南京市八年级上学期期末数学试题

南京市八年级上学期期末数学试题
一、选择题
1．如图，直线(0)
y x b b
=+>分别交x轴、y轴于点A、B，直线(0)
y kx k
=<与直线
(0)
y x b b
=+>交于点C，点C在第二象限，过A、B两点分别作AD OC
⊥于D，BE OC
⊥于E，且8
BE BO
+=，4
=
AD，则ED的长为（）
A．2 B．
3
2
C．
5
2
D．1
2．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图像分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法不正确的是（）
A．甲的速度保持不变B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人不相遇D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面3．下列各式从左到右变形正确的是（）
A．
0.22
0.22
a b a b
a b a b
++
=
++
B．
2
3184
3
2143
32
x y x y
x y
x y
++
=
-
-
C．
n n a
m m a
-
=
-
D．
22
1
a b
a b a b
+
=
++
4．下列图案中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．如图，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（）
A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．只有乙
6．如图，正方形OACB的边长是2，反比例函数
k
y
x
=图像经过点C，则k的值是（）
A．2B．2-C．4D．4-7．4 的算术平方根是()
A．16 B．2 C．-2 D．2±8．下列各式中，属于分式的是（）
A．x﹣1 B．2
m
C．
3
b
D．
3
4
（x+y）
9．9的平方根是( )
A．3B．81C．3±D．81
±
10．下列各组数是勾股数的是()
A．6，7，8 B．132
C．5，4，3 D．0.3，0.4，0.5
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上：OA＝3，OC＝4，D为OC边的中点，E是OA边上的一个动点，当△BDE的周长最小时，E点坐标为_____．
12．若关于x 的分式方程122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 13．如图，直线4
83
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点A 和B ，M 是OB 上的一点，若将ABM ∆沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，则直线AM 的解析式为_____．
14．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是___．
15．一次函数y =kx +b 的图像如图所示，则关于x 的不等式kx -m +b >0的解集是____.
16． 在实数范围内分解因式35x x -=___________. 17．函数y x 3=
-中，自变量x 的取值范围是 .
18．已知一次函数y＝mx－3的图像与x轴的交点坐标为（x0，0），且2≤x0≤3，则m的取值范围是________．
19．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点坐标分别是A（-4，-1），B（1,1），将线段AB平移后得到线段A B''（点A的对应点为A'），若点A'的坐标为（-2,2）则点B'的坐标为________________
20．点P(3，-4)到x 轴的距离是_____________．
三、解答题
21．已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为()
6,0、点B的坐标为(0,8)，点C在y 轴上，作直线AC.点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB'.
（1）写出一点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；
（2）点D在线段AC上，连接DB、DB'、BB'，当DBB
∆'是等腰直角三角形时，求点D坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时ADQ
∆是等腰三角形.
22．某学校是乒乓球体育传统项目校，为进一步推动该项目的发展.学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球若干个，已知3个甲种乒乓球和5个乙种乒乓球共需50元，2个甲种乒乓球和3个乙种乒乓球共需31元.
（1）求1个甲种乒乓球和1个乙种乒乓球的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的乒乓球共200个，要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
23．如图，一次函数y＝﹣x+7的图象与正比例函数y＝3
4
x的图象交于点A，点P（t，0）
是x正半轴上的一个动点．
（1）点A的坐标为（，）；
（2）如图1，连接PA，若△AOP是等腰三角形，求点P的坐标：
（3）如图2，过点P作x轴的垂线，分别交y＝3
4
x和y＝﹣x+7的图象于点B，C．是否存
在正实数，使得BC ＝
3
2
OA ，若存在求出t 的值；若不存在，请说明理由．
24．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C - （1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C （2）点1A 的坐标为 .
（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线L ；②P 为直线上L 上一动点，则PA PC +的最小值为 .
25．甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，如图是甲、乙两队挖掘隧道长度
y (米)与挖掘时间x (时)之间关系的部分图象.请解答下列问题:
()1在前2小时的挖掘中，甲队的挖掘速度为 米/小时，乙队的挖掘速度为 米/小时. ()2①当26x <<时，求出y 乙与x 之间的函数关系式;
②开挖几小时后，两工程队挖掘隧道长度相差5米?
