浙江浙江省杭州第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案

浙江浙江省杭州第二中学三角函数与解三角形多选题试题含答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．知函数()()sin 04f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，则下述结论中正确的是（ ）
A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点
B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,
15
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．若()f x 的图象关于4
x π
=对称，且在5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【分析】 令4
t x π
ω=+
，由[]
0,2x π∈，可得出,24
4t π
πωπ⎡⎤∈+⎢
⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间
,24
4π
πωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x π
ω=+
，由[]0,2x π∈，可得出,24
4t π
πωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦
， 作出函数sin y t =在区间,24
4π
πωπ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：
对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确；
对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254
π
πωππ≤+
<，解得
1519
88
ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若
1519
88ω<≤，则2192154604
πππππω≤+<+，
所以，函数()f x 在区间20,
15
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4
x π
=
对称，则
()4
4
2
k k Z ωπ
π
π
π+
=
+∈，
()14k k Z ω∴=+∈.
52361812
T ππππω∴
=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，当5,1836x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，339442x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形
C ．若4,5,6a b c ===，则ABC
D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2
A π
=
，由此确定选项
正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】
对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453
cos 0256604
A +-=
==>⨯⨯，
16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2
231
cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭
，cos2cos A C =.0,02
2
A C π
π
<<
<<
，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.
对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由
于0,0A B ππ<<<<，所以2
A π
=
，故B 选项正确.
对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<
，sin 8C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R
，则2sin 2sin c c
R R C C
=
⇒===
，故C 选项错误.
对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，
所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是
2sin a
R A
=，而不是sin a
R A =.
3．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5π
ω
个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A ．f (x )的图象关于直线2
x π=
对称
B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点
C ．f (x )在(0,
)10
π
上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510
) 【答案】CD 【分析】
利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,
)10π
ω
上递
增，且
31010π
π
ω
<
，可知C 正确. 【详解】
依题意得()()5f x g x πω=+
sin[()]5x πωω=+sin()5
x πω=+， 2T πω=，如图：
对于A ，令5
2
x k π
π
ωπ+=+
，k Z ∈，得310k x π
π
ω
ω
=
+
，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x π
π
ω
ω
=
+
(k Z ∈)对称，故A 不正确； 对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确， 对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω
=-
+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω
≤<，解得1229
510ω≤<，所以D 正确；
对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10π
ω上递增，因为29310ω<
<，所以33(1)0101010πππωω
-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；
故选：CD. 【点睛】
本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.
4．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说
法中，正确的是（ ）
A ．3
B π
=
B ．AB
C 是等边三角形
C ．若A B C
D 、、、四点共圆，则AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】
根据等差数列的性质和三角形内角和可得3
B π
=
，根据等比中项和余弦定理可得a c =，
即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得
2
3
D π
=
，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223
ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2
222cos AC AD CD AD CD D 可得
3sin cos 3sin()22232
S D D D π=
-+=-+
，从而求出最大面积. 【详解】
由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3
B π
=
，故A 正确；
由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，
两式相减整理得，2
()0a c -=，即a c =，又3
B π
=
，
所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；
若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23
D π=
， ADC 中，根据余弦定理，2
222cos AC AD CD AD CD D ，
解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：
211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=
⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，
所以，3sin 3sin()22232
S D D D π=
-+=-+
， 因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13
D π
-=，
此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC
【点睛】
本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.
