高三数学-2018年高考仿真试题五数学理 精品

普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷
数 学 理工农医类(五)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.解析: (
U A )
(U B )={2,5} {1,4}=∅. 答案: A
2.解析: x ∈［－2,3］,∴x +1∈［－1,4］. 令－1≤2x －1≤4,解得x ∈［0,
2
5
］. 答案: A 3.解析: 如图,A (0,0)、B (4,2)、C (3,4),延长CB 交x 轴于D ,则D (5,0). S △ABC =S △ACD －S △ABD =
2
1
×5×(4－2)=5(平方单位).
4.解析:通项T r +1=(-1)r
r n
C x
-(n-r )
(x x )r =(-1)
r
r n
C ·n r x -2
5(r =0,1,…,n ).
又
2
5r -n =4,r <n ,n ∈N *,当n =6时,r =4<6. 答案:C
5.解析: a 6=2111a a +,b 6=111b b ,b i >0,q ≠1, ∴b 1≠b
6. ∴a 6=2
111b
b +>111b b =b 6.答 B
6解析: f (x )=cos 2(2x －4π)+sin 2(2x +4π)－1=21cos(x －2π)－21
cos(x +2
π)=sin x , f (－x )=
sin(－x )=－sin x =－f (x ),是奇函数,
最小正周期T =
1
π
2=2π. 答案: C 7.解析: 如下图,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BC ,此时垂直直线对数最多,为3对,即AB 与BC ,AB 与CD ,BC 与CD .(注:AB 与BD 不符合题目要求)
A
B
C
D
答案: B
8.解析: 21F PF S ∆=b 2cot
2θ=1,θ∈(0,π), ∴cot 2
θ
=1,θ=90°.∴1PF ·2PF =0.答案: A 9.解析: x i 区的人口密度为a i (i =1,2,…,7),a 1=192.30,a 2=297.20,a 3=229.40,a 4=254.18,a 5=
309.57,a 6=323.00,a 7=330.50. 答案: D
10.解析: 延长AM 至D 交BC 于E ,使AE =ED ,AD =3AM .
又ABCD 为平行四边形,∴3AM +CA =CA +AD =CD =AB .答案: D
11.解析: 7个球投入两个盒中有27种投法,其中一个盒空的投法有2种,一盒中仅有一个
的投法有12C ×1
7C =14种,符合题意的方法有27－2－14=112(种).答案: B
12.解析: f (x )=2+x +k =x 有两不等实根.
x
y
A B
C D
x 2－(2k +1)x +k 2
－2=0(⎩⎨⎧≥-≥k x x 2),故⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
≥--+-+-≥--+-+>--+.
2)2(4)12(12,22)2(4)12(12,0)2(4)12(222222k k k k k k k k k 解得k ∈(－
4
9
,－2]. 答案: D 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上) 13.解析: 频率=0.18×(9－5)=0.32;
频数=0.09×(13－9)×200=72. 答案: 0.32 72 14.解析: a +2i=
i -3i
1b +-, 所以3a +2+(6－a )i=－1+b i,⎩⎨⎧=--=+,
6,123b a a ⎩
⎨⎧=-=.7,
1b a ∞→n lim n n n
n
b a b a +-=∞→n lim n n n
n
7)1(7)1(+---=∞→n lim 1)7
1(1
)71
(+---n
n =－1. 答案: －1 15.解析: 设重心(x ,y ),此时P (x 0,y 0),则⎩⎨
⎧=++-=++-,
301,
30100y y x x ⎩⎨
⎧+=+=.
13,
1300y y x x P 在抛物线上,3y +1=(3x +1)2+1.整理得y =3x 2+2x +
31.答案: y =3x 2+2x +31
16.解析: 在平面ABC 上射影为②,在平面BCD 上射影为③.答案: ②③
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解:由a 2
<b 2
+c 2
知cos A =bc
a c
b 2222-+>0, ∴A 为锐角.
∵2tan 2cot cos 2
A A A -=2
sin 2cos 2cos
2sin
cos 222A A A A A -⋅=cos A 21sin A =41sin2A ,∴41sin2A =51.∴sin2A =54. 6` ∵sin 2A +cos 2A =1,2sin A cos A =
54,∴(cos A －sin A )2=1－54=5
1
.∴cos A －sin A =±55.12分
18.(1)解:求f (x )的导数:f ′(x )=－21
x ,由此得切线l 的方程y －(111x ax -)=－2
1
1x (x －x 1).5分
(2)证明:依题意,切线方程中令y =0,x 2=x 1(1－ax 1)+x 1=x 1(2－ax 1).