四、压轴题
26．已知ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点M是AC的中点，延长BM至点D，使DM＝BM，连接AD．
（1）如图①，求证：DAM≌BCM；
（2）已知点N是BC的中点，连接AN．
①如图②，求证：ACN≌BCM；
②如图③，延长NA至点E，使AE＝NA，连接，求证：BD⊥DE．
27．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．
（1）如图1，若点C与点O重合，A（－2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；
（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证∠NEF＝2∠AOG．
28．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？
29．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以
CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ． （1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
30．在ABC 中，AB AC =，D 是直线AB 上一点，E 在直线BC 上，且DE DC =． （1）如图1，当D 在AB 上，E 在CB 延长线上时，求证：EDB ACD ∠=∠； （2）如图2，当ABC 为等边三角形时，D 是BA 的延长线上一点，E 在BC 上时，作
//EF AC ，求证：BE AD =；
（3）在（2）的条件下，ABC ∠的平分线BF 交CD 于点F ，连AF ，过A 点作AH CD ⊥于点H ，当30EDC ∠=︒，6CF =时，求DH 的长度．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
图中直线y=x+b 与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，可以根据两点的坐标得出OA=OB ，由此可证明△AOD ≌△OBE ，证出OC=AD ，BE=OD ，在Rt △OBE 中，运用勾股定理可求出BE 的长，再根据线段的差可求出DE 的长. 【详解】
直线y=x+b(b ＞0)与x 轴的交点坐标A 为（-b ，0）与y 轴的交点坐标B 为（0，-b ）， 所以，OA=OB ， 又∵AD ⊥OC ，BE ⊥OC ， ∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠DOA+∠DAO=90°，∠DOA+∠DOB=90°， ∴∠DAO=∠DOB ， 在△DAO 和△BOE 中，
DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAO ≌EOB ， ∴OD=BE.AD=OE ， ∵AD=4， ∴OE=4， ∵BE+BO=8， ∴B0=8-BE ，
在Rt △OBE 中，222BO BE OE =+， ∴2
2
2
(8)BE BE OE -=+ 解得，BE=3， ∴OD=3， ∴ED=OE-OD=4-3=1. 【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
A 、由于线段OA 表示甲所跑的路程S （米）与所用时间t （秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B 、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C 、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D 、根据图象知道起跑后50秒时OB 在OA 的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面． 【详解】
解：A 、∵线段OA 表示甲所跑的路程S （米）与所用时间t （秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A ；
B 、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B ；
C 、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C ；
D 、∵起跑后50秒时OB 在OA 的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】
A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得
210102a b
a b
++，即A 不正确，
B . 26(3)
184321436()32x y x y x y x y ⨯+
+=-⨯-，故选项B 正确，
C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
22
a b
a b
++不能化简，故选项D 不正确． 故选：B ． 【点睛】
此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.不能在分子和分母中加减同一个整式，这是错误的.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据轴对称图形的概念求解． 【详解】
解：A 、是轴对称图形，故此选项不合题意； B 、是轴对称图形，故此选项不合题意； C 、是轴对称图形，故此选项不合题意； D 、不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，折叠后两边会重合．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据三角形全等的判定定理SSS 、SAS 、 AAS 、ASA 、HL 逐个进行分析即可． 【详解】
解：甲三角形有两条边及夹角与△ABC 对应相等，根据SAS 可以判断甲三角形与△ABC 全等；
乙三角形只有一条边及对角与△ABC 对应相等，不满足全等判定条件，故乙三角形与△ABC 不能判定全等；
丙三角形有两个角及夹边与△ABC 对应相等，根据ASA 可以判定丙三角形与△ABC 全等； 所以与△ABC 全等的有甲和丙， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正方形的性质，即可求出点C 的坐标，然后代入反比例函数解析式里即可． 【详解】
解：∵正方形OACB 的边长是2， ∴点C 的坐标为（2,2） 将点C 的坐标代入k
y x
=
中，得 22
k =
解得：4k = 故选C ． 【点睛】
此题考查的是求反比例函数的比例系数，掌握用待定系数法求反比例函数的比例系数是解
决此题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义直接求解即可.
【详解】
解：42=，
故选B.
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用分式的定义判断即可．分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式．
【详解】 解：2m
是分式， 故选：B ．
【点睛】
此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平方根的定义进行求解即可.
【详解】
解：9的平方根是3±.
故选C.
