1.8 最小二乘估计 课件2(北师大版必修三)
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高中数学第一章统计8最小二乘估计ppt课件北师大版必修3
2．线性回归方程 用 x 表示x1＋x2＋n …＋xn，用 y 表示y1＋y2＋n …＋yn，则用最小 二乘法可求得
b＝x1－
x
y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋…＋xn－ x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2
x
yn－
y
x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y ＝_______x_21＋__x_22_＋__…__＋__x_2n－__n__x_2__________. a＝___y_－__b_x___.
解：(1)如图：
4
(2) x iyi ＝ 6×2 ＋ 8×3 ＋ 10×5 ＋ 12×6 ＝ 158 ， x ＝
i＝1
6＋8＋410＋12＝9， y ＝2＋3＋4 5＋6＝4，i＝41x2i ＝62＋82＋102＋122
＝344，b＝15384－4－4×4×9×924＝1240＝0.7，a＝ y －b x ＝4－0.7×9＝ －2.3，故线性回归方程为 y＝0.7x－2.3.
8
参考数据： x ＝77.5， y ≈85， (xi－ x )2＝1 050，
i＝1
8
8
(yi－ y )2≈457， (xi－ x )(yi－ y )≈688，
i＝1
i＝1
1 050≈32.4， 456≈21.4， 550≈23.5.
解：(1)应选女生 25×480＝5(人)，男生 15×480＝3(人)． (2)若以数学成绩 x 为横坐标，物理成绩 y 为纵坐标做散点图 (图略)，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并 且在逐步上升，故物理成绩与数学成绩是高度正相关，设 y 与 x 线性回归方程 y＝bx＋a，根据所给的数据，可以计算出 b＝1608580 ≈0.66，a＝85－0.66×77.5＝33.85，所以 y 与 x 的线性回归方程 为 y＝0.66x＋33.85.
北师大版必修3高中数学1.7、8相关性最小二乘估计课件
(2)利用最小二乘法估计时，要先作出数据的 散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我 最小二乘法 们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈 现出线性关系，我们可以用___________估 计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他 的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行 拟合．
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( ) A．正方体的棱长和体积 B．单位圆中角的度数和所对弧长 C．单产为常数时，土地面积和总产量 D．日照时间与水稻的亩产量 [答案] D [解析] 函数关系是一个变量与另一个变量之 间有确定性的关系，选项A、B、C均为函数 关系，日照时间与水稻的产量带有一定的随
最小二乘法 ． 如 果 用 x 表 示 求 的 直 线 ， 这 种 方 法 称 为 _____________
x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn ，用 y 表示 ，则可以求得 b＝ n n x1－ x y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋„＋xn－ x yn－ y x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2
2．最小二乘估计 (1)如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„， (xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点 与直线y＝a＋bx的接近程度： [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－ (a＋bxn)]2.
