四川省德阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析

四川省德阳市2019-2020学年数学高二下期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设4log 9a =，4log 25b =，5log 9c =，则( ) A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==u u u r r u u u r r
，则BE =u u u r
（ ）
A ．12
b a -r r
B ．12b a +r r
C ．12a b +r r
D ．12
a b -r r
3．复数2i
z i
+=
在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数f （x ）＝（x 2﹣2x ）e x 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．设15a =315b =2log 15c =，则下列正确的是 A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
6．用反证法证明命题“已知,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”时，假设应为（ ） A ．1x ≤且1y ≤
B ．1x ≤或1y ≤
C ．,x y 中至多有一个大于1
D ．,x y 中有一个小于或等于1
7．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（） A ．43
cm B ．
3
16
cm C ．34cm D ．13cm
8．设函数()()21sin sin sin ,44x
x f x x x x g x ae ππ-⎛
⎫
⎛
⎫=-
+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，若()()()1212,0,,x R x f x g x ∀∈∃∈+∞<，则正数a 的取值范围为（ ） A ．()0,e
B ．(),e +∞
C ．(
)3
0,e
-
D ．(
)
3
,e -+∞
9．已知离散型随机变量X 的分布列如图，则常数c 为（ ） X 0
1
P 29c c - 38c -
A ．
13
B ．
23
C ．
13或23
D ．
14
10．已知复数122i
z i
-=-（为虚数单位），则z =（ ） A ．
15
B ．35
C ．45
D ．1
11．由曲线2(0)y x x =≥和直线0x =，1x =，2y t =（01t <<）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．
A ．
1
2
B ．
23
C ．
14
D ．
13
12．已知1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．从1,2,3,4,5,6，中任取2个不同的数，事件A = “取到的两个数之和为偶数”，事件B =”取到的两个数均为偶数”，则(|)P B A =_______．
14．某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．
15．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，平行y 轴的直线l 与圆22:(1)1x y Γ+-=交于,A B 两点（点A 在点B 的上方）， l 与C 交于点D ，则ADF ∆周长的取值范围是____________
16．函数2
23,0,(),0,x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩
若0a b >>，且()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知复数2
6(2)2(1)1m
z i m i i
=+----，其中i 是虚数单位，根据下列条件分别求实数m 的值. （Ⅰ）复数z 是纯虚数；
（Ⅱ）复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上.
18．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm 的正方形，高为30cm ，内有20cm 深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少？
（2）现需要倒出不少于33000cm 的溶液，当60α︒=时，能实现要求吗？请说明理由．
19．（6分）已知函数2
()ln f x x x =+
（1）求函数()f x 在[1,]e 上的最大值和最小值； （2）求证：当x (1,)∈+∞时，函数()f x 的图象在32
21()32
g x x x =+的下方． 20．（6分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；
（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41
f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
21．（6分）已知函数()()
2
x
f x x mx n e =++，其导函数()'y f x =的两个零点为3-和0.
（I ）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 的单调区间；
（III ）求函数()f x 在区间[]22-,
上的最值. 22．（8分）已知函数()1ln f x ax x =--()a ∈R ． （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，且对任意()0,x ∈+∞,()2f x bx -≥恒成立，求实数b 的取值范围；
（3）当1x y e >>-时，求证：ln(1)
ln(1)
x y
x e
y -+>
+．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】
依换底公式可得4549
95
log log log =
，从而得出54log 9log 9<，而根据对数函数的单调性即可得出44log 9log 25<，从而得出a ，b ，c 的大小关系．
【详解】 由于454995log log log =
，44log 9log 51>>Q ∴
4449
95
log log log <； 54log 9log 9∴<，又44log 9log 25<，b a c ∴>>．故选D ．
【点睛】
本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小以及换底公式的应用． 2．A 【解析】 【分析】
利用向量的线性运算可得BE u u u r
的表示形式. 【详解】
1122
BE BA AD DE a b a b a =++=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r
，
故选：A ． 【点睛】
本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题. 3．D 【解析】
【分析】
化简复数为z a bi =+的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限. 【详解】
212i
z i i
+=
=-，该复数对应的点为()1,2-，在第四象限.故选D. 【点睛】
本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限. 4．B 【解析】 【分析】
根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证. 【详解】
20()(2,)x x f x x x e e =->，当0x <或2x >时，()0f x >，
当02x <<时，()0f x <，选项,A C 不正确，
2()(2)x f x x e '=-，令()0,f x x '==
当()0,f x x '><或x >
当()0,f x x '<<<
()f x 的递增区间是(,-∞，)+∞，
递减区间是(，所以选项D 不正确，选项B 正确. 故选:B. 【点睛】
本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题. 5．B 【解析】 【分析】
根据15x
y =得单调性可得a b >；构造函数())2log 0f x x x =>，通过导数可确定函数的单调性，
根据单调性可得()()15160f f >=，得到c a >，进而得到结论. 【详解】
由15x
y =的单调递增可知：1
1321515
>> a b ∴>
令())
2log 0f x x x =>，则())10ln 2f x x x '=
=>
令()0f x '=，则2
2ln 2x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当22,ln 2x ⎛⎫
⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '< 即：()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫
⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减 2
3
ln 2ln e =>=Q 2ln 23> 2
29ln 2⎛⎫∴< ⎪⎝⎭
()()
21516log 160f f ∴>==，即：2log 15> c a ∴>
综上所述：b a c << 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数单调性比较大小的问题，难点在于比较指数与对数大小时，需要构造函数，利用导数确
定函数的单调性；需要注意的是，在得到导函数的零点2
2ln 2x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
后，需验证零点与15之间的大小关系，
从而确定所属的单调区间. 6．A 【解析】 【分析】
根据已知命题的结论的否定可确定结果. 【详解】
假设应为“,x y 中至少有一个大于1”的否定，即“,x y 都不大于1”，即“1x ≤且1y ≤”. 故选：A . 【点睛】
本题考查反证法的相关知识，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】
利用等体积法求水面下降高度。

