苏州新区二中高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(含答案解析)

一、选择题
1．已知7
1()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则6
2a
xdx =⎰（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
2．由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
3．对于函数()sin x f x x =
， 30,2x π⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 在区间()0,π是单调函数 B ．函数()f x 只有1个极值点 C ．函数()f x 在区间0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
有极大值 D ．函数()f x 有最小值，而无最大值 4．若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为3，侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．
23
B ．
43
C ．
22
3
D ．
42
3
5．定积分2
20
[
4(2)]x x dx ---⎰的值为（ ）
A ．
2
4
π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-
6．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1
(0)y x x
=>图象下方的
阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）
A ．ln 2
B ．1ln 2-
C ．2ln 2-
D ．1ln 2+ 7．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力
相同的方向,从x=0
处运动到
(单位:
)处,则力做的功为( )．
A ．44
B ．46
C ．48
D ．50
8．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）
A ．
25
π B ．
43
C ．
32
D ．
2
π 9．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()1
01y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰
B ．()12
01x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦
⎰
C ．()1
2
1y y dy ⎡⎤--⎣⎦
⎰
D ．()10
1x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰
10．若22
2
1
1
1
1
,,,x
a e dx
b xdx
c dx x ===
⎰⎰
⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
11．由直线y= x - 4，曲线2y x =x 轴所围成的图形面积为（ ）
A ．15
B ．13
C ．
25
2
D ．
403
12．已知1
1
e
m dx x
=
⎰
，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <
D ．01a <<或0a <
二、填空题
13．由曲线2
y x
=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 14．曲线2y
x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积是_______.
15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2
x x π
==
所围成的平面图形的面积是______.
16．定积分2
2
1
1x dx x +=⎰ __________.
17．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，
1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．
18．在下列命题中 ①函数1
()f x x
=
在定义域内为单调递减函数；
②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；
③若()f x 为奇函数，则
()2()(0)a
a
a
f x dx f x dx a -=>⎰⎰；
④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；
⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.
19．已知函数2()2ln f x x x =-，若方程()0f x m +=在1
[,]e e 内有两个不等的实数根，则
实数m 的取值范围是__________． 20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6
x π
=
围成的封闭图形的面积为b ，若
2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题
21．已知函数31
()ln 2
f x x ax x =--()a R ∈.
（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围； （2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e
.
22．求曲线y =
2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.
23．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.
（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值； （II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+1
2
x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；
（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
24．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 25．
已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；
（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·
26．如图，阴影部分区域是由函数cos y x =图象，直线1,y x π==围成，求这阴影部分区域面积。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得7
6
2xdx ⎰
的值.
【详解】
在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
， 令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为1
77C =，即7a =.所以
726
7
6
6
2213a
xdx xdx x
===⎰
⎰.
故选：D 【点睛】
本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．
2．A
解析：A 【分析】
画出两曲线的图像，求得交点坐标，由定积分求得图形的面积即可. 【详解】
根据题意，画出量曲线的图像，设其交点为,A B ，如下所示：
联立22y x =和4y x =-， 解得()()2,2,8,4A B -， 根据抛物线的对称性， 即可得两曲线围成的面积2
8
2
22d (24)d S x x x x x =
++⎰
⎰
2
30
2
20216
22d 2233x x x ⎛⎫⎰== ⎪⎝
⎭ 8
2
(24)d x x x +⎰
8
3
22
2
21
2432x x x ⎫=-+⎪⎭
32
2
212884832⎫=⨯-⨯+⨯⎪⎭
32
2
213822242323
⎫-⨯-⨯+⨯=⎪⎭
故所求面积为
2
8
2
22d (24)d x x x x x ++⎰
⎰
163833
=
+ 18=.
故选：A. 【点睛】
本题考查由定积分求解曲边梯形的面积，需要注意的是，本题中需要对曲边梯形的面积进行拆分求解，这是本题的难点.