最小值 使得上式达到___________ 的直线 y＝a＋bx 就是我们所要
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说 法正确的是( ) A．都可以分析两个变量的关系 B．都可以用一条直线近似地表示两者的关 系 C．都可以作出散点图 D．都可以用确定的表达式表示两者之间的 关系 [答案] C [解析] 两个变量可能是无关的，A、D错误； 两者可能不是线性相关的，此时不能用直线
北师大版高中数学必修3课件1.8最小二乘估计课件
求系数a和b。 （2）利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。 即在 x=x0处的估计值为 y=a+bx0
用最小二乘法推导3个点的线性回归方程 设有3个点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 则有最小二乘法可知直 线 y=a+bx与这3个点 的接近程度由下面表达式刻画: 2 2 2 y a bx y a bx y a bx 1 2 3 1 2 3 （※）即
42
44
46
x
（2）由（1）知城市居民的年收入与该商品的销售额之间存在着显著的线性相关关系,列表：
i xi yi xiyi 1 32.2 25.0 805 2 31.1 30.0 933 3 32.9 34.0 1118.6 4 35.8 37.0 1324.6 5 37.1 39.0 1446.9 6 38.0 41.0 1558 7 39.0 42.0 1638 8 43.0 44.0 1892 9 44.6 48.0 2140.8 10 46.0 51.0 2346
北京师范大学出版社 | 必修三
第一章 · 统计
最小二乘估计
新课导入
高二某班学生每周用于数学学习的时间 x(单位:h)与数学成绩 y(单位:分)之间有如 下数据: x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 某同学每周用于数学学习的时间为18h, 试预测该生数学成绩。 100 y
x x, y y 2.线性回归方程必有解_______________
3.求线性回归方程时应先利用散点图进行线性相关判断。 4.利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。
江西省师范大学附属中学北师大版高中数学必修三：1.8最小二乘估计 同课异构教学课件(共15张ppt)
“根据数据选方法”
江西师范大学附属中学
胡祝齐｜江西省｜高中数学
“两个相关变量” “样本容量与代表性”
“直观感受”
“函数思想求最值”
Saturday, June 27, 2020
00:12:28
最小二乘估计
六、课堂小结，提升素养
胡祝齐｜江西省｜高中数学
课后作业： 1.查阅资料，了解最小二乘法的历史； 2.小组自主选取生活中感兴趣的问题，研究变量之间的相关性.
225 100
0 100 225
650
(xi x)(yi y)
-450 -200
0 -170 -480
-1300
（1）回归直线方程为 y702x；（2）y702( 3 )76
江西师范大学附属中学
Saturday, June 27, 2020
00:12:28
最小二乘估计
六、课堂小结，提升素养
“更准确更有效”
x i , y i 已知 a , b 未知
“二乘”即“平方”
使上式达到最小值的直线 y abx就是我们所要求的直线，
这种方法称为最小二乘法， 这条直线叫做回归直线.
n3
Q [ y 1 ( a b x 1 ) ] 2 [ y 2 ( a b x 2 ) ] 2 [ y 3 ( a b x 3 ) ] 2
江西师范大学附属中学
Saturday, June 27, 2020
00:12:24
最小二乘估计
胡祝齐｜江西省｜高中数学
三、运算推导，解析模型
Q [ y 1 ( a b x 1 ) ] 2 [ y 2 ( a b x 2 ) ] 2 L [ y n ( a b x n ) ] 2
00:12:29
江西师范大学附属中学
胡祝齐｜江西省｜高中数学
“两个相关变量” “样本容量与代表性”
“直观感受”
“函数思想求最值”
Saturday, June 27, 2020
00:12:28
最小二乘估计
六、课堂小结，提升素养
胡祝齐｜江西省｜高中数学
课后作业： 1.查阅资料，了解最小二乘法的历史； 2.小组自主选取生活中感兴趣的问题，研究变量之间的相关性.
225 100
0 100 225
650
(xi x)(yi y)
-450 -200
0 -170 -480
-1300
（1）回归直线方程为 y702x；（2）y702( 3 )76
江西师范大学附属中学
Saturday, June 27, 2020
00:12:28
最小二乘估计
六、课堂小结，提升素养
“更准确更有效”
x i , y i 已知 a , b 未知
“二乘”即“平方”
使上式达到最小值的直线 y abx就是我们所要求的直线，
这种方法称为最小二乘法， 这条直线叫做回归直线.
n3
Q [ y 1 ( a b x 1 ) ] 2 [ y 2 ( a b x 2 ) ] 2 [ y 3 ( a b x 3 ) ] 2
江西师范大学附属中学
Saturday, June 27, 2020
00:12:24
最小二乘估计
胡祝齐｜江西省｜高中数学
三、运算推导，解析模型
Q [ y 1 ( a b x 1 ) ] 2 [ y 2 ( a b x 2 ) ] 2 L [ y n ( a b x n ) ] 2
00:12:29
高中数学必修三北师大版 1.8最小二乘估计 课件(29张)
5 2 xi ＝145； xiyi＝138 i＝1 i＝1
5
i＝1
x－ y xiyi－5－ －2 x2 i －5 x
5
5
于是可得b＝
138－5×5×5 ＝ ＝0.65， 145－5×52
i＝1
a＝－ y －b－ x ＝5－0.65×5＝1.75. ∴所求的回归直线方程是y＝1.75＋0.65x.
