微分方程模型人口增长数学模型

4：问题的简化：
• 只考虑人口增长的主要因素---增长率及基数； • 并假定人口总数是时间的连续函数，甚至可微
函数。（在人口总数很大时，可近似）（离散 变量连续化处理--------------掌握。)
5：假设变量：N（t),r(t,N(t))为t时刻人口总数和增长率
6：建立模型（微元法）：在(t,t+t)这段 时间内人口增长为
设：f(r,t)drdt表示年龄在[r,r+dr]区间和[t,t+dt]时间 里迁入迁出的人口总数称为相对扰动密度函数（统计给 出）.则模型为
ppr,tpr,tfr,t
r t
7
pr,0p0r,prm,t0,p0,t t
4：区域模型： （1）：假设变量：
设 p i r , t i 1 , 2 , n 表示第 i 地区 省市 的人口密度函数
一：实际问题： 1：问题：
当今人类面临五大问题
• 人口问题 • 工业化的资金问题 • 粮食问题 • 不可再生资源问题 • 环境问题
人口问题
• （人口太多） • 人均粮食不足 • 人均资源不足 • 工业化资金有限 • 生态平衡被严重破坏 • （人口太少） • 人口老化 • 劳动力短缺 • 问题：人口预测；制
模型二：（SI模型）
1：假设：
（1）记i(t),s(t)表示时刻t传染病人数和未被传染人数， i(0)=i0 。
（2）每个病人单位时间内传播的人数是与这时未
被传染人数成正比，即k(t)=ks(t)。
（3）一人得病后，经久不愈，并且在传染期内不 会死亡。
（4）总人数n不变， i(t)+s(t)=n.
dt
N |t t0 N 0
kN 2 为竞争项因为资源有限
r , k 称生命系数
3 模型求解
N
1
5
k r
1 N0
k r
e rt
4：模型分析：
（3）如图：
1t , Nt r ,人口总数有极限值
k
2当0
N0
r k
时; NN2rrk时时曲曲线线下上凹凹
k
5：模型检验：
-12
估计出r=0.029,k=2.941*10
1推导 : t时刻年龄在 r, r dr 的人数为 pr,tdr,
到t t时刻,除去死亡的人外 ,活着的都变成了
t t时刻年龄在 r dr1, r dr dr1区间内的人 ,
即p(r dr1, t dt )dr.这里dr1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r,t pr,t drdt ,
n
n r , t p n r , t a nj r , t p j f n r , t
j 1
p i r ,0 p 0 i r , p i rm , t 0
p i 0 , t i t , i 1, 2 , n .
引进记号：
1 r , t
M
a11 r , t
每35年翻一番。
1700~1961年世界人口形势比较吻合
6：模型应用：（1）：美Pearl和Reed利用
Logistic模型，得出美国人口增长模型为
Nt
197273000 1e0.0 3 1 3t4119 1.235 7
预测美国1790~1950人口情况良好（见P11表） （2）：中、法也类似。
F (r, t ) r p( , t )d 0
N (t)
rm p( , t )d
p( , t )d
0
0
(5)令(r,t)为t时刻年龄为r岁人的死亡率,其含义是： (r,t)p(r,t)dr 表示 t时刻年龄在 [r,r+dr]内单位时 间死亡的人数。---------由统计数字给出。
2：初步建模：不考虑各种确定的和随机因素（如战争， 自然灾害，车祸）的影响，只考虑自然的生死过程。
S R
R
S 0e
dR t
dt
N
R
R S 0e
R
e
1
R
2
1 2Biblioteka R dR t dt
N
R
S
0
1
R
1 2
R
2
R t
2 S0
S0
1 tg
1 2
t
其中
1
S0
2
1
2 S 0 N
S
0
2
tg
1 1
S0
1
dR
22
s
pr,tpr,t r,tpr,t
r
t
