高考数学压轴题常考题型举例(创新型函数)

高考数学压轴题常考题型举例（创新型函数）
1.在R 上定义运算
()()1
:43p q p c q b bc ⊗⊗=-
--+（b 、c 为实常数）。

记
()212f c
χχ=-，
()22f b
χχ=-，R χ∈.令
()()()
21f f f χχχ=⊗.
（Ⅰ）如果函数()f χ
在1χ=处有极值4
3-
,试确定b 、c 的值；
（Ⅱ）求曲线()
y f χ=上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记
()()()
|11g x f x x '=-≤≤的最大值为M .若M k ≥对任意的b 、c 恒成
立，试示k 的最大值。

解：∵
()()()()()2321211
33433f x f x f x x c x b bc x bx cx bc =⊗=-
--+=-+++∴
()22f x x bx c
'=-++
（Ⅰ）由()f x
在1x =处有极值4
3-
，可得
()()112014
133f b c f b c bc '⎧=-++=⎪
⎨=-+++=-⎪⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩或13b c =-⎧⎨=⎩ 若11b c ==-，，则()()2
22110
f x x x x '=-+-=--≤，此时()
f x 没有极值；
若13b c =-=，，则()()()22313f x x x x x '=--+=--+。

当x 变化时，
()
f x 、
()
f x '的变化情况如下表：
∴当1x =是，()f x
有极大值4
3-
，故13b c =-=，即为所求。

（Ⅱ）设曲线()
y f x =在x t =处的切线的斜率为c ，
∵
()22f x x bx c
'=-++，∴22t bt c c -++=，即2
20t bt -=。

解得0t =或2t b =。

若0t =，则
()0f bc
=，得切点为(
)
0,bc ，切线方程为y cx bc =+；
若2t b =，则()34
233f b b bc
=+，得切点为342,33b b b c ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，切线方程为
3
4
3
y c x b c
b =++。

若32321
303x bx cx bc cx bc x bx -+++=+⇔-=，解得120x x ==，33x b =，
则此时切线y cx bc =+与曲线
()
y f x =的公共点为(
)
0,bc ，(
)
3,4b bc ；
(2)若32332314
340
33x bx cx bc cx bc b x bx b -+++=++⇔-+=，
解得122x x b ==，3x b =-，此时切线
3
43y cx bc b =++与曲线()y f x =的公共点为342,33b b bc ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭，34,3b b ⎛
⎫- ⎪⎝⎭。

综合可知，当0b =时，斜率为c 的切线与曲线
()
y f x =有且只有一个公共点
()0,0；当0b ≠，斜率为c 的切线与曲线()y f x =有两个不同的公共点，分别为
()0,bc 和()3,4b bc 或342,33b b bc ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，34,3b b ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭。

（Ⅲ）()()()2
2g x f x x b b c
'==--++
(1)当
1
b >时，函数()y f x '=的对称轴x b =位于区间[1,1]-外，()f x '在[1,1]-上
的最值在两端点处取得，故M 应是()
1g -和
()
1g 中较大的一个。

∴
()()211121244
M g g b c b c b ≥+-=-+++--+≥>，即∴2M >
(2)当
1()
b y f x '≤=时，函数得对称轴x=b 位于区间[1,1]-之内
此时max{(1),(1),()}M g g g b =-
由
2
(1)(1)4,()(1)(1)0f f b f b f b ''''--=-±=≥m 有 若10,max{(1),()}b g g b '''-≤≤≤≤∴≤-则f (1)f (-1)f (b),
g(-1) 于是
2111
max{(1),()}((1)())((1)())(1)222M f f b f f b f f b b ''''''=-≥
+≥-=-
若01b ≤≤，则，max{(1),()}g g b ∴≤-g(1)
于
是
2
1m
a 2M f '
'
=-
综上，对任意的b 、c 都有
12M ≥
而当，
10,2b c ==
时，
21()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M = 故M K ≥对任意的b ，c 恒成立的k 的最大值为1
2 。