【课标要求】 1.了解最小二乘法的思想. 2.能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．最小二乘法的定义 如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，可以用下面的 表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋ [y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝ a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
i ＝1
xiyi.第三步：代入公式计算b，a的值．第四步：写出直线方程.
n
跟踪训练 1 某种产品的广告费支出x(千万元)与销售额y(千万 元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 3 4 6 5 7 (1)画出散点图，判断变量x与y是否具有线性相关关系； (2)如果x与y具有线性相关关系，求回归直线方程．
解析：(1)散点图如图．
由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出x与 销售额y之间有线性相关关系．
(2)设回归直线方程为y＝a＋bx.列出下列，并用科学计算器进 行有关计算. 1 2 3 4 5 i 2 4 5 6 8 xi 3 4 6 5 7 yi 6 16 30 30 56 xiyi － x ＝5；－ y ＝5，
5
i＝1
x－ y xiyi－5－ －2 x2 i －5 x
5
5
于是可得b＝
138－5×5×5 ＝ ＝0.65， 145－5×52
i＝1
a＝－ y －b－ x ＝5－0.65×5＝1.75. ∴所求的回归直线方程是y＝1.75＋0.65x.
【课标要求】 1.了解最小二乘法的思想. 2.能根据给出的线性回归方程的系数公式，建立线性回归方程.
自主学习 |新知预习|
基础认识
1．最小二乘法的定义 如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，可以用下面的 表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋ [y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝ a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
i ＝1
xiyi.第三步：代入公式计算b，a的值．第四步：写出直线方程.
n
跟踪训练 1 某种产品的广告费支出x(千万元)与销售额y(千万 元)之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 3 4 6 5 7 (1)画出散点图，判断变量x与y是否具有线性相关关系； (2)如果x与y具有线性相关关系，求回归直线方程．
解析：(1)散点图如图．
由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出x与 销售额y之间有线性相关关系．
(2)设回归直线方程为y＝a＋bx.列出下列，并用科学计算器进 行有关计算. 1 2 3 4 5 i 2 4 5 6 8 xi 3 4 6 5 7 yi 6 16 30 30 56 xiyi － x ＝5；－ y ＝5，
《最小二乘估计》公开课教学PPT课件【高中数学必修3(北师大版)】
新课学习
利用线性回归方程对总体进行估计
（1）求线性回归方程 y=a+bx:
①列表求 x ， y , x1 y1+ x2 y2+···+ xn yn的值;
②由 b
x1 y1 x2 y2 x12 x22
求系数a和b。
xn yn nx y ; a y bx
xn2 nx 2
（2）利用线性回归方程, 我们可以进行预测, 并对总体进行估计。
即在 x=x0处的估计值为 y=a+bx0
新课学习
用最小二乘法推导3个点的线性回归方程
设有3个点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), 则有最小二乘法可知直 线 y=a+bx与这3个点 的接近程度由下面表达式刻画:
y1 a bx1 2 y2 a bx2 2 y3 a bx3 2 （※）即
把（※）式整理为关于a的二次函数 f(a), 即
f (a) 3 a2 2a y bx y1 bx1 2 y2 bx2 2 y3 bx3 2
从而当 b
x1 y1 x2 y2 x3 y3 3 x x12 x22 x32 3 x 2
y
时, 函数 f(a)达到最小值。
10 4 38 50
-1 （1）试用最小二乘法求出线性回归方
64
程;（2）如果某天的气温是-5oC, 请预 测这天可能会卖出热茶多少杯。
解:（1）根据要求列出表格，计算得
x
35 , y 3
115 3
1910 6 35 115
b
3 3 1.648,
由系数公式得，
1286 6 35 35 33
新课学习
某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天的气温(x)之间是线性相关的。数据如下表:
2019版高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计课件 北师大版必修3
(2)任意一组数据都有一个对应的线性回归方程. ( )
(3)散点图中的点越集中,两个变量的相关性越强. ( )
(4)线性回归方程最能代表线性相关的两个变量之间的关系.