pr,0 p0r通常由统计数字给出 6
pr,t0
p0,tt为单位时间出生的 数婴 人儿 口调查得出
(6)称为不考虑干扰的 的完 人整 口发展方 . 程
(3)意义:婴儿出生数的变化 特具 别有 重要的意 . 义
3：进一步建模：考虑移民、战争、自然灾害引起的人口 扰动模型
五：离散模型：（人口发展过程的离散模型） 1：假设变量：设Xi(t)表示t年代年龄满i周岁但不到
i+1周岁的人口总数。（年龄和时间都取整数）. 2:离散上述模型：则有
i1
Xitpr,tdrt0,1,m,m为人类最高年龄
i
又:prd1r,tdtdrpr,tdrr,tpr,tdrdt
令drdt1,两边r从 对 i到i1积分得
它们之间的关系为 :
pr,tdr pr dr1,t dt dr r,t pr,tdrdt [ pr dr1,t dt dr pr,t dt dr ] [ pr, t dt dr pr,t dr ] r,tpr,tdrdt
两端除以 drdt , 取极限得
（2）建立模型：
病愈前被隔离的人总数。 假设：（1）易受传染者人数S(t)的变化率正比于第一类
人数I(t)与第二类人数S(t)的乘积； （2）I(t)向R(t)转变的速率与I(t)成正比。 （3）总人数保持不变N。
2:建模：
dS t rS t I t
dt
dI t
dt
dR t
rS
t I I t
取极限得两端除以它们之间的关系为人数为而在这段时间內死去的这里区间内的人时刻年龄在活着的都变成了除去死亡的人外时刻的人数为时刻年龄在推导drdtdrdtdrdtdrdtdrdtdrdtdtdrdrdtdrdr特别重要的意义婴儿出生数的变化具有意义的人口发展方程称为不考虑干扰的完整数人口调查得出为单位时间出生的婴儿通常由统计数字给出3
A
a
21
r
,
t
a
n
1
r
,
t
2 r , t
a1n r , t
a
2
n
r
,
t
a
nn
r
,
t
n r , t
上述模型改写向量形式：
p0prr,0pt
Mpr,tApr,t f r,t p0r, prm,t0, p0,tt
其中p0rp01r, p02r,p0nr t1t,2t,nt
结论：当人口拥挤，密度高，缺乏应有的科学文化知识， 必要医疗条件，隔离不良而排除率低时传染性回很快 蔓延；反之，消灭。
5：模型验证： 本世纪初在孟买发生了一次瘟疫中几乎所有病人都
死亡了，死亡相当于移出传染系统即R(t)。有关部门记录 了每天移出的人数，即dR/dt，kermack等人用这组数据对 SIR模型作了验证。 先解出R(t):
.
2 :
p1 p1 r t
1 r , t p1 r , t
n
a1 j r , t p j f1 r , t
j 1
p 2
r
p2 t
2 r , t p 2 r , t
n
a 2 j r , t p j f2 r , t
j 1
8
p n
r
pn t
t
I
t
dt
R t S t I t N
其中 r , 为两个比例常数 , r 为传染率
, 为排除率
3 : 模型求解 :
I(S)
I0 S0 S
ln
S , 其中 S0
r
4：模型分析：
I0 ,IS0I00,IS0(0SS0) (1)当 S0时 ,I(t)0,StS疾病消灭
(2)当 S0时 I(t)先再
2 : 建模
di ( t )
dt
ks
( t )i t
s
(t)
i(t)
i 0
i0
n
3 : 模型求解
i t
1
n i0
: n 1 e k nt
4:模型分析：
（1）当t1=ln((n/i0)-1)/kn(t1为二阶导数为0的点)时，传染 率最大，为传染高峰，这与实际吻合，当k ，n , t1 传染病高峰来得快，与实际吻合。
eh2
1
t
dt 2S0
2
kermach得印度:
dR 890seh20.2t 3.4t按星期计
dt
2：研究情况：
• 1798年，MALTHUS 《人口论》人口呈现几何级数 增长
