2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.−66的相反数是()
A. −66
B. 66
C. 1
66D. −1
66
2.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微笑的无花果，质
量只有0.000000076克，将0.000000076克用科学记数法表示为()
A. 7.6×10−8
B. 0.76×10−9
C. 7.6×108
D. 0.76×109
3.如果一个几何体的主视图是三角形，那么这个几何体不可能是()
A. 圆锥
B. 四棱锥
C. 三棱锥
D. 圆柱
4.下列运算正确的是()
A. a3+a3=a6
B. 2(a+1)=2a+1
C. (ab)2=a2b2
D. a6÷a3=a2
5.不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为()
A.
B.
C.
D.
6.如图，AB//CD，若∠C=30°，则∠B的度数是()
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
7.如图，A处有一艘轮船，B处有一盏灯塔，则在轮船A处看灯塔B的方向是
()
A. 南偏东60°
B. 南偏东30°
C. 西偏北30°
D. 北偏西60°
8.七年级(1)班班长统计去年1～8月份“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，
绘制了如图所示的折线统计图，与上月相比较，阅读数量变化最大的月份是()
A. 4月
B. 5月
C. 6月
D. 7月
9.将一矩形纸片对折后再对折，如图(1)、(2)，然后沿图(3)中的虚线剪下，得到①②两部分，将
①展开后得到的平面图形一定是()
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 正方形
D. 菱形
10.如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于()
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
11.若x1，x2是一元二次方程x2−x−6=0的两个根，则x1·x2的值是()
A. 1
B. 6
C. −1
D. −6
12.如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，点A在x轴正半轴，点C在
(k>0,x>0)
y轴正半轴，点D是边BC的中点，反比例函数y=k
x
的图象经过B，D.若点C的纵坐标为6，点D的横坐标为3.5，则
k的值是()
A. 6
B. 8
C. 12
D. 14
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 因式分解：3x 2−18x =______．
14. 如图，若l 1//l 2//l 3，如果DE =4，EF =2，AC =5，则BC =______．
15. 甲布袋中有三个红球，分别标有数字1，2，3；乙布袋中有三个白球，分别标有数字2，3，4.这
些球除颜色和数字外完全相同．小亮从甲袋中随机摸出一个红球，小刚从乙袋中随机摸出一个白球．
用画树状图(树形图)或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；
16. 已知关于x 的一元二次方程m 2x 2+(2m −1)x +1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范
围是______．
17. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，若AC =2√3，AB =3√2，
则CD 为______ ．
18. 如图，在Rt △ABC 中，∠A =20°，将△ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转得到△A′B′C.当点B′
第一次落在AB 边上时，点A 经过的路径长(即AA′⏜的长)为4π
3，则AC =________．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
)−2+|−2sin60°|−√12+(3−√5)0．
19.计算：(−1
2
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(−3,2)，B(−1,4)，C(0,2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°.画出旋转后对应的△A1B1C;
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(−5,−2)，画出平移后的△A2B2C2；
(3)若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
21.△ABC为⊙O的内接三角形，AD为BC边的高，AE为⊙O的直径．
(1)求证：∠BAE=∠DAC；
(2)若BD=8，CD=3，AD=6.求AE的长．
22.某校初三对某班最近一次数学测验成绩(得分取整数)进行统计分析，将所有成绩由低到高分成
五组，并绘制成如图的频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题：
(1)该班共有______名同学参加这次测验；
(2)这次测验成绩的中位数落在______分数段内；
(3)若该校一共有800名初三学生参加这次测验，成绩80分以上(不含80分)为优秀，估计该校
这次数学测验的优秀人数是多少人？
23.某校七年级一、二班各有两位老师带领两个班学生参加春游活动．若从一班学生调12人到二班，
倍．则二班的人数是一班的两倍；若从二班学生调8人到一班，则一班的人数是二班的3
2
(1)求这两个班各有多少人？
(2)若门票两种方式售票：第一种：老师全票，学生半价优惠；第二种：团体票：所有的老师和
学生都按全票价的6折优惠，问若门票为a元，该选择哪种方式比较实惠．
24.在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的角平分线，且BD⊥AD，
若AB=12，AC=18，求MD的长．
25.如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(6,0)，B(−1,0)，与y轴交
于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐
标；
(3)若抛物线在第一象限的图象上有一点P，求△ACP面积S的最大值．
26.如图，点P(t,0)为x轴正半轴上的一点，过点P作x轴的垂线，
x2于点A，B，且点A在点B 分别交抛物线y=−x2+4x和y=1
3
的上方．
(1)求两条抛物线的交点坐标；
(2)当线段OP，PB，AB中恰有两条线段相等时，求t的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：−66的相反数是66．
故选：B．
直接利用相反数的定义得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2.答案：A
解析：
【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】
解：0.000000076=7.6×10−8．
故选：A．
3.答案：D
解析：
【分析】
此题主要考查了由三视图判断几何体，属于基础题.