()
(5)线性回归方程 y=bx+a 一定过点(������, ������)(其中������ =
������1 +������2 +…+ ������������ ������
确定未知数据.
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2已知x,y的取值如下表所示,
x234 y546
如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归方程为 y=bx+72,则 b 等于
()
A.-12
B.12
C.-110
D.110
解析:由表中数据可得������=3,������=5,因此回归直线 y=bx+72一定经过
单位时( ) A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位
解析:∵两个变量线性负相关,∴变量x增加一个单位,y平均减少1.5
个单位. 答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画
“×”.
(1)散点图能直观地反映数据的相关程度. ( )
程的系数.
【做一做1】 已知x与y之间的一组数据如下表:
x 0 1 23 y 1 2 46
则y与x的线性回归方程y=bx+a,必过点( )
A.(2,3)
B.(1.5,3)
C.(1.5,3.25) D.(2,3.25) 解析:������ = 0+1+4 2+3=1.5,������ = 1+2+44+6=3.25. 因为回归直线必过点(������, ������),所以 C 正确.
2020-2021学年数学北师大版必修3课件：1-8 最小二乘估计
n
叫作最小二乘法，故 Q(a，b)＝ (yi－bxi－a)2，故选 A.
i＝1
类型二 求回归直线方程
【例 2】 某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：
年份
2014 2015 2016 2017 2018
x/万户
1
1.1 1.5 1.6 1.8
y/百万立方米 6
7
9
11
12
(1)检验是否线性相关；
其中正确的有( C )
A．①②③
B．①②④⑤
C．①②③④ D．③④⑤
解析：线性回归方程只能近似地表示线性相关关系．
2．线性回归方程 y＝bx＋a 必过( D )
A．(0,0)点
B．( x ，0)点
C．(0， y )点 D．( x ， y )点
解析：回归直线系数 a、b 有公式 a＝ y －b x ，所以 y ＝a ＋b x ，故直线必过定点( x ， y )．
一、选择题 1．下列叙述中： ①变量间关系有函数关系，又有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；
n
③ xi＝x1＋x2＋…＋xn；
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
④线性回归方程 y＝bx＋a 中，b＝
，a＝ y
n
xi－ x 2
i＝1
－b x ；
⑤线性回归方程一定可以表示相关关系．
i＝1
i＝1
b.
某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：
百万元)之间有如下对应数据：
x2 4 5 6
8
y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为 7 百万元时的销售额．
叫作最小二乘法，故 Q(a，b)＝ (yi－bxi－a)2，故选 A.
i＝1
类型二 求回归直线方程
【例 2】 某市近 5 年的煤气消耗量与使用煤气户数如下表：
年份
2014 2015 2016 2017 2018
x/万户
1
1.1 1.5 1.6 1.8
y/百万立方米 6
7
9
11
12
(1)检验是否线性相关；
其中正确的有( C )
A．①②③
B．①②④⑤
C．①②③④ D．③④⑤
解析：线性回归方程只能近似地表示线性相关关系．
2．线性回归方程 y＝bx＋a 必过( D )
A．(0,0)点
B．( x ，0)点
C．(0， y )点 D．( x ， y )点
解析：回归直线系数 a、b 有公式 a＝ y －b x ，所以 y ＝a ＋b x ，故直线必过定点( x ， y )．
一、选择题 1．下列叙述中： ①变量间关系有函数关系，又有相关关系； ②回归函数即用函数关系近似地描述相关关系；
n
③ xi＝x1＋x2＋…＋xn；
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
④线性回归方程 y＝bx＋a 中，b＝
，a＝ y
n
xi－ x 2
i＝1
－b x ；
⑤线性回归方程一定可以表示相关关系．
i＝1
i＝1
b.
