向量中的共线问题

共线问题
1、[例4] 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．
[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →
＝2e 1＋e 2
∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ、μ使AP →＝λAM →
＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，故BA →＝BP →－AP →
＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.
而BA →＝BC →＋CA →
＝2e 1＋3e 2由平面向量基本定理，得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，解得⎩
⎨⎧
λ＝45μ＝35
，
故AP →＝45
AM →
，故AP PM ＝4 1.
2、13．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，且AE →＝14
AD →，F 为BE 与AC 的交点．设AB →
＝a ，
BC →＝b ，若BF →＝kBE →，AF →＝hAC →
，则k ＝________，h ＝________.
[答案] 45 1
5
[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b ，∴AF →＝hAC →＝h a ＋h b ，BF →＝BA →＋AF →
＝－a ＋h a ＋h b ＝(h －1)a ＋h b ， 又BF →＝kBE →＝k (BA →＋AE →
)＝k (－a ＋14b )＝－k a ＋k 4b ，
显然a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
h －1＝－k h ＝k
4，解得⎩⎨⎧
k ＝4
5h ＝15
.
3、15．在▱ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝a ，BC →＝b ，试用a 、b 表示GK →、AH →
.
[解析] 如图所示，GF →＝CF →－CG →＝－12b ＋12a ，因为K 为DF 的中点，所以GK →＝12(GD →＋GF →
)
＝12⎝⎛⎭⎫－12a －12b ＋12a ＝－14b .DF →＝CF →－CD →＝－1
2
b ＋a . 因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →
＝m ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ； 又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →
＝n ⎝⎛⎭⎫a －12b 因为AD →＋DH →＝AH →
，所以⎝⎛⎭⎫1－n 2b ＋n a ＝m b ＋m 2
a 因为a 、
b 不共线，所以⎩⎨⎧
1－n
2＝m
n ＝m
2
，解得m ＝45，即AH →＝4
5⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25
(a ＋2b )．
4、16．如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13
OB ，DC 与OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →
.
[分析] 将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向量．
如待求OC →，已知OA →、OB →，即知BA →，因为BC →可用BA →线性表示，故可用OB →和BC →来表示OC →
. [解析] 因为A 是BC 的中点，所以OA →＝12(OB →＋OC →)，即OC →＝2OA →－OB →
＝2a －b .
DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →
＝2a －b －23b ＝2a －53
b .
5、18．在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →
＝b ，以a 、b 为基底
表示OM →
.
[分析] 显然a 、b 不共线，故可设OM →
＝m a ＋n b ，由A 、M 、D 三点共线及B 、M 、C 三点共线利用向量共线条件求解．
[解析] 设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →
＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝1
2b －a 因为A 、M 、D 三点共线，所以m －1－1＝n 1
2，即m ＋2n ＝1
又CM →＝OM →－OC →＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →
＝－14a ＋b ， 因为C 、M 、B 三点共线，所以m －
1
4－14
＝n
1，即4m ＋n ＝1，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＋2n ＝14m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧
m ＝
17
n ＝37
，所以OM →＝17a ＋3
7
b .
6、19．(本题满分12分)在▱ABCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝3MB ，点N 在BD 上，且BN →＝λBD →
，C 、M 、N 三点共线，求λ的值．
[解析] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BD →
＝e 2－e 1， BN →＝λBD →＝λ(e 2－e 1)，MB →＝14AB →＝1
4
e 1，BC →＝AD →
＝e 2，
∴MC →＝MB →＋BC →＝14e 1＋e 2，MN →＝MB →＋BN →
＝1
4e 1＋λ(e 2－e 1)＝λe 2＋⎝⎛⎭⎫14－λe 1， ∵M 、N 、C 共线，∴MN →与MC →共线，∵e 1与e 2不共线，∴1
4－λ
14
＝λ1，∴λ＝1
5.