根据圆柱体的主视图只有矩形或圆，即可得出答案．
【解答】
解：∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，
∴圆柱体的主视图不可能是三角形．
故选D．
4.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了合并同类项，单项式乘以多项式，积的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是
熟记合并同类项法则，单项式乘以多项式，积的乘方及同底数幂的除法法则判断．
【解答】
解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；
B、2(a+1)=2a+2≠2a+1，故B选项错误；
C、(ab)2=a2b2，故C选项正确；
D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．
故选：C．
5.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及不等式解集在数轴上的表示，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．先根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1求得不等式解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则逐一判断即可．
【解答】
解：去括号，得：2x+2<3x，
移项，得：2x−3x<−2，
合并同类项，得：−x<−2，
系数化为1，得：x>2，
所以不等式的解集在数轴上表示如下：
故选C．
6.答案：A
解析：解：∵AB//CD，
∴∠B=∠C，
又∵∠C=30°，
∴∠B的度数是30°，
故选A．
两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
7.答案：A
解析：解：如图所示：可得∠CAB=60°，
即在轮船A处看灯塔B的方向是：南偏东60°．
故选：A．
直接利用方向角分析得出∠CAB的度数，进而得出答案．
此题主要考查了方向角，正确把握方向角的概念是解题关键．
8.答案：D
解析：
【分析】
本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．先根据折线图求出各月份的变化情况，再根据数量变化情况越大，它的变化率就越大，即可得出答案．【解答】
解：从图上可知2月的数量变化情况是70−36=34本，
3月的数量变化情况是70−58=12本，
4月的数量变化情况是58−42=16本，
5月的数量变化情况是58−42=16本，
6月的数量变化情况是58−28=30本，
7月的数量变化情况是75−28=47本，
根据数量变化情况越大，它的变化率就越大，
则阅读数量变化率最大的是7月；
故选D．
9.答案：C
解析：
【分析】
本题主要考查了学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．由题图(3)可知剪下的三角形为等腰直角三角形，展开后为正方形．
【解答】
解：如图，展开后图形为正方形．
故选C．
10.答案：D
解析：解：连接AD ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB =90°，
∵∠A =∠C =30°，
∴∠ABD =90°−∠A =60°．
故选：D ．
连接AD ，由AB 是⊙O 的直径，可证∠ADB =90°，由圆周角定理可证∠A =∠C =30°，即可求∠ABD ． 本题考查了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，直角三角形的性质．
11.答案：D
解析：
【分析】
本题考查根与系数的关系． 根据根与系数的关系可得：两根之积为c a ，即可得答案． 【解答】 解：根据根与系数的关系可得：
x 1·x 2=c
a =−6 ，
故选D ．
12.答案：D
解析：解：∵点C 的纵坐标为6，点D 的横坐标为3.5，反比例函数y =k
x (k >0,x >0)的图象经过B ，D ．
∴C(0,6)，D(3.5,k 3.5)，
∵点D 是边BC 的中点，
∴由中点坐标公式可得点B 的坐标为(7,47k −6)，
∴7(47k −6)=k ， 解得k =14，
故选：D ．
由题意可得C(0,6)，D(3.5,k 3.5)，根据中点坐标公式可得点B 的坐标为(7,4
7k −6)，代入反比例函数解析式，即可得出k 的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是用中点坐标公式得出点B 的坐标．
13.答案：3x(x−6)
解析：解：3x2−18x=3x(x−6)．
故答案为：3x(x−6)．
直接找出公因式进而提取得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.答案：5
3
解析：
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【解答】
解：∵l1//l2//l3，
∴AB
BC =DE
EF
，即5−BC
BC
=4
2
，
解得，BC=5
3
，
故答案为：5
3
．
15.答案：解：
树状图
∴P(两个球上的数字之和为6)=2
9
.