【点睛】
本题考查平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证222+=a b c 即可．
【详解】
解：A 、222768+≠，故此选项错误；
B
C 、222345+=，故此选项正确；
D 、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
二、填空题
11．(1,0)
【解析】
【分析】
本题是典型的“将军饮马”问题，只需作D 关于x 轴的对称点D′，连接D′B 交x 轴于点E ，如图，则此时△BDE 的周长最小，易得点B 和D′坐标，故可利用待定系数法求出直线BD
解析：(1,0)
【解析】
【分析】
本题是典型的“将军饮马”问题，只需作D 关于x 轴的对称点D ′，连接D ′B 交x 轴于点E ，如图，则此时△BDE 的周长最小，易得点B 和D ′坐标，故可利用待定系数法求出直线BD '的解析式，然后求直线BD '与x 轴的交点即得答案．
【详解】
解：如图，作D 关于x 轴的对称点D ′，连接D ′B 交x 轴于点E ，连接DE ，则DE = D ′E ，此时△BDE 的周长最小，
∵D 为CO 的中点，∴CD ＝OD ＝2，
∵D 和D ′关于x 轴对称，∴D ′（0，﹣2），
由题意知：点B （3，4），∴设直线BD '的解析式为y ＝kx +b ，
把B （3，4），D ′（0，﹣2）代入解析式，得：342k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，22k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线BD '的解析式为y ＝2x ﹣2，
当y ＝0时，x ＝1，故E 点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求直线的解析式和两线段之和最小问题，属于常考题型，熟练掌握求解的方法是解题关键．
12．4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】
方程变形得：，
去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-
解析：4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】 方程变形得：+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-2， ∵方程122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增
根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．【解析】
【分析】
由题意，可求得点A 与B 的坐标，由勾股定理，可求得AB 的值，又由折叠的性质，可求得与的长，BM=，然后设MO=x ，由在Rt△中，，即可得方程，继而求得M 的坐标，然后利用待定系数法 解析：132
y x =-+ 【解析】
【分析】
由题意，可求得点A 与B 的坐标，由勾股定理，可求得AB 的值，又由折叠的性质，可求得'AB 与'OB 的长，BM='B M ，然后设MO=x ，由在Rt △'OMB 中，
222OM OB B M ''+=，即可得方程，继而求得M 的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案.
【详解】
令y=0得：x=6，令x=0得y=8，
∴点A 的坐标为：(6，0)，点B 坐标为：(0，8)，
∵∠AOB=90°，
∴
10=,
由折叠的性质，得：AB='AB =10，
∴OB '=AB '-OA=10-6=4,
设MO=x ，则MB=MB '=8-x ，
在Rt △OMB '中，222OM OB B M '+=，
即222
4(8)x x +=-，
解得：x=3，
∴M(0，3)，
设直线AM 的解析式为y=km+b ，代入A(6，0)，M(0，3)得： 603
k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴直线AM 的解析式为：132y x =-
+ 【点睛】
本题考查了折叠的性质，待定系数法，勾股定理，解决本题的关键正确理解题意，熟练掌握折叠的性质，能够由折叠得到相等的角和边，能够利用勾股定理求出直角三角形中未知
的边.
14．10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A 、B 的面积和为S1，C 、D 的面积和为S2，S1+S2=S3，
∵正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E 的面
解析：10
【解析】
试题分析：如图，根据勾股定理的几何意义，可得A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2，S 1+S 2=S 3，
∵正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2，
∵最大的正方形E 的面积S 3=S 1+S 2=2+5+1+2=10．
15．【解析】
【分析】
先根据一次函数y=kx+b 的图象经过点（，m ）可知，由图像可知，当时，，即可得出结论．
【详解】
解：有图像可知，一次函数y=kx+b 经过点（，m ），
则当时，，
由图像可知，
解析：3x <-
【解析】
【分析】
先根据一次函数y=kx+b 的图象经过点（3-，m ）可知，由图像可知，当x 3<-时，kx b m +>，即可得出结论．
【详解】
解：有图像可知，一次函数y=kx+b 经过点（3-，m ），
则当x 3=-时，kx b m +=，
由图像可知，
当x 3<-时，kx b m +>，
∴0kx m b -+>的解集是：3x <-；
故答案为：3x <-.
【点睛】
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
16．【解析】
提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，
即原式=.故答案为
解析：(x x x -
【解析】
提取公因式后利用平方差公式分解因式即可，
即原式=2(5)(x x x x x -=-.故答案为(.x x x
17．．
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】
依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】
本题考查的知识点
解析：x 3≥．
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】
依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
18．1≤m≤
【解析】
【分析】
根据题意求得x0，结合已知2≤x0≤3，即可求得m 的取值范围.
