2019高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第7课时 对数函数练习 理

第7课时 对数函数
1．(log 29)·(log 34)的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4
答案 D
解析 原式＝(log 232)·(log 322
)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3
＝4.
2．(2018·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B
解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.
3．若log a 2
3<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是( )
A ．(0，2
3
)
B ．(1，＋∞)
C ．(0，2
3)∪(1，＋∞)
D ．(2
3，1)
答案 C
解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 2
3<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是(0，
2
3
)∪(1，＋∞)． 4．函数y ＝ln 1
|2x －3|
的图像为( )
答案 A
解析 易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<3
2时，函数为增函数，所以选
A.
5.如图，函数f(x)的图像为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x|－1<x≤0}
B ．{x|－1≤x≤1}
C ．{x|－1<x≤1}
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D ．{x|－1<x≤2} 答案 C
解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的大致图像，如图所示．
其中函数f(x)与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D(1，1)，结合图像可知f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1<x ≤1}，故选C.
6．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，
2x －1，x ≥1，
则f(－2)＋f(log 212)等于( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
答案 C
解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，
所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.
7．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b
答案 C
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得
1log 2a <1log 2b <1
log 2c
<0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 8．(2014·天津，理)函数f(x)＝log 12(x 2
－4)的单调递增区间为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)
答案 D
解析 函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12t 与t ＝g(x)＝x 2
－4
复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f(x)在(－∞，
－2)上单调递增．选D.
9．(2018·南京金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧log 2x ，x>0，log 12
（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是
3
( )
A ．(－1，0)∪(0，1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0，1)
答案 C
解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪
⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.
10．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|
－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，
则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<a<b D ．c<b<a
答案 C
解析 因为f(x)＝2
|x －m|
－1为偶函数，所以m ＝0.
因为a ＝f(log 123)＝f(log 23)，b ＝f(log 25)，c ＝f(0)，log 25>log 23>0，而函数f(x)＝2|x －m|
－1在(0，＋∞)
上为增函数，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c.故选C.
11．若函数y ＝log a (x 2
－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)
答案 C
解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪
⎧12
－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.
12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2
)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，11
2]
C ．[4，13
2]
D ．[4，7]
答案 B
解析 y ＝f(x)＋f(x 2
)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2
＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2
)有意义，必有1≤x 2
≤2，得1≤x≤2，从而4≤y≤11
2
.
13．已知函数f(x)＝xln(e 2x
＋1)－x 2
＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2
答案 B
解析 f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x
＋1)－x 2
＋1＋[－xln(e －2x
＋1)－(－x)2
＋1]
＝x[ln(e 2x
＋1)－ln(e
－2x
＋1)]－2x 2
＋2
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2017年高考“最后三十天”专题透析
＝xln e 2x
＋1e －2x ＋1－2x 2
＋2
＝xlne 2x －2x 2
＋2 ＝2x 2－2x 2
＋2＝2， 所以f(a)＋f(－a)＝2，
因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.
14．(2017·课标全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z
，则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z
答案 D
解析 ∵2x ＝3y ＝5z ，∴ln2x ＝ln3y ＝ln5z
， ∴xln2＝yln3＝zln5.
∴x y ＝ln3ln2，∴2x 3y ＝2ln33ln2＝ln32
ln23＝ln9ln8>1， ∴2x>3y ，同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15．log 327－log 33＋(5－1)0
－(94)1
2＋cos 4π
3
＝________．
答案 0
解析 原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－1
2＝0.
16．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x∈________，a ∈________． 答案 (1，＋∞) (1，＋∞)
17．(1)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (2)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18．设函数f(x)＝|lgx|，
(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案 略
解析 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.
上式等价于(lga)2＞(lgb)2
，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg a b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b ＜1.
∴lg a
b
＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜
1.
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1．已知a>b>1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a
b ＋2＝________．
答案 1
解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a>b>1，∴log a b<log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2
.
∵a b
＝b a
，∴(b 2)b
＝bb 2
，∴b 2b
＝bb 2
，∴2b ＝b 2
，∴b ＝2，∴a ＝4，∴
a
b ＋2
＝1. 2．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1
t )≤2f(1)，那么t 的取值范围是________．
答案 [1
e
，e]
解析 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )．由f(lnt)＋f(ln 1
t )≤2f(1)，得f(lnt)
≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lnt|≤1，－1≤lnt ≤1，故1
e ≤t ≤e.
3．已知函数f(x)＝lg[(a 2
－1)x 2
＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围． 答案 a≤－1或a>53 (2)1≤a≤5
3
解析 (1)依题意(a 2
－1)x 2
＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2
－1≠0时，其充要条件是
⎩
⎪⎨⎪⎧a 2
－1>0，
Δ＝（a ＋1）2－4（a 2
－1）<0，即⎩
⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a ＞53
或a<－1. ∴a<－1或a>53
.
又a ＝－1时，f(x)＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a>5
3
.
(2)依题意，只要t ＝(a 2
－1)x 2
＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2
－1>0，Δ≥0，解之1<a≤53，又当a 2
－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53
.。