3．C
解析：C
【解析】函数()sin x f x x =
，可得函数()2cos sin 'x x x f x x -= ，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <，即不等式cos sin 0x x x -<成立，可得02x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，时，
()'0f x < ，函数是减函数．当,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时， cos sin 0x x x -<，函数是减函数．函数
在2
x π= 时连续，所以函数()()sin 0,x
f x x x
π=
∈，的单调区间为()0π，，又当3,
2x π
π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时， cos sin 0x x x ->，即()'0f x >，则函数在x π=时取得极小值，所以函数()f x 有最小值，而无最大值，据此可知选项C 错误，故选C. 点睛：对于①针对函数()sin x f x x =
的性质，当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，由三角函数线可知， tan x x <；利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数
()2
cos sin 'x x x
f x x
-=
，然后根据导函数的符号确定函数的单调性和函数的极值即可得到结论．
4．B
解析：B 【解析】
设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2
a
h =，底面中心到顶点的距离2
d =，由勾
股定理可得22
21(
)()22
a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积2124
2323
V =⨯⨯=，故应选答案B ．
5．B
解析：B 【解析】
试题分析：由定积分的几何意义有
⎰
表示的是以(2,0)为圆心，半径为2
的圆的1
4
部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故
2
]x dx ⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为2
21122242
ππ⨯-⨯=-.故选B.
考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.
6．D
解析：D 【解析】
试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1
(0),y x x
=
>当2y =时，1,2
x =所以阴影部分E 的面积为1
11122
1121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ． 考点：利用定积分在曲边形的面积．
7．B
解析：B 【解析】
由定积分的物理意义，得
，即力
做的功为
46．
考点:定积分的物理意义．
8．B
解析：B 【解析】
设()()()11,0f x a x x a =-+<，又点()0,1在函数()f x 的图象上，则
()21,1a f x x =-∴=-，由定积分几何意义，围成图形的面积为()
1
2311
1
141|33S x dx x x --⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B.
9．C
解析：C 【解析】
如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()12
1S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰
，即()12
1y y dy ⎡⎤--⎣⎦
⎰
.
本题选择C 选项.
10．D
解析：D 【解析】
∵2
22
1
1
x
x a e dx e
e e ===-⎰
，2
221
1
11322
22
b xdx x ==
=-
=⎰，2
2
111ln ln 21c dx x x ===<⎰，则a ，b ，c 的大小关系是c b a <<，故选D.
11．D
解析：D 【详解】
根据题意，画出如图所示：
由直线4y x =-，，曲线2y x =
x 轴所围成的面积为：
4
2
8
8
140
4)4)
4
23
x dx x x
+⎰+=+-+=.
故选D.
12．C
解析：C
【分析】
利用积分求解出1
m=；根据a的符号和a
-与1
-之间的大小关系，结合二次函数确定导函数的符号，得到()
f x的单调性，符合在x a
=-处()
f x左增右减时的a的取值范围是满足题意的，从而得到所求范围.
【详解】
1
1
ln ln ln11
1
e e
dx x e
x
==-=
⎰，即1
m=
则()()()
1
f x a x x a
'=++
当0
a=或1
a=时，()
f x不存在极值，不合题意
当0
a<时
()
,1
x∈-∞-或()
,
x a
∈-+∞时，()0
f x
'<，此时()
f x单调递减
()
1,
x a
∈--时，()0
f x
'>，此时()
f x单调递增
则()
f x在x a
=-处取得极大值，满足题意
当01
a
<<时
()
,1
x∈-∞-或()
,
x a
∈-+∞时，()0
f x
'>，此时()
f x单调递增
()
1,
x a
∈--时，()0
f x
'<，此时()
f x单调递减
则()
f x在x a
=-处取得极小值，不满足题意
当1
a>时
()
,
x a
∈-∞-或()
1,
x∈-+∞时，()0
f x
'>，此时()
f x单调递增
()
,1
x a
∈--时，()0
f x
'<，此时()
f x单调递减
则()
f x在x a
=-处取得极大值，满足题意
综上所述：1
a>或0
a<
【点睛】
本题考查根据函数的极值点和极值求解参数的取值范围问题，关键是能够根据二次函数根的分布情况确定二次函数的图象，从而得到导函数的符号，确定原函数的单调性.