【详解】
当时，，
∴，
当时，，，
当时，，，
m 的取值范围为：1≤m≤
故答案为：1≤m≤
【点睛】
解析：1≤m ≤
32 【解析】
【分析】
根据题意求得x 0，结合已知2≤x 0≤3，即可求得m 的取值范围.
【详解】
当0y =时，3x m =
， ∴03x m
=， 当03x =时，33m
=，1m =， 当02x =时，32m =，32
m =， m 的取值范围为：1≤m ≤
32 故答案为：1≤m ≤
32
【点睛】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及不等式的求法，根据与x 轴的交点横坐标的范围求得m 的取值范围是解题的关键.
19．（3,4）
【解析】
分析：首先根据点A 和点A′的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点B′的坐标．
详解：∵A 的坐标为(－4，－1)，A′的坐标为(－2，2)， ∴平移法则为：先向
解析：（3,4）
【解析】
分析：首先根据点A 和点A ′的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点B ′的坐标．
详解：∵A 的坐标为(－4，－1)，A ′的坐标为(－2，2)， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴点B ′的坐标为(3，4)．
点睛：本题主要考查的是线段的平移法则，属于基础题型．线段的平移法则就是点的平移法则，属于基础题型．
20．4
【解析】
试题解析：根据点与坐标系的关系知，点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，
故点P （3，﹣4）到x 轴的距离是4.
解析：4
【解析】
试题解析：根据点与坐标系的关系知，点到x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，
故点P （3，﹣4）到x 轴的距离是4.
三、解答题
21．（1）(4,0)B '-，132
y x =-+（2）点D 坐标为(2,2)，（3）点P 运动时间为1秒
秒或3.75秒. 【解析】
【分析】
（1）由勾股定理求出AB=10，即可求出A B '=10，从而可求出(4,0)B '-，设C （0，m ），
在直角三角形COB '中，运用勾股定理可求出m 的值，从而确定点C 的坐标，再利用待定系数法求出AC 的解析式即可；
（2）由AC 垂直平分BB '可证90BDB ∠'=°，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，DF y ⊥轴
于点F ，证明FDB EDB ∆∆'≌可得DE=DF ，设D （a ，a ）代入132
y x =-+求解即可； （3）分三种情况：①当DQ DA =时，②当AQ AD =时，③当QD QA =时，分类讨论即可得解：
【详解】
（1）(6,0),(0,8)A B ，
6,8OA OB ∴==，
90AOB ︒∠=，
2
22OA OB AB ∴+=，
22268AB ∴+=，
10AB ∴=，
点B ′、B 关于直线AC 的对称，
AC ∴垂直平分BB '，
,10CB CB AB AB ''∴===，
(4,0)B '∴-，
设点C 坐标为(0,)m ，则OC m =，
8CB CB m '∴==-，
在Rt COB ∆'中，COB ∠'=90°，
222OC OB CB ''∴+=，
2224(8),m m ∴+=-
3m ∴=，
∴点C 坐标为(0,3).
设直线AC 对应的函数表达式为(0)y kx b k =+≠， 把(6,0),(0,3)A C 代入，
得603k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AC 对应的函数关系是为132
y x =-+， （2）
AC 垂直平分BB '，
DB DB ='∴，
BDB ∆'∴是等腰直角三角形，
90BDB ∠'=∴° 过点D 作DE x ⊥轴于点E ，DF y ⊥轴于点F .
90DFO DFB DEB '︒∴∠=∠=∠=，
360EDF DFB DEO EOF ︒∠=-∠-∠-∠，90EOF ︒∠=，
90EDF ︒∴∠=，
EDF BDB '∴∠=∠，
BDF EDB '∴∠=∠，
FDB EDB ∴∆∆'≌，
DF DE ∴=，
∴设点D 坐标为(,)a a ，
把点(,)D a a 代入132y x =-
+， 得0.53a a =-+
2a ∴=， ∴点D 坐标为(2,2)，
（3）同（2）可得PDF QDE ∠=∠ 又2,90DF DE PDF QDE ︒==∠=∠= PDF QDE ∴∆∆≌
PF QE ∴=
①当DQ DA =时，
DE x ⊥∵轴，
4QE AE ==∴
4PF QE ∴==
642BP BF PF ∴=-=-=
∴点P 运动时间为1秒.
②当AQ AD =时，
(6,0),(2,2)A D
20,AD ∴=
204AQ ∴=，
204PF QE ∴==
6(204)1020BP BF PF ∴=-=-=-
∴点P 运动时间为10202
-秒.