某种产品的广告费支出 x(单位：百万元)与销售额 y(单位：
百万元)之间有如下对应数据：
x2 4 5 6
8
y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)预测当广告费支出为 7 百万元时的销售额．
北师大版高中数学必修三第1章统计1.8最小二乘估计课件
2
,
������ = ������-������������ .
a,b是线性回归方程
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
【做一做1】 在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线 y=a+bx“距离”的量是( ) A.|yi−������| B. (������������ − ������)2 C.|yi-(a+bxi)| D.[yi-(a+bxi)]2 解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本 点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和 表示这些点与这条直线的接近程度. 答案:D
-4-
§8 最小二乘估计
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
2.线性回归方程 (1)线性回归方程的概念
设 n 个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则������ =
������1 +������2 +…+������������ ,则 ������
b=
������1 +������2+…+������������ , ������ ������ (������1 -������)(������1 -������)+(������2 -������)(������2 -������)+…+(������������ -������)(������������ -������) (������1 -������) +(������2 -������) +…+(������������ -������)
-6-
,
������ = ������-������������ .
a,b是线性回归方程
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知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
【做一做1】 在最小二乘法中,用来刻画各样本点到直线 y=a+bx“距离”的量是( ) A.|yi−������| B. (������������ − ������)2 C.|yi-(a+bxi)| D.[yi-(a+bxi)]2 解析:最小二乘法的定义明确给出,用[yi-(a+bxi)]2来刻画各个样本 点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度),用它们的和 表示这些点与这条直线的接近程度. 答案:D
-4-
§8 最小二乘估计
目标导航
知识梳理 知识梳理
典型透析
随堂演练
2.线性回归方程 (1)线性回归方程的概念
设 n 个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则������ =
������1 +������2 +…+������������ ,则 ������
b=
������1 +������2+…+������������ , ������ ������ (������1 -������)(������1 -������)+(������2 -������)(������2 -������)+…+(������������ -������)(������������ -������) (������1 -������) +(������2 -������) +…+(������������ -������)
-6-
高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线 方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距 的估计值,往往因计算不准导致错误.
2020-2021学年高中数学必修3北师大版课件：1.8 最小二乘估计
2．线性回归方程
用
x
表示x1＋x2＋…＋xn， n
用
y
表示y1＋y2＋…＋yn， n
由最小二乘法可以求得
b＝x1y1＋x12＋x2yx222＋＋……＋＋xxnn2y－n－n nx
x
2
y ，a＝ y －b x ，这样得到的直线方程 y＝a
＋bx 称为线性回归方程，a，b 是线性回归方程的 系数．
[名师指津] 1．(1)求线性回归方程时，应注意只有在两个变量呈线性相关时，求出的线 性回归方程才有实际意义．否则，求出的线性回归方程毫无意义． (2)求线性回归方程，关键在于正确地求出系数 a、b，由于求 a、b 的计算量 较大，计算时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
5
5
xi2＝145， xiyi＝138
i＝1
i＝1
5
xiyi－5 x y
i＝1
于是可得 b＝
5
＝13184－5－5×5×5×52 5＝0.65，
xi2－5 x 2
i＝1
a＝ y －b x ＝5－0.65×5＝1.75. ∴所求的回归直线方程是 y＝1.75＋0.65x.