例2．设函数
()1(0)
11[][[][x x
f x x x x x x
+=
>⋅]++]+1
,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,
如1
[2]=2,[]0,[1.8]1
3==. (Ⅰ)求3()
2f 的值;
(Ⅱ)若在区间[2,3)上存在x,使得()f x k ≤成立,求实数k 的取值范围; (Ⅲ)求函数()f x 的值域.
解:(Ⅰ)因为32[]1,[]0
23==,所以3231323().
3232212[][][][]12323f +
==⋅+++ (Ⅱ)因为23x ≤<,所以1
[]2,[]0
x x ==,
则
11()()3f x x x =+. 求导得211
()(1)
3f x x '=-,当23x ≤<时,显然有()0f x '>,
所以()f x 在区间[2,3)上递增, 即可得()f x 在区间[2,3)上的值域为510[,)
69,
在区间[2,3)上存在x,使得()f x k ≤成立,所以
56k ≥
(Ⅲ)由于()f x 的表达式关于x 与1
x 对称,且x >0,不妨设x ≥1.
当x =1时,1x =1,则
()1
12f =
; 当x >1时,设x = n +α,n ∈N*,0≤α<1. 则[x ]= n,10
x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以()1
()1n n f x f n n ααα+++=+=+
()1g x x x =+设,'21
()10,g x x =->
()
g x 在[1,+∞)上是增函数,又1n n n α≤+<+,
11n n n n n n αα1
∴+
≤++<+1+++1,
当2x ≥时,()()1111,,2
11n n n n n f x I n n n n ⎡
⎫
+++
⎪⎢+∈=∈≥⎪⎢
++⎪⎢⎪
⎣⎭*N
当(1,2)x ∈时,()15
(1,
4f x I ∈)= 故(1,)x ∈+∞时,()f x 的值域为I1∪I2∪ (I)
∪…
设
()()
2
2111111,11111n n n n n n n a b n n n n n +
++++====+++++, 则
[)
,n n n I a b =.
()()
12
12n n n a a n n n +--=
++, ∴当n ≥2时,a2= a3< a4<…< an <…
又bn 单调递减,∴ b2> b3>…> bn >… ∴[ a2,b2)= I2⊃
≠I3⊃
≠I4⊃
≠…⊃
≠In ⊃
≠
[)[)1112225510,1,
,,,46
9I a b I a b ⎡
⎫⎡⎫====⎪⎪⎢⎢⎣
⎭⎣⎭ ∴ I1∪I2∪…∪In ∪…=I1∪I2 =5510551,
,,46964⎡⎫
⎡⎫⎡⎫
=⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭
⎣⎭⎣
⎭.
综上所述,()
f x 的值域为15
5,26
4⎧⎫⎡⎫⎨⎬
⎪⎢⎩⎭
⎣⎭
例 3.我们用},,,min{21n s s s 和},,,max{21n s s s 分别表示实数n
s s s ,,,21 中的最小者和最大者.
（1）设}c o s ,m
i n {s i n )(x x x f =，}cos ,max{sin )(x x x g =，]2,0[π∈x ，函数)
(x f
的值域为A ，函数)(x g 的值域为B ，求B A ；
（2）提出下面的问题：设1a ，2a ，…，n a 为实数，R x ∈，求函数
||||||)(2211n n x x a x x a x x a x f -++-+-=
（R x x x n ∈<<< 21）的最小值或最大值．为了方便探究，遵循从特殊到一般的原则，先解决两个特例：求函数|1||1|3|2|)(--+++=x x x x f 和
|
2|2|1|4|1|)(-+--+=x x x x g 的最值。

得出的结论是：)}
1(),1(),2(min{)]([min f f f x f --=，
且
)
(x f 无最大值；
)}2(),1(),1(max{)]([max g g g x g -=，且)(x g 无最小值．请选择两个学生得出的结论中的一个，说明其成立的理由；
（3）试对老师提出的问题进行研究，写出你所得到的结论并加以证明（如果结论是分类的，请选择一种情况加以证明）．
解：（1）
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22,1A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,22B ，∴ ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=22,22B A ． （2）若选择学生甲的结论，则说明如下，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+≤<-+-≤<----≤--=1,6311,4512,22,63)(x x x x x x x x x f ，于是)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在]1,2[--上是减函数，在]1,1[-上是增函数，在),1[+∞上是增函数，所以函数)
(x f 的最小值是)}1(),1(),2(min{f f f --，且函数)(x f 没有最大值． 若选择学生乙的结论，则说明如下，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>+-≤<+-≤<-+-≤-=2,121,9511,131,
1)(x x x x x x x x x g ，于是)(x g 在区间]1,(--∞上是增函数，在]1,1[-上是增函数，在]2,1[上是减函数，在),2[+∞上是减函数． 所以函数)(x g 的最大值是)}2(),1(),1(max{g g g -，且函数)(x g 没有最
小值．
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（3）结论：
若021>+++n a a a ，则)}(,),(),(min{)]([21min n x f x f x f x f =； 若021>+++n a a a ，则=max )]([x f )}(,),(),(max{21n x f x f x f ； 若021=+++n a a a ，则)}(,),(),(min{)]([21min n x f x f x f x f =， =max )]([x f )}(,),(),(max{21n x f x f x f 以第一个结论为例证明如下：
∵ 021>+++n a a a ，∴ 当],(1x x -∞∈时，
)()()(221121n n n x a x a x a x a a a x f +++++++-= ，是减函数，
当),[+∞∈n x x 时，)()()(221121n n n x a x a x a x a a a x f +++-+++= ，是增函数 当],[1n x x x ∈时，函数)(x f 的图像是以点))((11x f x ，))(,(22x f x ，…，))(,(n n x f x 为端点的一系列互相连接的折线所组成， 所以有)}(,),(),(min{)]([21min n x f x f x f x f =．。