6.6 正弦函数的图象与性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第六章三角函数

【解析】 (1)y＝sin 2xcos 2x＝12×2sin 2xcos 2x＝12sin4x，
周期 T＝2|ωπ|＝2π 4 ＝π2 ，值域－21，12
(2)y＝sin(2x－30°)·cos 30°＋cos(2x－30°)·sin 30°＝sin(2x－30° ＋30°)＝sin 2x，
周期 T＝2|ωπ|＝2π 2 ＝π，值域[－1，1]
(2)最小正周期是 T＝2|ωπ|； (3)函数 y＝Asinωx 是奇函数．
学一学
例1 用描点法画出函数y＝sinx－2在区间[0，2π]上的简图，并求 它的最大值和最小值． 【分析】 作简图一般用“五点作图法”，即作出区间的五个四等分
点：0、π2 、π、3π 2 、2π对应的函数值所对应的点．由图象就可以看 出函数的最值了．
【融会贯通】 先填写下表，再画出下列函数 y＝2sinx 在区间[0，2π]
上的简图，并写出函数的最值．
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx y＝2sinx
【解析】 ∵当 sinx＝1 时，y＝2；当 sinx＝－1 时，y＝－2，
∴ymax＝2，ymin＝－2.
x
0
π π 3π
2
2
2π
sinx 0 1 0 －1 0
【解析】 最小正周期为 T＝2|ωπ|＝2π 3 ；当 sin3x＋π4＝1 时有最大值14.
8．函数f(x)＝bsinx－1，若f(2)＝1，则f(－2)＝___－__3__． 【解析】 f(x)＝bsinx－1，f(2)＝bsin 2－1＝1，得 bsin 2＝2.
f(－2)＝bsin(－2)－1＝－bsin 2－1＝－3.
例4 函数f(x)＝3－2sinx是(
)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【分析】 判断函数奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，然后
求出 f(－x)，再根据奇偶性的定义来确定函数奇偶性．
第一步：函数的定义域为 x∈R，关于原点对称，
第二步：f(－x)＝3－2sin(－x)＝3－2(－sinx)＝3＋2sinx， 则 f(－x)≠f(x)，且 f(－x)≠－f(x)， 第三步：函数 f(x)＝3－2sinx 为非奇非偶函数，故选 C. 【答案】 C
【融会贯通】 函数 f(x)＝xsinx 的奇偶性是( B )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 第一步：函数的定义域为 x∈R，关于原点对称，第二步：
f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x，则 f(－x)＝f(x)，第三步：函数为偶函
数，故选 B.
例5 比较大小． (1)sin－π7 与 sin－π8 ；(2)sin160°与 sin260°. 【分析】 考查 y＝sinx 的单调性，关键是判断两个数在增区间 －π2 ，π2 还是减区间π2 ，3π 2 内．
【解】
π π ππ (1)因为－ 2 ＜－ 7 ＜－ 8 ＜ 2 ，则
y＝sinx
在－π2 ，π2 上是
增函数，
故 sin－π7 ＜sin－π8 . (2)因为 90°＜160°＜260°＜270°，则 y＝sin x 在[90°，270°]上
是减函数，
故 sin 160°＞sin 260°.
【融会贯通】 下列正确的是( A )
5．函数 y＝12sin3x 为__奇____函数(填“奇”或“偶”)． 【解析】 正弦型函数 y＝12sin3x 是奇函数．
6．sinπ7 __＜____sinπ6 (填＞或＜)．
【解析】
ππππ ∵－ 2 ＜ 7 ＜ 6 ＜ 2 ，y＝sinx
在－π2 ，π2 上是增函数
ππ ∴sin 7 ＜sin 6 .
9．比较大小：sin 190°____＞__sin 260°；sin 290°______s＜in300°. 【解析】 ∵180°＜190°＜260°＜270°，即在第三象限，正弦函数 是减函数，∴sin 190°＞sin 260°.∵270°＜290°＜300°＜360°， 即在第四象限，正弦函数是增函数，∴sin 290°＜sin 300°.
A．[－1，1]
B.12，1
C.
23，1
D.12，
3
2
【解析】
y＝cosπ2 －x＝sinx，x∈π6 ，2π 3 ，根据图象最大值
π sin 2 ＝
1∴最小 sinπ6 ＝12，值域12，1，故选 B.
