人教版初中数学三角形知识点训练附答案

人教版初中数学三角形知识点训练附答案
一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交
AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.
【详解】
题干中作图方法是构造角平分线，①正确；
∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30°
∴∠ADC=60°，②正确
∵∠DAB=∠B=30°
∴△ADB 是等腰三角形
∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确
在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a
在△ADB 中，DB=AD=2a
∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22
BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.
【详解】
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠EBD.
又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，
∴△ABD≌△EBD (AAS)，
∴AD＝ED，AB＝BE，
∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC
＝AD＋DC＋EC
＝AC＋EC＝AB＋EC
＝BE＋EC＝BC
＝10 cm.
故选B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
3．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，
DE=2，AB=4，则AC长是（）
A．4 B．3 C．6 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，
∠EAD=∠FAD
DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，
∴DF=DE ，
又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4，
11742222
AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.
故答案为：B
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.
4．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm
A ．6
B ．8
C
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】
设∠A ＝x ，
则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，
解得x ＝30°，
即∠A ＝30°，∠C ＝3×30°＝90°，
此三角形为直角三角形，
故AB ＝2BC ＝2×4＝8cm ，
故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.
5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（ ）
A．6
5
B．
8
5
C．
12
5
D．
24
5
【答案】D
【解析】
【分析】
连接AD，根据已知等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD=6，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接AD
∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：2222
1068
AB BD=+=，
∵S△ADB=1
2
×AD×BD＝
1
2
×AB×DE，
∴DE=
8624
105 AD BD
AB
⨯⨯
==，
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D
【解析】
【详解】
A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；
B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；
C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．
故选D ．
7．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80°
【答案】D
【解析】
【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴∠C ＝∠1＝45°，
∵∠3是△CDE 的一个外角，
∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．
8．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是高，BE 平分∠ABC 交CD 于点E ，EF ∥AC 交AB 于点F ，交BC 于点G ．在结论：(1) EFD ∠=BCD ∠；(2) AD CD =；
(3)CG EG =；(4) BF BC =中，一定成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD ；只有△ABC 是等腰直角三角形时AD=CD ，CG=EG ；利用“角角边”证明△BCE 和△BFE 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC ．
【详解】
∵EF ∥AC ，∠BCA=90°，
∴∠CGE=∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠CEG=90°，
又∵CD 是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，
∵∠CEG=∠FED （对顶角相等），
∴∠EFD=∠BCD ，故（1）正确；
只有∠A=45°，即△ABC 是等腰直角三角形时，AD=CD ，CG=EG 而立，故（2）（3）不一定成立，错误；
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠EBC=∠EBF ，
在△BCE 和△BFE 中，
EFD BCD EBC EBF BE BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BCE ≌△BFE （AAS ），
∴BF=BC ，故（4）正确，
综上所述，正确的有（1）（4）共2个．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．
9．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB ＝∠DEC ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°，斜边AB ＝4，CD ＝5．把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）
A 13
B 5
C ．22
D ．4
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．
在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．
在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，
由勾股定理得：AD1=13．
故选A.
考点: 1.旋转；2.勾股定理.
10．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）
A．23B．13C．4 D．32
【答案】B
【解析】
【分析】
如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.
【详解】
如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；
∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD=AD=3；
∴OD=AD-OA=2；
Rt△OBD中，根据勾股定理，得：
22
+
BD OD13
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.