解析： (1)散点图如图．
由图可以看出，各点都在一条直线附近，所以广告费支出 x 与销售额 y 之间 有线性相关关系．
(2)设回归直线方程为 y＝a＋bx.列出下表，并用科学计算器进行有关计算．
i
12 3 4 5
xi
24 5 6 8
yi
34 6 5 7
xiyi
6 16 30 30 56
x ＝5， y ＝5，
y1357 则 y 与 x 的线性回归方程 y＝bx＋a 必过点( )
A．(2,2)
1.8最小二乘估计课件ppt(北师大版必修三)
我们就要利用其他的工具进行拟合．
2．线性回归方程
课前探究学习 课堂讲练互动
a＝______．
这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是
线性回归方程的_____系数 ．
想一想：回归直线通过样本点的中心，比照平均数与
量描述两个变量间依存的数量关系．
(2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的
范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车
流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
的NO的浓度．
(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作
样本数据之间的关系，你能说说回 归直线与散点图中
各点之间的关系 吗？
课前探究学习 课堂讲练互动
名师点睛
1．回归直线方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定
出散点图，确定合适的拟合模型．
课前探究学习 课堂讲练互动
自学导引
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近
程度：
2 2 2
_________________________________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ____________.[y1－(a＋bx1)] ＋[y2－(a＋bx2)] ＋…＋[yn－(a＋bxn)]
使得上式达到_______最小值 的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直
线，这种方法称为___________最小二乘法 ．
§8 最小二乘估计
【课标要求】
1．了解最小二乘法．
2．线性回归方程
课前探究学习 课堂讲练互动
a＝______．
这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是
线性回归方程的_____系数 ．
想一想：回归直线通过样本点的中心，比照平均数与
量描述两个变量间依存的数量关系．
(2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的
范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车
流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中
的NO的浓度．
(3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先作
样本数据之间的关系，你能说说回 归直线与散点图中
各点之间的关系 吗？
课前探究学习 课堂讲练互动
名师点睛
1．回归直线方程的应用
(1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可定
出散点图，确定合适的拟合模型．
课前探究学习 课堂讲练互动
自学导引
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近
程度：
2 2 2
_________________________________ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ____________.[y1－(a＋bx1)] ＋[y2－(a＋bx2)] ＋…＋[yn－(a＋bxn)]
使得上式达到_______最小值 的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直
线，这种方法称为___________最小二乘法 ．
§8 最小二乘估计
【课标要求】
1．了解最小二乘法．
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§ 9
最小二乘估计
●三维目标 1．知识与技能 利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想 及回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直 线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回 归直线方程含义的理解．
2．过程与方法 (1)通过自主探究体会数形结合、类比及最小二乘法的数 学思想方法． (2)通过动手操作培养学生观察、 分析、 比较和归纳能力， 引出利用计算机等现代化教学工具的必要性． 3．情感、态度与价值观 类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系， 增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意 识．利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习 兴趣．
3．若转速为 10 转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的 零件件数？ 【提示】 方程后可预测． 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线
利用最小二乘法估计时，要先作出数据的 散点图 ．如果 散点图呈现一定的规律性， 我们再根据这个规律进行拟合． 如 果散点图呈现出线性关系，我们可以用 最小二乘法 估计出 线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就 要利用其他的曲线进行拟合．
1．知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验， 否则，应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具 有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的．
2．求线性回归方程的步骤 (1)计算平均数 x 、 y ； (2)计算 x1y1＋x2y2＋…＋xnyn；
2 2 (3)计算 x2 1＋x2＋…＋xn；
本点分布在某条直线附近，则两变量之间是有线性关系．
【自主解答】 (1)散点图如图所示：
可知气温与游客数量呈线性相关关系，下面求其回归直 线方程．
70 35 230 115 ∵x＝ 6 ＝ 3 ，y＝ 6 ＝ 3 ，
2 2 x1 ＋x2 ＋ … ＋ x 2 6
＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286， x1y1＋x2y2＋…＋x6y6 ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.
线性回归方程
求线性回归方程
下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比 表：
平均气温 (℃ )
－ 4 10 13 18 26 1
数量(百个) 20 24 34 38 50 64
试判断游客数量与平均气温对应两个变量是否线性相 关，若线性相关，求出其回归直线方程．
【思路探究】
确定横、纵轴的意义画出散点图，若样
●重点难点 重点： 利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关 系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出 回归方程. 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归直线 方程．学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且 掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用．要找准 学生知识的切入点．
【自主解答】 (1)列表：
i＝1
xiyi－5 x y
2 2 x － 5 x i 5
5
其中，b＝
112.3－5×4×5 12.3 ＝ ＝ ＝1.23 10 90－5×42
i＝1
a＝ y －b x ＝5－1.23×4＝0.08. (2)回归直线方程为 y＝1.23x＋0.08. 当 x＝1 时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38. 即使用年限为 10 年时，维修费用约为 12.38 万元．
x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y 与 x 线性相关． (1)求回归直线方程 y＝bx＋a 中 a 与 b 的值； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
【思路探究】
先求出回归直线方程．若回归方程为 y
＝bx＋a，则在 x＝x0 处的估计值为 y0＝bx0＋a.