• 1838年，VERHUST的logistic模型。 • 1924年，YULE用概率观点的模型。 • 1945年，LESLIE模型。 • 1959年，FPOERSTER连续人口模型。
3:影响人口增加的因素:
• 人口的基数; • 出生率、死亡率的高低； • 人口男女比例大小；人口年龄组成情况； • 工农业生产水平的高低； • 营养条件；医疗条件；人口素质；环境污染等情况； • 各地风俗习惯；传统观念； • 自然灾害； • 战争； • 人口迁移。
（2）由统计给出k，可预报传染病高峰t1 。 （3）t,i(t)n人人均生病，不合理。原因：假设（3）
不合理，进一步修改。
模型三：（SIR模型）
1：假设变量及假设： 记I(t)为能够把病传染给别人的传染者； 记S(t)为并非传染者但能够得病而成为传染者的哪些
人组成； 记R(t)为患病死去的人，病愈后具有免疫力的人，及
7：模型的优缺点： （1）r,k会随着时间改变，故应每过几年重新估计一次 （2）Malthus和Logistic模型中，把人口总数看成处于同等
地位的成员组成的，严格说来不对的。应对年龄分组------Leslie 模型。
8：离散模型：（见混沌）
四：连续模型： 1：假设及假设变量：
（1）：设F(r,t)表示t时刻（年代）一切年龄小于r岁的人 口总数 称为人口函数。 性质：F(r,t)>=0,t固定,r ,F(r,t) 。
r(t-t0)
3: 求解：
N(t)=N0e
结论：人口呈现几何级数增长
4：适应性：
• （1）1700~1964世界人口总数增长一致。 • （2）t时不再合适。
5:离散模型（见混沌）
三：logistic模型：
1：假定：r(t,N)=r-kN(t) 2:建立模型：
dN ( t ) r kN t N t 4
i1
Xi1tXitr,tpr,tdrr,t Xit(中值定 )理 itXit
i
得无干扰的人口发展模型的离散模型：
Xi1tXititXit,i0,1, ,m1 itXit就t年 是代 i岁 满 但i 不 1岁是 的死亡
3：受干扰的人口发展模型的离散模型：
Xi1tXititXit fi(t),i 0,1,,m1
i1
其中fi(t) f r,tdr
i
初始条件离散化
i1
Xi0 p0rdr,i 0,1,,m1.
i
4：优缺点：离散模型易于计算机计算； 连续模型便于理论分析。
5：模型的检验和预测：（见P15）
参考：传染病传播的数学模型
模型一：
1：假设：（1）每个病人单位时间内传播的人数是k0； （2）一人得病后，经久不息不愈，并且在传 染期内不会死亡。
（2）假定：当人口总数很大时， F(r,t)是r,t的连续函数且 一阶偏导数连续。
（3）N(t)表示t时刻的人口总数，rm表示人类所活到的最高 年龄。 性质：F(0,t)=0,F(r m,t)=F(,t)=N(t)
(4) : p(r, t ) F 表示人口密度函数. r
[性质 : p(r, t ) 0, p(rm , t ) 0]
N(t+t)-N(t)=r(t,N)N(t)t
(N(t+t)-N(t))/t=r(t,N)N(t)
令t 0dN/dt=r(t,N)N(t) ……
(1)
二：MALTHUS模型
1：假定：（1）式中令r(t,N)=r(常数）
2：建模：dN/dt=rN(t) ……
(2)
N(t)|t=t0=N0 ……
(3)
.
全国人口密度函数用向
量表示为
p r , t { p 1 r , t , p 2 r , t , , p n r , t }.
用 i r , t , i t , f i r , t 分别表示第
i 地区的死亡率人口出生
率
和相对密度函数
.
a ij r , t 第 j 地区向第 i 地区的移民率
2:设变量：记i(t)表示时刻t病人数，i(0)=i0.
3:建模：
d i(t ) dt
k0i t
i0 i0
4 : 模型求解: it i0ek0t.
5：结论：传染病的传播按指数函数增长的。
6：模型检验与修改：（1）在传染病初期结论一 致；（2）t,i(t) 不合实际；原因假设中 两条不合理。