5．若 y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω＞0)的部分
图象如图所示，则 ω＝( B )
1．函数sinx＝a，则a的范围是( A )
A．[－1，1]
B．[－2，2]
C．(－1，1)
D．R
【解析】 ∵－1≤sinx≤1，∴－1≤a≤1，∴a的范围是[－1，1]，故选
A.
2．函数y＝2sinx的最小正周期是___2_π___，值域是___[－__2_，__2_]___． 【解析】 T＝2π，－1≤sinx≤1⇒－2≤2sinx≤2.
12．已知 y＝asinx＋b(a＞0)的最大值为 3，最小值为－1，求 a 和 b. 【解析】 因为 y＝asinx＋b(a＞0)的最大值为 3，最小值为－1，所以 aa＋ －bb＝ ＝31，解得 a＝2，b＝1
3．已知函数y＝sinωx(ω为正数)的周期为2π，则ω＝___1___．
【解析】 根据题意得 T＝2|ωπ|＝2π，∵ω＞0，∴ω＝1.
4．若 α∈[0，2π]，sinα＝12，则α＝___π6__或__56_π____． 【解析】 ∵α∈[0，2π]，sinα＝12＞0，∴α在第一，第二象限， ∴α＝π6 或56π.
当 sinx＝1 时，y＝1－2＝－1；
当 sinx＝－1 时，y＝1＋2＝3， 故 ymax＝3，ymin＝－1，值域为[－1，3]．
π (2)当 sinx＝1，即 x＝ 2 ＋2kπ(k∈Z)时，y 取最小值－1； 当 sinx＝－1，即 x＝32π＋2kπ(k∈Z)时，y 取最大值 3. 故{x|x＝π2 ＋2kπ(k∈Z)}，ymin＝－1；{x|x＝32π＋2kπ(k∈Z)}，ymax ＝3.
10．使 sinx＝3a－1 有意义的 a 的取值范围为___[0_，__23_]___． 【解析】 要使 sinx＝3a－1 有意义，则－1≤3a－1≤1，∴0≤a≤23.
三、解 答 题
11．求下列函数的值域和周期． (1)y＝sin2xcos2x； (2)y＝sin(2x－30°)·cos 30°＋cos(2x－30°)·sin 30°.
奇偶性 奇函数，函数图象关于原点对称
单调性
在区间－π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ，k∈Z(一、四象限) 上是增函数； 在区间π2 ＋2kπ，32π＋2kπ，k∈Z(二、三象限) 上是减函数
知识点1 知识点2 知识点3
3.正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B (1)最大值是|A|＋B，最小值是－|A|＋B；
【解】 ① 列表
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx
0 1 0 －1 0
y＝sinx－2 －2 －1 －2 －3 －2
② 描点，连线，得 y＝sinx－2 在区间[0，2π]上的简图 当 sinx＝1 时，y＝1－2＝－1； 当 sinx＝－1 时，y＝－1－2＝－3， 故 y 的最大值是－1，最小值是－3.
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
【解析】 函数 f(x)＝3sin 2x，x∈R，其最小正周期为 T＝2|ωπ|＝2π 2 ＝
π，又 f(－x)＝3sin(－2x)＝－3sin 2x＝－f(x)，故函数 f(x)为奇函数，
故选 C.
4．函数 y＝cosπ2 －x在区间π6 ，2π 3 上的值域是( B )
(2)因为 y＝(sinx＋cosx)2＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＝1＋sin2x，
所以最小正周期 T＝2|ωπ|＝2π 2 ＝π，故选 B.
【答案】 (1)A；(2)B
【融会贯通】 (1)下列函数中，最小正周期为π的是( C )
A．y＝sinx B．y＝cosx 【解析】y＝sinx 和 y＝cosx
【解析】 化简可得 f(x)＝sin(x－3x)＝sin(－2x)，T＝2|ωπ|＝π，故选
C.
例3 已知函数y＝1－2sinx. (1)求函数的周期和值域； (2)写出当y取最大值和最小值时x的值集合． 【分析】 考查正弦函数的性质，求y的最值时x的取值通过看图像 来做，容易理解记住．
(1)T＝2|ωπ|＝2π 1 ＝2π.