x1y1＋x2y2＋…＋x6y6－6 x y ∴b＝ 2 2 2 x2 ＋ x ＋ … ＋ x － 6 x 1 2 6 35 115 3 474－6× 3 × 3 ＝ 35 2 ≈1.68， 1 286－6× 3 a＝ y －b x ≈18.73， 即所求的线性回归方程为 y＝1.68x＋18.73.
最小二乘法
【问题导思】 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺 陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：
转速 x(转/秒) 每小时生产有缺 陷的零件数 y(件)
16 11
14 9
12 8
8 5
1.在平面直角坐标系中作出散点图．
【提示】
2．从散点图中判断 x 和 y 之间是否具有相关关系？ 【提示】 有．
(4)将上述有关结果代入公式 x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y b＝ 2 2 2 2 x ＋ x ＋ … ＋ x － n x 1 2 n a＝ y －b x 求 b、a，把 b、a 代入方程 y＝a＋bx，写出回归方程．
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和新房屋的面 积 x 的数据：
新房屋面积 115 110 80 135 105 2 /m 销售价格/ 24.8 21.6 18.4 29.2 22 万元
(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程．
【解】 (1)作出散点图如下图所示：
线性回归方程的应用
假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维 修费用 y(万元)有如下统计资料：
●教学建议 从全章的内容上看，线性回归方程的建立不仅是本节的 难点，也是本章内容的难点之一．线性回归是最简单的回归 分析，学好回归分析是学好统计学的重要基础．在教学中要 注意培养学生自学能力和数学阅读能力．
●教学流程
演示结束
课 1.了解最小二乘法的思想及意义 标 (重点)． 解 2．会求线性回归方程并进行简单 读 应用(难点).
1．本题中正确求出回归直线方程后，可预测使用年限为 5 年、10 年、15 年、20 年等时总支出费用的值，当然这仅是 一种分析预测，事实上，可能因其他因素会产生偏差，我们 认为 12.38 万元仅是一种估计． 2．利用线性回归方程进行回归分析，在实际问题中，应 先正确求出回归直线方程，然后才能准确求解．当一个变量 确定时，另一变量的值，也才能准确分析和预测．
最小二乘估计
●三维目标 1．知识与技能 利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想 及回归方程系数公式的推导过程，利用电子表格求出回归直 线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回 归直线方程含义的理解．
2．过程与方法 (1)通过自主探究体会数形结合、类比及最小二乘法的数 学思想方法． (2)通过动手操作培养学生观察、 分析、 比较和归纳能力， 引出利用计算机等现代化教学工具的必要性． 3．情感、态度与价值观 类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系， 增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意 识．利用计算机让学生动手操作，合作交流激发学生的学习 兴趣．
3．若转速为 10 转/秒，能否预测机器每小时生产缺陷的 零件件数？ 【提示】 方程后可预测． 可以．根据散点图作出一条直线，求出直线
利用最小二乘法估计时，要先作出数据的 散点图 ．如果 散点图呈现一定的规律性， 我们再根据这个规律进行拟合． 如 果散点图呈现出线性关系，我们可以用 最小二乘法 估计出 线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就 要利用其他的曲线进行拟合．
1．知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验， 否则，应首先进行相关性检验，如果两个变量之间本身不具 有相关关系，即使求出回归方程也是毫无意义的．
2．求线性回归方程的步骤 (1)计算平均数 x 、 y ； (2)计算 x1y1＋x2y2＋…＋xnyn；
2 2 (3)计算 x2 1＋x2＋…＋xn；
本点分布在某条直线附近，则两变量之间是有线性关系．
【自主解答】 (1)散点图如图所示：
可知气温与游客数量呈线性相关关系，下面求其回归直 线方程．
70 35 230 115 ∵x＝ 6 ＝ 3 ，y＝ 6 ＝ 3 ，
2 2 x1 ＋x2 ＋ … ＋ x 2 6
＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286， x1y1＋x2y2＋…＋x6y6 ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.