【详解】
球的体积等于水下降的体积即43
π3212h π⋅=⋅⋅，1
3h =．答案：D ．
【点睛】
利用等体积法求水面下降高度。

8．C 【解析】
分析：先求出()f x 最大值，再求出()g x 的最大值，从而化恒成立问题为最值问题. 详解：()1sin sin sin sin sin cos sin sin 2444422f x x x x x x x x x πππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-
+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
23111
sin cos 2sin 12sin sin sin 222
x x x x x x =-=--=-
令[]
sin ,1,1t x t =∈-，
()312f t t t ∴=-
()21
32
f t t -'=，
令()0f t '>，解得1,⎡⎤
-⋃⎢⎥⎣
⎭⎝⎦，
∴()f t 在1,6⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭、6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦单调递增，在66⎛- ⎝⎭单调递减，
又()112f f ⎛== ⎝⎭
， ()max 1
2
f t ∴=
又()()()
22221232x x
x
x
ae x ae x
g x ae ae ---=
=
'， 当0a >时，令()'
0g x >，解得302
x <<
， ()g x ∴在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.
()3max 3122g x g ae
⎛⎫
∴== ⎪⎝⎭；
当0a <时，()g x 无最大值，即不符合； 故有
31122ae
<，解得3a e -<，故30a e -<<. 故选：C.
点睛：本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用. 9．A 【解析】
【分析】
根据所给的随机变量的分布列写出两点分步的随机变量的概率要满足的条件，一是两个概率都不小于0，二是两个概率之和是1，解出符合题意的c 的值． 【详解】
由随机变量的分布列知，290c c -≥，380c -≥，29381c c c -+-=， ∴1
3
c =
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查分布列的应用，求离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题． 10．D 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结果. 【详解】 解：()()()()122124343
222555
i i i i z i i i i -+--=
===---+，
则1z ==. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的运算法则，模的计算公式，考查计算能力，属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】
利用定积分求出阴影部分区域面积关于t 的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果． 【详解】
设阴影部分区域的面积为()f t ， 则()()()1
2
2
22
23321320011413333t t t t
f t t x dx x t dx t x x x t x t t ⎛⎫⎛⎫=
-+-=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰， ()()242221f t t t t t '∴=-=-，其中01t <<，令()0f t '=，得1
2
t =
， 当102t <<
时，()0f t '<；当1
12
t <<时，()0f t '>.
所以，函数()y f t =在1
2
t =
处取得极小值，亦即最小值，且最小值为1124
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因此，阴影部分区域面积的最小值为1
4
，故选C ． 【点睛】
本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 12．C 【解析】 【分析】
设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，由平面几何的性质可得2OF G ∆为等边三角形，设1F OH α∠=，则有tan b a α=
；又223F OG π
πα∠=-=，可得3
πα=，代入离心率2
1b e a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
即可得出结果.
【详解】
设点1F 关于渐近线的对称点为点G ，该渐近线与1F G 交点为H ，所以OH 为线段1F G 的中垂线，故
122OF OG OF F G ===，所以2OF G ∆为等边三角形，
设1F OH α∠=，则有tan b a α=
；又223F OG π
πα∠=-=，可得3
πα=， 所以离心率2
2
11tan 23b e a π⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
故选:C 【点睛】
本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．
1
2
【解析】
【分析】
先求得事件A 所包含的基本事件总数，再求得事件AB 所包含的基本事件总数，由此求得()|P B A 的值. 【详解】
依题意，事件A 所包含的基本事件为13,15,24,26,35,46共六种，而事件AB 所包含的基本事件为
24,26,46共三种，故()31|62
P B A =
=. 【点睛】
本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题. 14．2 【解析】 【分析】
由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差． 【详解】
解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为： 83，84，85，86，87，
∴所剩数据的平均数为：
()1
8384858687855
x =
++++=， 所剩数据的方差为：
(
2222221
[(8385)(8485)(8585)(8685)8785)25
S ⎤=-+-+-+-+-=⎦． 故答案为1． 【点睛】
本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 15．()3,4 【解析】 【分析】
过点D 作DM 垂直与抛物线的准线，垂足为点M ，由抛物线的定义得DF DM =，从而得出ADF ∆的周长为1AM +，考查直线AM 与圆Γ相切和过圆心F ，得出A 、D 、F 不共线时AM 的范围，进而得出ADF ∆周长的取值范围。