其中0<x 1<
a 2
. ①由0<x 1<a 2,x 2=x 1(2－ax 1),有x 2>0及x 2=－a (x 1－a 1)2+a
1
.
故0<x 2≤a 1,当且仅当x 1=a 1时,x 2=a
1. 8分
②当x 1<
a 1时,ax 1<1,因此x 2=x 1(2－ax 1)>x 1,且由①x 2<a 1. 综上x 1<x 2<a
1
.
12分
P A B
C
D
E
G
F
M
19.解法一:(1)在AB 上取一点E ,使得AE =1,则CE ∥AD . 又∵AB =4AE ,PB =4PM ,∴EM ∥PA .
∴平面PAD ∥平面MEC . ∴MC ∥平面PAD .
4
分
(2)分别取PA 和AD 的中点F 、G , 连结BF 、FG 、BG .
∵PB 与平面ABC 成30°角, ∴∠PBC =30°. ∴PB =4,PB =AB . ∴BF ⊥AP . 又∵FG =
21DP =2
122
21 =
25, ∵AB ⊥面PBC ,∴AB ⊥PB ,BF =22. 在直角梯形ABCD 中,计算得BG =
2
37
. ∵FG 2+BF 2=BG 2, ∴BF ⊥FG ,
∴BF ⊥平面PAD .
∴面PAB ⊥面PAD . 8分
(3)过点M 在平面PAB 内作MN ∥PA ,
∴点M 到面PAD 的距离即为点N 到面PAD 的距离. 再过点N 作NO ⊥PA ,由面PAB ⊥面PAD , ∴NO 即为点N 到面PAD 的距离. ∴NO =2=
2
BF
. ∵NO ∥BF ,∴点N 为AB 的中点.∴点M 为PB 的中点. 或直接作MN ⊥PA 于点N ,MN =2=2
BF
. 又MN ∥BF ,∴N 为PF 的中点. ∴点M 为PB 的中点.
12分
P A
B
C D x y
z M
解法二:(1)以C 为原点,CD 、CB 、CP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系, ∵PC ⊥平面ABCD , ∴∠PBC =30°. ∵|PC |=2,
∴|BC |=23, |PB |=4.
∴D (1,0,0)、B (0,23,0)、A (4,23,0)、P (0,0,2). ∵PB =4PM ,∴M (0,
23, 23),CM =(0,23, 2
3), DP =(－1,0,2),DA =(3,23,0).
设CM =x DP +y DA (x 、y ∈R), 则(0,
23, 2
3
)=x (－1,0,2)+y (3,23,0), ∴⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
===+-.232,2332,03x y y x ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧==.41,43
y x
∴CM =
43DP +4
1
DA . ∴CM 、DP 、DA 共面. ∵C ∉平面PAD ,
∴CM ∥平面PAD . 4
分
(2)作BE ⊥PA 于E , ∵PB =AB =4,
∴E 为PA 的中点. ∴E (2,
3,1), BE =(2,－3,1).
∵BE ·DA =(2,－3,1)、(3,23,0)=0,
∴BE ⊥DA .又BE ⊥PA ,
∴BE ⊥面PAD .∴面PAB ⊥面PAD .
8分
(3)设MP =λBP =λ(0,－23,2)=(0,－23λ,2λ), ∵BE ⊥面PAD ,∴平面PAD 的法向量n =BE =(2,－3,1),
∴点M 到平面PAD 的距离d =
||||n MP n ⋅=8
|
8|λ=2. ∴λ=
2
1
(负的舍去),即点M 为线段PB 的中点.
12分
说明:本题主要考查空间线面关系和四棱锥等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力.