二、填空题
13．3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=（x2-2lnx）
=3-2ln2故答案为：3-2n2【点睛】本题考
解析：3-2ln2 【分析】 求出曲线2
y x
=，直线y=2x 的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解． 【详解】
依题意，联立方程组22y x y x
⎧
=
⎪⎨⎪=⎩，解得12x y =⎧⎨
=⎩， 所以封闭的图形面积为2
1
2(2)x dx x
-⎰
=（x 2-2lnx ）
2
1
=3-2ln2． 故答案为：3-2n2．
【点睛】
本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．
14．【解析】【分析】本题首先可以绘出曲线和的图像并找出两曲线图像围成的区域然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案【详解】如图所示曲线和所围成的封闭图形的面积为：故答案为【点睛】本题考查几何中面积
解析：1
3
【解析】 【分析】
本题首先可以绘出曲线2y x x 和2y x x 的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然
后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。

【详解】
如图所示，曲线2y
x x 和2y x x 所围成的封闭图形的面积为：
2222
3
221
3
331
1
12210
x x x x dx
x x dx x x ，故答案为13。

【点睛】
本题考查几何中面积的求法，考查利用微积分以及定积分的相关性质求解面积，考查数形结合思想，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。

15．【分析】三角函数的对称性可得S=2求定积分可得【详解】由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx ）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为2﹣2【点睛】本题考查三角函数的对称性和定积 解析：222-
【分析】
三角函数的对称性可得S=2()4
cosx sinx dx π
-⎰，求定积分可得．
【详解】
由三角函数的对称性和题意可得S=2
()4
cosx sinx dx π
-⎰
=2（sinx+cosx ）40
|π=2（22+22
）﹣2（0+1）=22﹣2 故答案为22﹣2
【点睛】
本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．
16．【解析】分析：先化简再求定积分得解详解：由题得=所以故填点睛：本题必须要先化简再求定积分因为不化简无法找到原函数
解析：3
ln 22
+
【解析】
分析：先化简2
2
1
1x dx x +⎰，再求定积分得解. 详解：由题得2
21
1x dx x +⎰
=1
22
22111111()(ln )|(ln 22)(ln11)222x dx x x x +=+=+⨯-+⨯⎰. 所以2
2
1
1x dx x +⎰ 322ln =+. 故填
3
ln22
+. 点睛：本题必须要先化简再求定积分，因为不化简，无法找到原函数.
17．【解析】由题意直线所围成的区域为一个长为高为的矩形所以其的面积为又由解得所以由所围成的区域的面积为所以概率为 解析：
11
e + 【解析】
由题意，直线0,1,0,1x x y y e ====+所围成的区域为一个长为1，高为1e +的矩形，所以其的面积为1(1)1S e e =⨯+=+， 又由11x
y e y e =+⎧⎨
=+⎩，解得1
1x y e =⎧⎨=+⎩
， 所以由0,1,1x x y e y e ==+=+所围成的区域的面积为
1
1
1100
(11)()()|1x
x x S e e dx e e dx ex e =+--=-=-=⎰⎰，
所以概率为11
1
S P S e =
=+. 18．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调
解析：②④⑤ 【解析】 ①函数()1
f x x
=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；
②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则
()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；
③若()f x 为奇函数，则
()0a
a
f x dx -=⎰；
④已知函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则
0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极
值，充分性成立；()1