(2010·合肥市)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →
＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，12
B.⎝⎛⎭⎫23，23
C.⎝⎛⎭⎫13，1
3 D.⎝⎛⎭⎫
23，12
[答案] C
[解析] 设CF →＝λCD →，∵E 、D 分别为AC 、AB 的中点，∴BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋12b ，BF →＝BC →＋CF →＝(b －a )＋λ(12
a －
b )＝⎝⎛⎭⎫12λ－1a ＋(1－λ)b ，∵BE →与BF →共线，∴1
2λ－1－1
＝1－λ12
，∴λ＝23，∴AF →＝AC →＋CF →
＝b ＋23CD →＝b ＋23⎝⎛⎭⎫12a －b ＝13a ＋13b ，故x ＝13，y ＝13. 7、8．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →
，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 [答案] B
[解析] 由CB →＝λP A →＋PB →得CB →－PB →＝λP A →，∴CP →＝λP A →.则CP →与P A →为共线向量，又CP →与P A →
有一个公共点P ，∴C 、P 、A 三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B.
8、9．G 为△ABC 内一点，且满足GA →＋GB →＋GC →
＝0，则G 为△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心
[答案] D
[解析] 由于GA →＋GB →＋GC →＝0，所以GA →＝－(GB →＋GC →)，即GA →是与GB →＋GC →
方向相反，长度相等的向量．如图，以GB →，GC →为相邻的两边作▱BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →
，所以GD →＝－GA →，在▱BGCD 中，设BC 与GD 交于点E ，则BE →＝EC →，GE →＝ED →
，故AE 是△ABC 中BC 边上的中线且|GA →|＝2|GE →
|.从而点G 是△ABC 的重心．选D.
9、10．(2010·河北唐山)已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →
，则( ) A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线 D ．B 、C 、P 三点共线 [答案] B
[解析] ∵AC →＝PC →－P A →，∴原条件式变形为：PB →＝－2P A →，∴PB →∥P A →
，∴A 、B 、P 三点共线． 10、4．(2010·湖南长沙)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →
＋λ(AB →＋AC →
)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
A ．外心
B ．垂心
C ．内心
D ．重心
[答案] D
[解析] 设AB →＋AC →＝AD →，则可知四边形BACD 是平行四边形，而AP →＝λAD →
表明A 、P 、D 三点共线．又D 在BC 的中线所在直线上，于是点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．
11、5．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →
，则P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心
[答案] D
[解析] 由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA . 同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．
12、6．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 [答案] C
[解析] 由AB 2→－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，
即AB →·CB →＝BC →·BC →，∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0，∴BC →·(AB →＋BC →)＝0，则BC →·AC →＝0，即BC →⊥AC →， 所以△ABC 是直角三角形，故选C.
13、7．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．A 、B 、C 均不是
[答案] C
[解析] 由(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得
CB →·(AB →＋AC →)＝0，又∵CB →＝AB →－AC →，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0. ∴|AB →|＝|AC →
|.∴△ABC 为等腰三角形．
[点评] 若设BC 中点为D ，则有AB →＋AC →＝2AD →，故由CB →·(AB →＋AC →)＝0得CB →·AD →
＝0， ∴CB ⊥AD ，∴AC ＝BC .
14、5．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高线的交点 [答案] D
[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，
∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0.∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →. ∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．
15、1．(2013·烟台模拟)若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，则△ABC 为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] 由(MB →－MC →)·(MB →＋MC →－2MA →)＝0，可知CB →·(AB →＋AC →
)＝0， 设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，故CB →·AD →＝0，所以CB →⊥AD →. 又D 为BC 中点，故△ABC 为等腰三角形．
1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛
12OA →＋12
OB →＋
⎭
⎫
2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的( )． A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心) C ．重心 D ．AB 边的中点
解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →
，即3OP →＝OM →＋2OC →，也
就是MP →＝2PC →
，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．答案 B
2．在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝x AB →＋(1－x )AC →
，则实数x 的取值范围是( )．
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(0,1)
解析 设BO →＝λ BC →(λ＞1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λ BC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →，又AO →＝x AB →＋(1－x )AC →
，所以x AB →＋(1－x )AC →＝(1－λ)AB →＋λ AC →
.所以λ＝1－x ＞1，得x ＜0.答案 A
3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →
|，则△ABC 的形状为________． 解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．答案 直角三角形
4.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →
＝b ，试用a ，b 表示AG →
.
解 AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .
又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m
2
a ＋(1－m )
b ，
∴⎩⎨⎧
1－λ＝m 2
，
1－m ＝λ
2
，解得λ＝m ＝2
3，∴AG →＝13a ＋13
b .。