③当QD QA =时，
设QE n =，则4QD QA n ==-
在Rt DEQ ∆中，90DEQ ∠=°，
222DE EQ DQ ∴+=
2222(4), 1.5n n n ∴+=-∴=
1.5PF QE ∴==
6 1.57.5BP BF PF ∴=+=+=
∴点P 运动时间为3.75秒.
综上所述，点P 运动时间为11020-秒或3.75秒. 【点睛】
此题涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键，第三问题要注意分类讨论，不要丢解．
22．（1）1个甲种乒乓球的售价是5元，乙种售价是7元；（2）当购买甲种乒乓球150只，乙种乒乓球50只时最省钱．
【解析】
【分析】
（1）设1个甲种乒乓球的售价是x 元，1个乙种乒乓球的售价是y 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买甲种乒乓球a 只，则购买乙种乒乓球()200a -只，费用为w 元，根据题意列出费用关于a 的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．
【详解】
（1）设1个甲种乒乓球的售价是x 元，1个乙种乒乓球的售价是y 元，
35502331x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，57x y =⎧⎨=⎩
， 答：1个甲种乒乓球的售价是5元，乙种售价是7元；
（2）设购买甲种乒乓球a 只，则购买乙种乒乓球()200a -只，费用为w 元，
()5720021400w a a a =+-=-+，
∵()3200a a -，∴150a ≤，
∴当150a =时，w 取得最小值，此时1100w =，20050a -=，
答：当购买甲种乒乓球150只，乙种乒乓球50只时最省钱．
【点睛】
本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题/一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用一次函数的性质解决最值问题．
23．（1）（4，3）；（2）P （5，0）或（8，0）或（
258，0）；（3）t ＝587． 【解析】
【分析】
（1）解方程组即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OA
5，当OP ＝OA ＝5时，△AOP 是等腰三角形，当AP ＝OA ＝5时，△AOP 是等腰三角形，当OP ＝PA 时，△AOP 是等腰三角形，于是得到结论；
（3）由P （t ，0），得到B （t ，
34
t ），C （t ，﹣t+7），根据BC ＝32OA ，解方程即可得到结论．
【详解】 解：（1）解734y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
得43x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）；
（2）∵A （4，3），
∴OA
5，
当OP ＝OA ＝5时，△AOP 是等腰三角形，
∴P （5，0），
当AP＝OA＝5时，△AOP是等腰三角形，则OP＝8，
∴P（8，0）；
当OP＝PA时，△AOP是等腰三角形，
则点P在OA的垂直平分线上，
如图1，设OA的垂直平分线交OA于H，
∴OH＝1
2
OA＝
5
2
，
过A作AG⊥x轴于G，∴△OPH∽△OAG，
∴OH OP OG OA
=，
∴5
2
45
OP =，
∴OP＝25 8
，
∴P（25
8
，0），
综上所述，P（5，0）或（8，0）或（25
8
，0）；
（3）∵P（t，0），
∴B（t，3
4
t），C（t，﹣t+7），
∵BC＝3
2 OA，
∴﹣t+7﹣3
4
t＝
3
2
×5或
3
4
t+t﹣7＝
3
2
×5，
解得：t＝﹣2
7
或t＝
58
7
，
∵t＞0，
∴t＝58
7
．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题，解方程组求点的坐标，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
24．（1）见解析（2）点1A 的坐标为(3,6)；（3）①见解析②20.
【解析】
【分析】
（1）首先确定A 、B 、C 三点关于y 轴的对称点位置A 1、B 1、C 1，再连接即可得到△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；
（2）根据平面直角坐标系写出点1A 的坐标；
（3）①根据垂直平分线的定义画图即可；
②根据轴对称的性质以及两点之间线段最短得PA PC +的最小值为BC 的长，再由勾股定理求解即可.
【详解】
（1）如图所示：
（2）点1A 的坐标为(3,6)；
（3）①如图所示：
②PA PC +的最小值为BC 的长，即2224+=
20
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及三角形的面积，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，画一个图形的轴对称图形时，就是确定一些特殊的对称点．
25．(1)10;15; (2) ①520z y x =+;②挖掘1小时或3小时或5小时后两工程队相距5米.
【解析】
【分析】
(1)分别根据速度=路程除以时间列式计算即可得解;
(2)①设,y kx b =+乙 然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可;
②求出甲队的函数解析式，然后根据-=5-=5y y y y 甲乙乙甲， 列出方程求解即可.