解析：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．用画树状图(树形图)或列表的方法，求摸出的两个球上的数字之和为6的概率；
16.答案：m<1
4
且m≠0
解析：解：∵a=m，b=2m−1，c=1，方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4ac=(2m−1)2−4m2=1−4m>0，
∴m<1
4
．
又∵二次项系数不为0，
∴m≠0
即m<1
4
且m≠0．
根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．总结：(1)一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
②△=0⇔方程有两个相等的实数根；
③△<0⇔方程没有实数根．
(2)一元二次方程的二次项系数不为0．
17.答案：2
解析：解：根据题意得：BC=√AB2−AC2=√(3√2)2−(2√3)2=√6．
∵△ABC的面积=1
2⋅AC⋅BC=1
2
⋅AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BC
AB =√3×√6
3√2
=2．
根据勾股定理就可求得AB的长，再根据△ABC的面积=1
2⋅AC⋅BC=1
2
⋅AB⋅CD，即可求得．
本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积建立CD与已知边的关系是解决本题的关键．
18.答案：6
解析：
【分析】
根据题意求得旋转角的度数，然后结合弧长公式进行解答即可．
本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．
【解答】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=20°，
∴∠B=70°，
结合旋转的性质得到BC=B′C，
∴∠B=∠BB′C=70°，∴∠BCB′=40°，
即∠ACA′=40°，
∴点A转过的路径长为：40π×AC
180=4π
3
，
解得AC=6．
故答案为：6．
19.答案：解：原式=4+√3−2√3+1
=5−√3．
解析：本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角的三角函数值等考点的运算．
20.答案：解：(1)△A1B1C如图所示；
(2)△A2B2C2如图所示；
(3)如图所示，旋转中心为O(−1,0)．
解析：本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及旋转的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．
(1)根据网格结构找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置，然后顺次连接即可；
(3)根据旋转的性质，确定出旋转中心即可．
21.答案：(1)证明：如图，连接BE，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∵AD为BC边的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠C=∠E，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠BAE=∠DAC；(2)解：∵△ABE∽△ADC，
∴AB
AD =AE
AC
，
∵BD=8，CD=3，AD=6，
∴AB=√BD2+AD2=10，AC=√AD2+CD2=3√5，
∴10
6=
3√5
，
∴AE=5√5．
解析：本题考查相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)连接BE，得出∠ABE=∠ADC，从而证得△ABE∽△ADC，即可求解；
(2)由△ABE∽△ADC，得出AB
AD =AE
AC
，根据勾股定理求出AB与AC的长，即可求解．
22.答案：(1)40；
(2)70.5～80.5；
(3)根据题意得：
该校这次数学测验的优秀人数是800×14+5
40
=380(人)．
解析：
【分析】
本题考查了频数分布直方图，解题的关键是能读懂统计图，从图中获得必要的信息，用到的知识点是中位数、频数、频率．
(1)把各分段的人数加起来就是总数；
(2)根据中位数的定义得出中位数就是第20个和第21个的平均数，从而得出答案；
(3)先算出40人中80分以上的人的优秀率，再乘以总人数即可．
【解答】
解：(1)根据题意得：
该班参加这次测验的学生共有：2+9+10+14+5=40(名)，
故答案为：40；
(2)因为共有40个数，所以中位数是第20和21个数的平均数，