20.解:(1)n =2,N 1系统正常工作的概率:P =1－(1－r 2)2=2r 2－r 4. 2分 N 2系统正常工作的概率:P =［1－(1－r )2］2=r 4－4r 3+4r 2. 4分
(2)n ≥2,n ∈N *,N 1系统正常工作的概率:P 1=1－(1－r n )2=2r n －r 2n , N 2系统正常工作的概率:P 2=［1－(1－r )2］n =(2r －r 2)n . 6分 当n ≥2,n ∈N *时,P 1<P 2,即2r n －r 2n <(2r －r 2)n . 现用数学归纳法证明如下:
①当n =2时,P 2－P 1=2(r 2－r )2,r ∈(0,1),(r 2－r )2>0,∴P 2>P 1,命题成立. ②假设当n =k (k ≥2且k ∈N *)时命题成立, 即(2r －r 2)k >2r k －r 2k ,
则当n =k +1时,(2r －r 2)k +1－(2r k +1－r 2k +2)>(2r k －r 2k )(2r －r 2)－(2r k +1－r 2k +2)=2r 2k +2－2r 2k +1+2r k +1－2r k +2=2(1－r )(r k +1－r 2k +1),
r ∈(0,1),∴1－r >0.
又0<k +1<2k +1,∴r k +1－r 2k +1>0. ∴2(1－r )(r k +1－r 2k +1)>0.
∴P 2>P 1.故当n =k +1时命题亦成立.
综上所述,对于一切n ≥2,n ∈N *,均有(2r －r 2)n >2r n －r 2n 成立. 故P 2>P 1.从而可知,N 2系统正常工作的概率大. 12分
21(1)证明:由题得B (a ,0)、F (c ,0)(c =22b a +,|OA |·|OF |=|OB |2.
故|OA |=c a 2.∴A (c
a 2,0).
双曲线一、三象限渐近线l ′:y =a
b
x , 故l :y =－
b
a
(x －c ). 联立l ′、l 的方程解得其交点P 的坐标为(c a 2,c
ab
).
∴PA ·OP =－c ab ×c ab =－222c b a , PA ·FP =－c ab ·2c
ab
=－222c b a .
∴PA ·OP =PA ·FP ,命题得证.
6分
(2)解:设D (x 1,y 1)、E (x 2,y 2),联立l 与C 的方程消去y 得(b 4－a 4)x 2－2a 4cx －a 4c 2－a 2b 4=0. 由题设条件l 与双曲线C 的左右两支分别相交于点D 、E ,可得方程组
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<-+-=⋅>+--≠-③
②①.0,0))((4)2(,0444
224214
224442444a b b a c a x x b a c a a b c a a b 由①③得b >a >0,此时②恒成立.
故22
1a
b +∈(11+,+∞),即e ∈(2,+∞).
综上,双曲线C 的离心率的范围为(2,+∞). 12分 22.解:S n =2
1(n 2
+3n －2)－f (n ), ①
S n +1=
2
1
［(n +1)2+3(n +1)－2］－f (n +1). ② ②－①得2f (n +1)－f (n )=n +2.
③
(1)由③得2［n +1－f (n +1)］=n －f (n ), ∴2g (n +1)=g (n ),g (1)=1－f (1)=1－S 1. ∴g (1)=
21.∴g (n )=(21)n ,g (1)=21,g (2)=41,g (3)=8
1. 4分
(2)存在g (n )=n 2
1
满足题意,f (n )=n －g (n ).
现用数学归纳法证明如下: ①当n =1时,f (1)=
2
1
=g (1),∴f (1)=1－g (1),命题成立. ②假设当n =k (k ∈N *)时命题成立,
即f (k )=k －g (k ).则当n =k +1时,由③得2f (k +1)=f (k )+k +2=2k +2－g (k ), ∴f (k +1)=k +1－
21g (k )=k +1－21
×k 2
1.∴f (k +1)=k +1－g (k +1). 故当n =k +1时,命题亦成立. 综上所述,对于一切n ∈N *,当g (n )=n
21
时,f (n )=n －g (n )均成立. 故存在g (n )=
n 2
1
满足题意.
9分
(3)bn =f (n )－f (n －1)－1(n ≥2),∴b n +1=f (n +1)－f (n )－1(n ≥1). 将③代入得b n +1=n +1－f (n +1). 由(1)(2)可知b n +1=1
21+n (n ≥1).
又b 1=f (1)=
21
,故b n =n 2
1(n ∈N *). ∴∞→n lim (b 1+b 2+…+b n )= ∞→n lim ( 21+41
+…+n 21)=∞→n lim (1－n 2
1)=1. 14分。