【详解】
()1甲队:60610÷=米/小时，
乙队: 30215÷=米/小时:
故答案为:10,15;
()2①当26x <<时，设z y kx b =+，
则230650
k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得520k b =⎧⎨
=⎩， ∴当26x <<时，520z y x =+;
②易求得:当02x ≤≤时，
15z y x =， 当26x ≤≤时，520z y x =+;当06x ≤≤时=10y x 甲，
由()10520x x =+解得4x =，
1° 当02x ≤≤， 15105x x -=，解得:1x =，
2°当24x <≤，()520105x x +-=
解得:3x =，
3°当46x <≤，()105205x x -+=，
解得: 5x =
答:挖掘1小时或3小时或5小时后，两工程队相距5米.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用， 主要利用了待定系数法求一-次函数解析式，准确识图获取必要的信息是解题的关键，也是解题的难点.
四、压轴题
26．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】
（1）由点M 是AC 中点知AM=CM ，结合∠AMD=∠CMB 和DM=BM 即可得证； （2）①由点M ，N 分别是AC ，BC 的中点及AC=BC 可得CM=CN ，结合∠C=∠C 和BC=AC 即可得证；
②取AD 中点F ，连接EF ，先证△EAF ≌△ANC 得∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°，据此知∠AFE=∠DFE=90°，再证△AFE ≌△DFE 得∠EAD=∠EDA=∠ANC ，从而由
∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM 即可得证．
【详解】
解：（1）∵点M 是AC 中点，
∴AM=CM ，
在△DAM 和△BCM 中，
∵
AM CM AMD CMB DM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAM ≌△BCM （SAS ）；
（2）①∵点M 是AC 中点，点N 是BC 中点，
∴CM=12AC ，CN=12
BC ， ∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，
∴CM=CN ，
在△BCM 和△ACN 中，
∵CM CN C C BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCM ≌△ACN （SAS ）；
②证明：取AD 中点F ，连接EF ，
则AD=2AF ，
∵△BCM ≌△ACN ，
∴AN=BM ，∠CBM=∠CAN ，
∵△DAM ≌△BCM ，
∴∠CBM=∠ADM ，AD=BC=2CN ，
∴AF=CN ，
∴∠DAC=∠C=90°，∠ADM=∠CBM=∠NAC ，
由（1）知，△DAM ≌△BCM ，
∴∠DBC=∠ADB ，
∴AD ∥BC ，
∴∠EAF=∠ANC ，
在△EAF 和△ANC 中，
AE AN EAF ANC AF NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EAF ≌△ANC （SAS ），
∴∠NAC=∠AEF ，∠C=∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DFE=90°，
∵F 为AD 中点，
∴AF=DF ，
在△AFE 和△DFE 中，
AF DF AFE DFE EF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△DFE （SAS ），
∴∠EAD=∠EDA=∠ANC ，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EAD+∠NAC=180°-∠DAM=180°-90°=90°，
∴BD ⊥DE ．
【点睛】
本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握中点的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．
27．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）作AD ⊥ x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,由点A,B 的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;
（2）作CH ∥x 轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;
（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．
【详解】
解：（1）作AD ⊥x 轴于D,BE ⊥x 轴于E,如图1,
∵A （﹣2,2）、B （4,4）,
∴AD ＝OD ＝2,BE ＝OE ＝4,DE ＝6,
∴S △ABC ＝S 梯形ABED ﹣S △AOD ﹣S △AOE ＝
12×（2+4）×6﹣12×2×2﹣12
×4×4＝8; （2）作CH // x 轴,如图2,
∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,
∴DM // x轴,
∴CH // OG // DM,
∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,
∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,
∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,
∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;
（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC＝∠ACB＝90°,
而∠HEC+∠CEF＝180°,∠NEC+∠CEF＝180°,
∴∠NEC＝∠HEC,
∴∠NEF＝180°﹣∠NEH＝180°﹣2∠HEC,
∵∠HEC＝90°﹣∠AOG,
∴∠NEF＝180°﹣2（90°﹣∠AOG）＝2∠AOG．
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键．
28．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）15
4
；（4）经过
80
3
s点P
与点Q第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；
（2）利用SAS可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；
（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm ，点D 为AB 的中点，
∴BD=5cm ．
又∵PC=BC ﹣BP ，BC=8cm ，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
29．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可
以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，。