所以这次测验成绩的中位数落在落70.5～80.5分数段内；
故答案为：70.5～80.5；
(3)根据题意得：
该校这次数学测验的优秀人数是800×14+540=380(人)．
23.答案：解：(1)设一班学生x 人，二班学生y 人，
可得：{2(x −12)=y +12(x +8)=32
(y −8), 解得：{x =37y =38,
答：一班学生37人，二班学生38人；
(2)第一种：4a +(37+38)×0.5a =41.5a ；
第二种：(4+37+38)×a ×0.6=47.4a ；
∵47.4a >41.5a ，
∴选择第一种合算．
解析：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
(1)先设一班x 人，二班y 人，根据等量关系列出方程组，再解即可；
(2)算出两种方案所需的费用，再比较，即可解答．
24.答案：解：延长BD 交AC 于E
∵BD ⊥AD
∴∠ADB =∠ADE =90°
∵AD 是∠A 的平分线
∴∠BAD =∠EAD
在△ABD 与△AED 中
{∠BAD =∠EAD AD =AD ∠ADB =∠ADE
∴△ABD≌△AED(ASA)
∴BD =ED ，AE =AB =12，
∴EC =AC −AE =18−12=6，
∵M 是BC 的中点
∴DM =12EC =12×6=3．
解析：略
25.答案：解：(1)当x =0时，y =ax 2+bx +6=6，则C(0,6)，
设抛物线的解析式为y =a(x +1)(x −6)，
把C(0,6)代入得a ⋅1⋅(−6)=6，解得a =−1，
∴抛物线的解析式为y =−(x +1)(x −6)，即y =−x 2+5x +6；
(2)如图1，连接AC ，与对称轴交点即为所求点M ．
由抛物线的解析式y =−x 2+5x +6=−(x −52)2+
494，对称轴为直线x =5
2． ∵点M 在抛物线的对称轴上，
∴MB =MA ，CM +BM =CM +AM ，
当点C 、M 、A 在同一直线上时，CM +BM 最小．
设直线AC 的解析式为y =kx +n ，则{6k +n =0n =6
， 解得{k =−1n =6
， ∴y =−x +6．
当x =52时，y =72，
∴点M 的坐标为(52,72)；
(3)如图2，过点P 作PD 垂直x 轴，交AC 于点Q ，
设点P 的坐标为(m,−m 2+5m +6)，则点Q 的坐标为(m,−m +6)，
∴PQ =(−m 2+5m +6)−(−m +6)=−m 2+6m ，
S =12PQ ⋅OA =12(−m 2+6m)×6=−3m 2−18m =−(m −3)2+27， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线m =3，
∴当m =3时，S 有最大值为27．
解析：(1)先确定C(0,6)，设交点式y =a(x +1)(x −6)，然后把C 点坐标代入求出a 的值即可；
(2)连接AC ，与对称轴交点即为所求点M ，先利用待定系数法求出AC 所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；
(3)如图2，过点P 作PD 垂直x 轴，交AC 于点Q ，设点P 的坐标为(m,−m 2+5m +6)，则点Q 的坐标为(m,−m +6)，利用坐标与图形的性质和两点间的距离公式求得相关线段的长度，再根据三角形的面积公式列出S 关于m 的二次函数S =−3m 2−18m
，由二次函数最值的求法解答．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．
26.答案：解：(1)联立两抛物线解析式得，{
y =−x 2+4x y =13x 2，
解得，{x =0y =0或{x =3y =3
， ∴两条抛物线的交点坐标为(0,0)和(3,3)；
(2)由题意知，0<t <3，
∵PA ⊥x 轴，且点P(t,0)，
∴A(t,−t 2+4t)，B(t,13t 2)， ∴OP =t ，PB =13t 2，AB =−t 2+4t −13t 2=−43t 2+4t ，
∵线段OP ，PB ，AB 中恰有两条线段相等，
∴①当OP =PB 时，t =13t 2，
∴t =0(舍)或t =3(舍)，
②当OP =AB 时，t =−43t 2+4t ，
∴t =0(舍)或t =94，
③当PB =AB 时，∴13t 2=−43t 2+4t ，
∴t =0(舍)或t =125，
即：满足条件的点t 的值为125或94．
解析：(1)联立两抛物线解析式，解方程组即可得出结论；
(2)先表示出点A ，B 坐标，进而得出OP ，BP ，AB ，再分三种情况建立方程求解，舍去不符合题意的，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了方程组的解法，平行于y 轴的直线上两点间的距离公式，用方程或方程组的思想解决问题是解本题的关键．。