5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是( ) A ．::7:5:3a b c = B ．0AC AB ⋅<
C ．
753
A B C == D ．若8+=b c ，则ABC ∆
【答案】ABD 【分析】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，求出a ,b ,c 的值，可得A ；由正弦定理，
sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，可判定C ，由余弦定理1cos 2
A =-，cos 0AC A
B bc A ⋅=<，可判定B ；由8+=b c ，结合A 结论，可计算b ,c , 1
sin 2
ABC S bc A ∆=，可判定D
【详解】
设4,5,6(0)b c k c a k a b k k +=+=+=>，则753
,,222
a k
b k
c k =
== ，故 ::7:5:3a b c =，即A 选项正确；
又222
2
2
2
259491444cos 5322222
k k k
b c a A bc k k +-+-=
==-⨯⨯，故cos 0AC AB bc A ⋅=<，B 选项正确；
由正弦定理，sin :sin :sin ::7:5:3A B C a b c ==，C 选项错误；
若8+=b c ，则2k =，故5,3,120o
b c A ===
，所以1sin 24
ABC S bc A ∆==
，D 选项正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
6．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++，则（ ） A ．()f x 的最小正周期是π
B ．()f x 的图像可由函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得到 C ．4
x π
=
是()f x 的一条对称轴
D ．()f x 的一个对称中心是,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】AB 【分析】
首先化简函数()224f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再根据三角函数形式的公式，以及代入的方
法判断选项. 【详解】
()
1sin 2cos 21224f x x x x π⎛
⎫=+++=++ ⎪⎝
⎭，
A.函数的最小正周期22
T π
π=
=，故A 正确；
B.根据图象的平移变换规律，可知函数()22g x x =+的图像向左平移
8
π
个单位而得
到()222284f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故B 正确；
C.当4
x π
=
时，324
4
4
π
π
π
⨯
+
=
，不是函数的对称轴，故C 不正确； D.当8
x π
=-
时，2084
ππ
⎛⎫⨯-
+= ⎪⎝⎭，此时函数值是2，故函数的一个对称中心应是,28π⎛⎫
- ⎪⎝⎭，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
7．设函数()()1sin 0222f x x x πωωω⎛⎫
=++> ⎪⎝⎭
，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）
A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=
B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】AD 【分析】
化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，令6
t x πω=+，由[]
0,x π∈可求得
,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象，可判断AB 选项
的正误；由图象得出346
π
πωππ≤+
<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函
数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
()3131sin sin sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=
++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当[]0,x π∈时，,666x π
ππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,6
6t π
πωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，
作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+>
⎪⎝⎭
的图象如下图所示：
对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，
所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]
0,π有且仅有3个零点，则346
π
πωππ≤+
<，解得
1723
66
ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于
172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，53663x πππ<+<， 此时，函数()f x 在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6
t x π
ω=+
，将问题转化为函数sin y t =在区间,6
6π
πωπ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦上的
零点个数问题，数形结合来求解.
8．已知函数()
()tan (0)6
ωωπ
=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则1
2
ω=
B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()
π0()
6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125
-<f f D ．若()f x 在区间()
π
3π，上单调递增，则203
ω<≤ 【答案】AD 【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】
解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则1
2
ω=，故A 选项正确；
对于B 选项，当1ω=时，()
()tan 6f x x π
=-，所以令,6
2
k x k Z π
π
-
=
∈，解得：,6
2
k x k Z π
π=
+
∈，所以函数的对称中心的坐标为()
0()62k k π
π+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()
()tan 26f x x π
=-，
()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣
⎦，
()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
单调递增，故
()()
π2π125
f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,2
6
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+<-
<
+∈，解得：233k k x ππππ
ωωωω
-
+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππ
ωωωω
⎛⎫-
++∈ ⎪⎝⎭
，因为()f x 在区间()
π
3π，
上单调递增，所以33
,23k k Z k πππωωπππ
ωω
⎧-+≤⎪⎪∈⎨
⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=
≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56
k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故2
03
ω<≤，故D 选项正确.
故选：AD 【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得2
13,3
k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233
T ππππω=
≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.
二、数列多选题
9．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数
()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（ ）
A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列
B ．01q <<
C ．11n a S q ⎧⎫
-
⎨⎬-⎩⎭
为单调递增的等比数列 D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6
【答案】BCD 【分析】
令()()()
()127g x x a x a x a =+++，利用()()12
7001f g a a a '===可得
3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()
()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；
由()111111111
n n n a a a q
S q q q q q --
=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】
令()()()()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =，
()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，
因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，11a >，
01q ∴<<，B 正确；
()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错误；
()111111111n n n a a a q S q q q q q --=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫∴-⎨⎬-⎩
⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；
11a >，01q <<，41a =，
3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，
7712741T a a a a ===，8n ∴≥时，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，767
1T T a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC
【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题.
等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：
（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定； （2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。