0,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤
19．【解析】当时在为增函数当时在为减函数当时有极大值也为最大值又因此本题正确答案是:
解析：21(1,2]e
+． 【解析】
2(1)(1)
'()x x f x x
-+=
,
∴当1[,1)x e
∈时, '()0f x >,()f x 在1
[,1)e 为增函数,
当(1,)x e ∈时, '()0f x <,()f x 在(1,)e 为减函数,
∴当1x =时, ()f x 有极大值,也为最大值, (1)1f =-,
又2
2
11()2,()2f f e e e e =--
=-, 21
21m e
--
≤-<-, 2
112m e ∴<≤+
. 因此，本题正确答案是: 21(1,2]e
+
. 20．k≥0【解析】由题意可知则由在上单调递减则在上恒成立即在上恒成立令则当时函数在上为减函数则故实数的取值范围是点睛：曲线与轴轴直线围成的封闭图形的面积为为函数在上的定积分求出后代入函数由在上单调递减可
解析：k≥0 【解析】 由题意可知，
6
011
cos sin sin sin 0066220
b xdx x π
π
π===-=-=⎰
则()2
2
222g x lnx bx kx lnx x kx =--=--
()2
2g x x k x
-'=
- 由()2
22g x lnx bx kx =--在[
)1,+∞上单调递减， 则()2
2?0g x x k x
'=--≤在[)1,+∞上恒成立， 即2
2k x x ≥
-在[)1,+∞上恒成立， 令()2
2t x x x =
- 则()22
2t x x
=-
'- 当)1,x ⎡∈+∞⎣时，()22
20t x x
'=-
-< ∴函数()2
2t x x x
=
-在)1,⎡+∞⎣上为减函数， 则()()10max t x t ==
0k ∴≥
故实数k 的取值范围是0k ≥
点睛：曲线y cosx =与x 轴、y 轴、直线6
x π
=
围成的封闭图形的面积为b ，b 为函数
y cosx =在06π⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
，上的定积分，求出b 后代入函数()222g x lnx bx kx =--，由
()222g x lnx bx kx =--在[)1,+∞上单调递减，可知其导函数在[)1,+∞上小于等于0恒
成立，然后利用分离变量法可求k 的取值范围．
三、解答题
21．（1）(1)(0,5)f ∈（2）
a
e > 【解析】
【试题分析】(1)函数在区间()1,2存在极值,即函数导函数()'
f x 满足()()'10
'20f f ⎧>⎪⎨
<⎪⎩
,由此求得()1f 的取值范围.(2) 当0x >时，()0f x <恒成立，则3
1ln 02
x ax x --
<,分离常数得2ln 12x a x x >
-对0x >恒成立.构造函数()2
ln 12
x g x x x =-利用导数求得函数()g x 的最大
值,由此求得a 的取值范围.构造函数()p
a
a e =,利用导数证得()p a 的最小值大于零,由此证得
a
e >. 【试题解析】
解：（1）∵()213
'2
f x a x x =
--为()0,+∞上的减函数， ∴()()'10'20
f f ⎧>⎪⇒⎨
<⎪⎩ 111,22a ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭，∴()()110,52f a =--∈. （2）当0x >时，()0f x <恒成立，则3
1ln 02
x ax x --<， 即2
ln 12
x a x x >
-对0x >恒成立. 设()2ln 12x g x x x =- (0)x >，()3
21ln 'x x g x x
--=， 设()3
1ln h x x x =-- (0)x >，()21
'30h x x x
=-
-<，∴()h x 在()0,+∞上递减， 又()10h =，则当01x <<时，()0h x >，()'0g x >；当1x >时，()0h x <，
()'0g x <.
∴()()max 1g x g = 12=-
，∴12a >-，即a 的取值范围为1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
.
设()
a
p a e =-
a
e = 1()2a >-，
则()'a
p a e
= 1
20a e e -=->， ∴()p a 在1,
2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上递增，∴()12p a p ⎛⎫
>- ⎪⎝⎭
0=
=， ∴
a
e >
. 【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的问题,考查利用导数比较两个数的大小.要使函数在某个区间上有极值,必须使得函数在这个区间上导数有大于零,也有小于零的地方,本题中求导后导函数为区间上的减函数,故需左端点函数值大于零,右端点函数值小于零,由此求得参数的取值范围.
