创新数列之匙-名师揭秘2019年高考数学(理)命题热点全覆盖+(学生版)

专题18 解创新数列之匙
一．【学习目标】
1．会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法． 【知识要点】
1．数列综合问题中应用的数学思想
(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n }上的函数．
(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程． (3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．
(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 1．数列综合问题中应用的数学思想
(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集{1，2，…，n }上的函数．
(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程．
(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究．
(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等． 二．【方法总结】
1.数列模型应用问题的求解策略 (1)认真审题，准确理解题意.
(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n 项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解.
(3)验证、反思结果与实际是否相符. 2.数列综合问题的求解程序
(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解. (2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题. 三．题型典例分析 1.数列与函数的综合
例1. 设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有
，已知
112f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足，其中n S 是
数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ） A.
1
36
B. 9
C. 18
D. 36 练习1. 设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有，已知112f ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，
若一个各项均为正数的数列{}n a 满足，其中n S 是
数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（ ） A.
1
36
B. 9
C. 18
D. 36 练习2.已知
是R 上的奇函数，
，则数列{}n a 的通项公式为（ ）．
A. n a n =
B. 2n a n =
C. 1n a n =+
D.
练习3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
练习4. 数列12,,
,n a a a 是正整数1,2,
,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件：
①11a =；②当2n ≥时， (
).
记这样的数列个数为()f n . （I ）写出
的值；
（II ）证明()2018f 不能被4整除. 2特殊数列
例2.已知数列
,则2017a 一定是
A. 奇数
B. 偶数
C. 小数
D. 无理数
练习1已知数列{}n a 满足，则10a =（ ）
A. 30
e B. 40
e C. 1103
e
D. 1003
e
练习2. ．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，
，且1232a a =.记n T 为数列1n
n a S ⎧
⎫
⎨
⎬+⎩⎭的前n 项和，若，则m 的最小值为（ ）
A.
13 B. 12 C. 2
3
D. 1 3.数列的性质
例3. 已知数列则7a = （ ）
A. 12-
B. 14
C. 14-或1
D. 12
练习1. 数列{}n a 定义为10a >， 11a a =，
， *n N ∈
（1）若，求
的值；
（2）当0a >时，定义数列{}n b ，
，
，是否存在正整数(),i j i j ≤，
使得
.如果存在，求出一组(),i j ，如果不存在，说明理由.
练习2. 在数1和2之间插入n 个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为n A ，令
．
(1)数列{}n a 的通项公式为n a =____________；
(2)
=___________．
练习3. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且，
55a b =， n n
a
b 为整数的正整数n 的取值集合为． 4．数学文化与数列的应用
例4某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入()g n 是生产时间n 个月的二次函数
（k 是常数），
且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元． （1）求前8个月的累计生产净收入()8g 的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．
练习1．用分期付款的方式购买某家用电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计算．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)
参考数据：(1＋1%)19＝1.208，(1＋1%)20＝1.220，(1＋1%)21＝1.232.
练习2.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？ （ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
练习3. 某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中
，记1OA ， 2OA ， 3OA ，…， 8OA 的长度构成的数列为
，则{}n a 的通项公式n a =__________.
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练习4. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数
”
问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为_____________． 5.新定义数列
例5. 对于给定的正整数k ，如果各项均为正数的数列{}n a 满足：对任意正整数()n n k >，
总成立，那么称{}n a 是“()Q k 数列”．
（1）若{}n a 是各项均为正数的等比数列，判断{}n a 是否为“()2Q 数列”，并说明理由； （2）若{}n a 既是“()2Q 数列”，又是“()3Q 数列”，求证：
{}n a 是等比数列．
练习1 记n 项正项数列为12,,......n a a a ，其前n 项积为n T ，定义为“相对叠乘积”，如果
有2013项的正项数列的“相对叠乘积”为2013，则有2014项的数列
的“相
对叠乘积”为( )
A. 2014
B. 2016
C. 3042
D. 4027 练习2. 已知数列
具有性质P ：对任意i ，，
i j a a ⋅与
j i
a a 两数至少有一个属于A ．
（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由． （Ⅱ）求证： 11a =．
（Ⅲ）求证：．
练习3. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]1,21=，[]1,32-=-．已知数列{}n a 满足11a =，
，则
．
6.找规律
例6. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个
数是（ ）
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
练习1. ．已知等差数列{a n }中，
将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_________.