的C周．期y是＝22cπos，2xy＝sinDx2的．周y＝期si是nx2T＝2|ωπ|＝
2π 1 ＝4π，y＝2cos2x＝1＋cos 2x，T＝2|ωπ|＝π，故选 C.
2
(2)函数 f(x)＝sinxcos3x－cosxsin3x 的最小正周期为( C )
π A. 2
2π B. 3
C．π
D．2π
6.6 正弦函数的图象与性质
知识点1 知识点2 知识点3
1．正弦曲线 定义：正弦函数y＝sinx的图象叫做正弦曲线．
知识点1 知识点2 知识点3
2．正弦函数y＝sinx的性质 三角函数性质
正弦函数 y＝sinx
五点法
(0，0)，π2 ，1，(π，0)，3π2 ，－1， (2π，0)
在[0，2π]上的简图
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 根据图象得知：周期为 4×π2 －π4 ，
故选 B.
第 5 题图
6．函数 y＝－sinx，x∈－π2 ，3π 2 的简图是( D )
A
B
C
D
【解析】 ∵sin－π2 ＝－1，sin3π 2 ＝－1，故选 D.
二、填 空 题
7．函数 y＝14sin3x＋π4 的最小正周期为___2_π 3___；最大值为___14___．
A．sin5π 7 ＞sin6π 7
B．sin5π 7 ＜sin6π7
ππ C．sin 4 ＞sin 3
D．sin5π 3 ＞sin116π
【解析】 ∵π2 ＜5π 7 ＜6π 7 ＜3π 2 ，y＝sinx 在π2 ，3π 2 上是减函数， ∴sin5π 7 ＞sin6π 7 ， ∵3π 2 ＜5π 3 ＜116π＜2π，y＝sinx 在3π 2 ，2π上是增函数， ∴sin5π 3 ＜sin116π.故选 A.
y＝2sinx 0 2 0 －2 0
例2 (1)若函数 f(x)＝4sinωx(ω 为正数)的最小正周期为 6π，则 ω
＝(
)
1 A.3
2 B.3
C．1
D．2
(2)函数 y＝(sinx＋cosx)2 的最小正周期是(
)
π A. 2
B．π
C．2π
D．4π
【分析】 首先化简为正弦型函数，再用周期公式 T＝2|ωπ|求解即可． (1)T＝2|ωπ|＝6π，所以 ω＝13，故选 A.
知识点1 知识点2 知识点3
定义域 R 值域是[－1，1]； 当 x＝π2 ＋2kπ(k∈Z)时，y＝sinx 取最大值 1；
值域与最值 当 x＝32π＋2kπ(k∈Z)时，y＝sinx 取最小值 －1
知识点1 知识点2 知识点3
周期性 周期 T＝2kπ，k∈Z 且 k≠0；最小正周期 T＝2π
【融会贯通】 求函数 y＝2＋sin2x 的周期、最大值和最小值及对应 的 x 的值．
解：(1)周期 T＝2|ωπ|＝π
当 sin2x＝1 时，y＝2＋1＝3； 当 sin2x＝－1 时，y＝2－1＝1. ∴ymax＝3，ymin＝1.
(2)当 sin 2x＝1，即 x＝π4 ＋kπ(k∈Z)时，y 取最大值 3；当 sin2x＝ －1，即 x＝3π 4 ＋kπ(k∈Z)时，y 取最小值 1. 故x|x＝3π 4 ＋kπ，k∈Z，ymin＝1；x|x＝π4 ＋kπ，k∈Z，ymax＝3.
C.x|x＝π2 ＋kπ，k∈Z
D.x|x＝－π2 ＋kπ，k∈Z
【解析】 y＝8＋sinx 取最大值时，sinx＝1，此时 x 的取值集合为{x|x
＝π2 ＋2kπ，k∈Z}，故选 A.
3．函数 f(x)＝3sin2x(x∈R)是( C )
π
π
A．最小正周期为 2 的偶函数 B．最小正周期为 2 的奇函数
一、选 择 题
1．函数 y＝12sinx＋12的最大值为( B )
3最大值
【解析】 y＝sinx 的最大值为 1，则 y＝12sinx＋12的最大值为 ymax＝12×
1＋12＝1，故选 B.
2．函数 y＝8＋sinx 取得最大值时，x 的取值集合为( A )
A.x|x＝π2 ＋2kπ，k∈Z B.x|x＝－π2 ＋2kπ，k∈Z