22．
163
【分析】
根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积
分求解即可. 【详解】
2x x =-解得：4x =，
4
322
021216(2)288803233S x x dx x x x ⎛⎫⎛⎫
=-=-+=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.
【点睛】
本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.
23．（I ）a=13; （II ）m=0或m=3; （III ）a>21
3
e +.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a 的值即可；
（Ⅱ）求出函数F （x ）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m 的值即可；
（Ⅲ）通过讨论a 的范围求出函数f （x ）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a 的范围即可． 试题
（I ）易得，f '（x ）=3x 2-3a ，所以f '（1）=3-3a ， 依题意，（3-3a ）（-
12）=-1，解得a=1
3
； （II ）因为F （x ）=-x[g （x ）+
12x-2]=-x[（1-lnx ）+12x-2]=xlnx-1
2
x 2+x, 则F' （x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2， 则t '（x ）=
1x -1=1x
x
-. 令t '（x ）=0，得x=1.
则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数； 由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；
而F '（
21e ）
=-2-21e +2=-2
1
e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1， 且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数； 在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数. 所以x 1为极值点，此时m=0.
又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0, 则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2， 且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数； 在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数. 所以x 2为极值点，此时m=3. 综上m=0或m=3.
（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件； （2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，
①若f （e ）=e 3
-3ae+e≤0，即a≥213
e +，则e 是h （x ）的一个零点；
②若f （e ）=e 3
-3ae+e>0，即a<21
3
e +，则e 不是h （x ）的零点；
（3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况.
因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以
①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增. 又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以
（i ）当a≤21
3e +时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点；
（ii ）当21
3
e +<a≤e 2时，
f （e ）<0， 又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，
所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；
②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得
由f '（x ）<0，得
由f '（x ）>0，得
所以f （x ）在（e +∞）上单调递增. 因为f （e ）=e 3-3ae+e<e 3-3e 3+e<0， f （2a ）=8a 3-6a 2+e>8a 2-6a 2+e=2a 2+e>0， 所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；
综上，a>21
3
e +.
点睛：已知函数有零点求参数范围常用方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 24．
292
米 【解析】 ∵当302t ≤≤
时,()230v t t =-≤; 当3
52
t ≤≤时,()230v t t =-≥. ∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程
3
5
2
30
2
(32)(23)S t dx t dx =-+-⎰⎰=9929
(10)442++=(米)
25．（1）1{x |x 3}3≤≤；（2）13a 4
>． 【解析】 【分析】
()1a 0=时，将不等式移项平方分解因式可解得；
()2根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线
的位置关系做． 【详解】
() 1当a 0=时，不等式()f x 0≥化为：x 12x 10+--≥，
移项得x 12x 1+≥-，平方分解因式得()()3x 1x 30--≤， 解得
1x 33≤≤，解集为1
{x |x 3}3
≤≤． ()2化简得()x 3a,
x 1f x 3x 1a,1x 1x 3a,x 1-+≤-⎧⎪
=-+-<≤⎨⎪-++>⎩
，
根据题意，只需要考虑x 1>时，两函数的图象位置关系， 当x 1>时，()f x x 3a =-++， 由2y x 8x 14=-+-得y'2x 8=-+，
设二次函数与直线y x 3a =-++的切点为()00x ,y ， 则02x 81-+=-，解得09x 2=
，所以07
y 4
=，
代入()f x x 3a =-++，解得13a 4
=， 所以a 的取值范围是13a 4
>． 【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及导数的几何意义的应用问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的求解方法，合理分类是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题．
26．π
【解析】
试题分析：由定积分的几何意义可知，所求阴影部分的面积为()0
1cos x dx π
-⎰，利用微积
分定理计算即可. 试题
所求图形面积为
()01cos x dx π
-⎰ ()sin 0x x π
=- π=.
【方法点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分
()b a
f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形
面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.。