练习2. 观察如下规律：
，该组数
据的前2025项和为__________．
练习3. 如图所示的数阵中，用(),A m n 表示第m 行的第n 个数，则以此规律()8,2A 为__________．
7.项和互化的综合问题
例7. 已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且（*
n N ∈）．
（1）求2a 的值；
（2）设
，求数列{}n b 的通项公式；
（3）是否存在正整数n ，使得
3
n n
a a +为整数，若存在求出n ，若不存在说明理由. 8.分奇偶数项的讨论问题
例8. 已知数列{}n a 、{}n b ，其中， 11
2
a =，数列{}n a 满足,，数
列{}n b 满足
．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）是否存在自然数m ，使得对于任意有恒成立？若存在,求
出m 的最小值；
（3）若数列{}n c 满足，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
9.数列不等式
例9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
（p 、q 为常数， *n N ∈），又12a =， 21a =，
33a q p =-.
（1）求p 、q 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）是否存在正整数m 、n ，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ；
若不存在，说明理由.
练习1. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求证：数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）若 11a =，对任意，均有
是公差为1的等差数列，求使
12
2
k k k
S S S ++为整数的正整数k 的取值集合；
（3）记，求证：.
练习2．已知各项均为正数的数列{}n a 的的前n 项和为n S ，对*n N ∀∈，有．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令
，设{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 1n T <．
练习3. 已知曲线上有一点列
过点n P 在x 轴上的射影是n Q
,0n x （），且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝2n+1－n －2. （n ∈N*）
（1）求数列{n x }的通项公式； （2）设四边形
的面积是n S ，求n S ；
（3）在（2）条件下，求证： .
高难拉分攻坚特训(一)
1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2
的取值范围为( )
A ．(1,6)
B ．(1,5)
C ．(3,6)
D ．(3,5)
答案 D
解析 由于椭圆M ：x 2
a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以
⎩⎨⎧
a 2>6－a 2，6－a 2
>1，
解得3<a 2
<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点
P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x
a 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1
k 2
∈(3,5)，故选D.
2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－
2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．
答案 －1
解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，∴
2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2
＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2
a 1－2
＝1，∴
数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫2a n －2是以
1为首项，1为公差的等差数列，∴
2a n －2
＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2
n ，令b n ＝(a n
－2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1，
∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1
.
若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m .
易知f (n )＝4n
n ＋1在[3，＋∞)上是增函数，
∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)设直线AM 的斜率为k ， 因为∠MAF ＝∠NAF ，
所以AM ，AN 关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为－k ， 易知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，32，
所以直线AM 的方程是y －3
2＝k (x ＋1)， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y －32＝k (x ＋1)
，x 24＋y 2
3＝1，
消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0， 所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2
，
将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋3
3＋4k 2，
所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]
x 1－x 2
＝k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－8k 2
＋63＋4k 2
＋2－24k 3＋4k 2
＝－12，
所以直线MN 的方程是y ＝－1
2x ＋d ，
代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0， 所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0， 解得－2<d <2，
又因为MN 在A 点下方， 所以－1×12＋3
2>d ⇒d <1， 所以－2<d <1.
4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；
(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．
当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有1个极值点；
当0<a <1
2时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点；
当a ＝12时，f ′(x )≥0，
∴f (x )在R 上单调递增，
∴f (x )没有极值点；
当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ，
由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点．
综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，
f (x )没有极值点．
(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.
当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0，
即a ≤e x －x 2－1x
对任意的x >0恒成立． 设g (x )＝e x －x 2－1x
， 则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2
. 设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1.
∵x >0，∴h ′(x )>0，
∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，
∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2，
∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．。