＝﹣1．
题型剖析
【典例 4】（2023•枣庄模拟）若关于 x 的方程
八年级北师大版数学下册期末考点大串讲 串讲04 因式分解与分式方程
目 录
01 考点透视
四大常考点
02 题型剖析
五大题型典例剖析+举一反三
03 易错易混
四大易错易混经典例题+针对训练
04
押题预测
4道期末真题对应考点练
考点透视
题型剖析
【典例 1】（2023•肃州区校级开学）分解因式：
（1）5x2﹣5y2；
．
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9 是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13 或 k＝﹣11，故选：13 或﹣11．
【典例 2】如果分式
的值为 0，那么 x 的值为（ ）
A．﹣1
B．1
【解答】解：根据题意，得
C．﹣1 或 1
D．1 或 0
|x|﹣1＝0 且 x+1≠0， 解得，x＝1． 故选：B．
这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
，
；
解决下列问题：
（1）分式 是 分式（填“真”或“假”）；
（2）将假分式
化为带分式；
（3）如果 x 为整数，分式
的值为整数，求所有符合条件的 x 的值．
押题预测
【解答】解：（1）分式 是真分式；
故答案为：真；
答：人工每人每小时分拣 60 件．
（2）设需要安排 y 台分拣机，则 16×20×60y≥100000，19200y≥100000，
，
∵y 为正整数，∴y 的最小值为 6， 答：至少需要安排 6 台这样的分拣机．
举一反三
1．（2024•临潼区一模）因式分解：3a2﹣12＝
．
【解答】解：3a2﹣12＝3（a2﹣4）＝3（a+2）（a﹣2），
（2）
；
（3）原式＝
，
∵分式的值为整数， ∴x+2＝±1 或±13， ∴x＝﹣1 或﹣3 或 11 或﹣15．
押题预测
4．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独 购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同． ①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ ②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算得出共有几种选购方案？ 【解答】解：①设乙种物品单价为 x 元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得： ＝
故答案为：3（a+2）（a﹣2）． 2.（2023 秋•高青县期末）代数式 x2+17x+60 分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣5）（2x﹣12）
B．（x+5）（x+12）
C．（x+2）（x﹣30）
D．（x+6）（x+10）
【解答】解：x2+17x+60＝（x+5）（x+12）．故选：B．
3．（2023 秋•白云区期末）化简
的结果是（ ）
A．
B．a
【解答】解：原式＝
C．
D．
＝a．故选：B．
举一反三
4．（2024•西安校级模拟）先化简，再求值：（
﹣
【解答】解：原式＝[
﹣
]•
＝[ ﹣ ]• ＝•
＝，
当 x＝3 时，原式＝ ＝2．
）÷ ，其中 x＝3．
举一反三
5.（2023•通辽）某搬运公司计划购买 A，B 两种型号的机器搬运货物，每台 A 型机器比每台 B 型机器每天少搬运 10 吨货物，
且每台 A 型机器搬运 450 吨货物与每台 B 型机器搬运 500 吨货物所需天数相同．
（1）求每台 A 型机器，B 型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台 A 型机器售价 1.5 万元，每台 B 型机器售价 2 万元，该公司计划采购两种型号机器共 30 台，满足每天搬运货物不
低于 2880 吨，购买金额不超过 55 万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【解答】解：（1）设每台 A 型机器每天搬运货物 x 吨，则每台 B 型机器每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得：
，解得：x＝90，
当 x＝90 时，x（x+10）≠0，∴x＝90 是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100， 答：每台 A 型机器每天搬运货物 90 吨，每台 B 型机器每天搬运货物 100 吨； （2）设购买 A 型机器 m 台，购买总金额为 w 万元，
经检验，x＝ 是分式方程的解，
故原方程的解为 x＝ ；
（2）原方程去分母得：3x＝2x﹣1+3x+3， 移项，合并同类项得：﹣2x＝2， 系数化为 1 得：x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1 是分式方程的增根， 故原方程无解．
押题预测
1.（2023 春•娄星区校级期中）因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）8a2﹣16ab+8b2．
A．2 【解答】解：∵
B．﹣2 的值为零，
C．2 或﹣2
D．0
∴|x|﹣2＝0 且 x﹣2≠0，解得 x＝﹣2．故选：B．
3．（2024 春•雁塔区校级期中）如果把分式
中的 x 和 y 都扩大为原来的 3 倍，那么分式的值（ ）
A．不变 C．扩大为原来的 3 倍
B．缩小为原来的 3 倍 D．扩大为原来的 9 倍
【解答】解：根据题意得：
＝
＝
，即分式的值扩大为原来的 3 倍，故选：C．
针对训练
4.（2022 秋•汉阳区校级期末）解分式方程：
（1）
； （2）
+1．
【解答】解：（1）原方程去分母得：（x+1）2＝x2﹣1+5， 整理得：x2+2x+1＝x2﹣1+5， 移项，合并同类项得：2x＝3， 系数化为 1 得：x＝ ，
（2）2mx2+4mxy+2my2．
【解答】解：（1）5x2﹣5y2＝5（x2﹣y2）＝5（x﹣y）（x+y）；
（2）2mx2+4mxy+2my2＝2m（x2+2xy+y2）＝2m（x+y）2．
【典例 2】（2023 春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如 x2+px+q 的二次三项式因式分解时，如果能满足 q＝mn 且 p＝m+n，则可以把 x2+px+q 因式分解成（x+m）（x+n）．
【解答】解：（1）xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y）；
（2）原式＝8（a2﹣2ab+b2）＝8（a﹣b）2．
2．已知关于 x 的分式方程
＝1 的解是非负数，则 m 的取值范围是
．
【解答】解：去分母得，m﹣3＝x﹣1，解得 x＝m﹣2， 由题意得，m﹣2≥0，解得，m≥2， x＝1 是分式方程的增根，所有当 x＝1 时，方程无解，即 m≠3， 所以 m 的取值范围是 m≥2 且 m≠3．故答案为：m≥2 且 m≠3．