线性回归方程
求线性回归方程
下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比 表：
平均气温 (℃ )
－ 4 10 13 18 26 1
数量(百个) 20 24 34 38 50 64
试判断游客数量与平均气温对应两个变量是否线性相 关，若线性相关，求出其回归直线方程．
【思路探究】
确定横、纵轴的意义画出散点图，若样
●重点难点 重点： 利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关 系，了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出 回归方程. 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解 根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归直线 方程．学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且 掌握了一定的计算机基础，主要是电子表格的使用．要找准 学生知识的切入点．
【自主解答】 (1)列表：
i＝1
xiyi－5 x y
2 2 x － 5 x i 5
5
其中，b＝
112.3－5×4×5 12.3 ＝ ＝ ＝1.23 10 90－5×42
i＝1
a＝ y －b x ＝5－1.23×4＝0.08. (2)回归直线方程为 y＝1.23x＋0.08. 当 x＝1 时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38. 即使用年限为 10 年时，维修费用约为 12.38 万元．
x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料知，y 与 x 线性相关． (1)求回归直线方程 y＝bx＋a 中 a 与 b 的值； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
【思路探究】
先求出回归直线方程．若回归方程为 y
＝bx＋a，则在 x＝x0 处的估计值为 y0＝bx0＋a.
x1y1＋x2y2＋…＋x6y6－6 x y ∴b＝ 2 2 2 x2 ＋ x ＋ … ＋ x － 6 x 1 2 6 35 115 3 474－6× 3 × 3 ＝ 35 2 ≈1.68， 1 286－6× 3 a＝ y －b x ≈18.73， 即所求的线性回归方程为 y＝1.68x＋18.73.
最小二乘法
【问题导思】 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺 陷．按不同转速生产出有缺陷的零件的统计数据如下：
转速 x(转/秒) 每小时生产有缺 陷的零件数 y(件)
16 11
14 9
12 8
8 5
1.在平面直角坐标系中作出散点图．
【提示】
2．从散点图中判断 x 和 y 之间是否具有相关关系？ 【提示】 有．
(4)将上述有关结果代入公式 x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n x y b＝ 2 2 2 2 x ＋ x ＋ … ＋ x － n x 1 2 n a＝ y －b x 求 b、a，把 b、a 代入方程 y＝a＋bx，写出回归方程．
以下是某地搜集到的新房屋的销售价格 y 和新房屋的面 积 x 的数据：
新房屋面积 115 110 80 135 105 2 /m 销售价格/ 24.8 21.6 18.4 29.2 22 万元
(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程．
【解】 (1)作出散点图如下图所示：
线性回归方程的应用
假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维 修费用 y(万元)有如下统计资料：
●教学建议 从全章的内容上看，线性回归方程的建立不仅是本节的 难点，也是本章内容的难点之一．线性回归是最简单的回归 分析，学好回归分析是学好统计学的重要基础．在教学中要 注意培养学生自学能力和数学阅读能力．
●教学流程
演示结束
课 1.了解最小二乘法的思想及意义 标 (重点)． 解 2．会求线性回归方程并进行简单 读 应用(难点).
1．本题中正确求出回归直线方程后，可预测使用年限为 5 年、10 年、15 年、20 年等时总支出费用的值，当然这仅是 一种分析预测，事实上，可能因其他因素会产生偏差，我们 认为 12.38 万元仅是一种估计． 2．利用线性回归方程进行回归分析，在实际问题中，应 先正确求出回归直线方程，然后才能准确求解．当一个变量 确定时，另一变量的值，也才能准确分析和预测．