11．如图,已知AB=AE,AC=AD,下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是()
A．BC=ED B．∠BAD=∠EAC
C．∠B=∠E D．∠BAC=∠EAD
【答案】C
【解析】
解：A．∵AB=AE，AC=AD，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SSS），故A不符合题意；
B．∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAC=∠EAD．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD ，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故B不符合题意；
C．不能判定△ABC≌△AED，故C符合题意．
D．∵AB=AE，∠BAC=∠EAD，AC=AD，∴△ABC≌△AED（SAS），故D不符合题意．
故选C．
12．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下
列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝1
2
∠
CGE．其中正确的结论是( )
A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠ACD=∠BCD ，
∴∠ADC+∠BCD=90°．
∵EG ∥BC ，且CG ⊥EG ，
∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，
∴∠ADC=∠GCD ，故正确；
③条件不足，无法证明CA 平分∠BCG ，故错误；
④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB ，∠DCB+∠ABC=∠ADC ，
∴∠AEB+∠ADC=90°+
12
（∠ABC+∠ACB ）=135°， ∴∠DFE=360°-135°-90°=135°， ∴∠DFB=45°=
12
∠CGE ，，正确． 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
13．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）
A ．130︒
B ．120︒
C ．110︒
D ．100︒
【答案】A
【解析】
【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ACD ＝∠ACB ＝12
∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，
∴FB=FC ，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故选：A ．
【点睛】
此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC 中，点D 为BC 的中点，连接AD ，过点C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于点E ，下列说法错误的是（ ）
A ．△ABD ≌△ECD
B ．连接BE ，四边形ABE
C 为平行四边形 C ．DA ＝DE
D ．C
E ＝CD
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平行线的性质得出∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，然后根据AAS 证得△ABD ≌△ECD ，得出AD=DE ，根据对角线互相平分得到四边形ABEC 为平行四边形，CE=AB ，即可解答．
【详解】
∵CE ∥AB ，
∴∠B=∠DCE ，∠BAD=∠E ，
在△ABD 和△ECD 中，
===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ABD ≌△ECD （AAS ），
∴DA=DE ，AB=CE ，
∵AD=DE ，BD=CD ，
∴四边形ABEC 为平行四边形，
故选：D ．
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定，解题的关键是证明△ABD ≌△ECD ．
15．如图，已知A ,D,B,E 在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A ．BC = EF
B ．AC//DF
C ．∠C = ∠F
D ．∠BAC = ∠EDF
【答案】C
【解析】
【分析】 根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
∵BE ＝CF ，
∴BE ＋EC ＝EC ＋CF ，
即BC ＝EF ，且AC = DF ，
∴当BC = EF 时，满足SSS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；
当AC//DF 时，∠A=∠EDF ，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ；
当∠C = ∠F 时，为SSA ，不能判定△ABC ≌△DEF ；
当∠BAC = ∠EDF 时，满足SAS ，可以判定△ABC ≌△DEF ，
故选C.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．
16．如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,2AC =,点D 在BC 上,5AD =,ADC 2B ∠=∠,则BC 的长为（ ）
A 51
B 51
C 31
D 31
【答案】B
【解析】
【分析】 根据ADC 2B ∠=∠，可得∠B=∠DAB ，即5BD AD ==
Rt △ADC 中根据勾股定理
可得DC=1，则51.
【详解】
解：∵∠ADC 为三角形ABD 外角
∴∠ADC=∠B+∠DAB
∵ADC 2B ∠=∠
∴∠B=∠DAB ∴5BD AD ==
在Rt △ADC 中，由勾股定理得：22DC 541AD AC =
-=-=
∴BC=BD+DC=51+
故选B
【点睛】 本题考查勾股定理的应用以及等角对等边，关键抓住ADC 2B ∠=∠这个特殊条件.
17．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】
【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．
【详解】
设网格的小正方形的边长是1，
由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，
ABC ∆的三边分别是：10，5，5； 由于222
5510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ∆是直角三角形； '''A B C ∆的三边分别是：''A B 10， ''B C 5 ，''AC 13 由于()()(22
210513+?， 根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ∆不是直角三角形；
A B C ''''''∆的三边分别是：A B ''''18B C ''''8 ，A C ''''26；
由于()()()222
18826+=， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''∆是直角三角形；
因此有两个直角等三角形；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．
18．等腰三角形有一个是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．25°或40°
D ．50°
【答案】C
【解析】
∵等腰三角形有一个是50°
∴有两种可能
①是三个角为50°、50°、80°；②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下： ①当三个角为50°、50°、80°时，根据图①，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°；
②当三个角为50°、65°、65°，根据图②，可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选：C
① ②
点睛：本题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和为180°.
19．如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O 是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为( )
A ．8 cm
B ．9 cm
C ．10 cm
D ．11 cm
【答案】B
【解析】
解：由题意知：OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，∴△AOB≌△A′OB′，∴
A′B′=AB=9cm．故选B．
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）
A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM=1
2
CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．。