【详解】
如下图所示：
抛物线C 的焦点()0,1F ，准线为:1l y =-，过点D 作DM l ⊥，垂足为点M ， 由抛物线的定义得DF DM =，圆Γ的圆心为点F ，半径长为1，
则ADF ∆的周长11L AD DF AF AD DM AM =++=++=+，
当直线l 与圆Γ相切时，则点A 、B 重合，此时()1,1A ，2AM =；
当直线l 过点F 时，则点A 、D 、F 三点共线，则213AM FM AF =+=+=。

由于A 、D 、F 不能共线，则23AM <<，所以，314AM <+<，即34L <<，
因此，ADF ∆的周长的取值范围是()3,4，故答案为：()3,4。

【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。

16．[
)1
-+∞， 【解析】
【分析】
设()()f a f b t ==，用t 表示,a b ，然后计算+a b 的范围，再次代入分段函数，即可求解，得到答案.
【详解】
设()()f a f b t ==，作出函数()f x 的图象，
由图象可得0t ≥时，由()2f a a t ==，解得a t =， 由()23f b b t =--=，解得32
t b --=
， 则23131(1)12222t a b t t t t --+==-=--， 因为0t ≥0t ≥，设m a b =+，
则21(1)112
m a b t =+=---≤-， 此时()()23231f a b f m m +==--≥-=-，
所以()f a b +的取值范围是[1,)-+∞.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数的图象，结合函数的图象，列出+a b 的关系式，求得+a b 的取值范围是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（Ⅰ）12
m =-
；（Ⅱ）0m =或2m =. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；
（Ⅱ）将复数z 在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案.
【详解】
解：因为m ∈R ，复数z 可表示为2(2)3(1)2(1)z i m m i i =+-+-- ()()2223232m m m m i =--+-+，
（Ⅰ）因为z 为纯虚数，所以222320,320,
m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩
解得12
m =-； （Ⅱ）复数z 在复平面内对应的点坐标为()
22232,32m m m m ---+
因为复数z 在复平面内对应的点在直线0x y +=上
所以22232320m m m m --+-+=
即2360m m -=
解得0m =或2m =.
【点睛】
本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.
18．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是45°（2）不能实现要求，详见解析
【解析】
【分析】
（1）当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大．
（2）当60α︒=时，设剩余的液面为BF ，比较CBD ∠与60°的大小后发现F 在AD 上，计算此时倒出的液体体积，比33000cm 小，从而得出结论．
【详解】
（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B 时，容器内溶液恰好不会溢出，此时α最大．
解法一：此时，梯形ABED 的面积等于2220400(cm )=，
因为CBE α∠=，所以3020tan DE α=-，1()2ABED S DE AB AD =
+⋅， 即1(6020tan )204002
α⋅-⋅=，解得tan 1α=，45α︒=． 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是45°．
③
解法二：此时，BEC ∆的面积等于图①中没有液体部分的面积，即2200(cm )BEC S ∆=，
因为CBE α∠=，所以211tan 22BEC S BC CE BC α∆=
⋅⋅=⋅⋅
，即200tan 200α=，
解得tan 1α=，45α︒=． 所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，α的最大值是45°．
（2）如图④，当60α︒=时，设上液面为BF ，因为3arctan 602
CBD ︒∠=<，所以点F 在线段AD 上，
④
此时30ABF ︒∠=，tan 30103AF AB ︒=⋅=)211503cm 2ABF S AB AF ∆=
⋅⋅=, 剩余溶液的体积为315032030(003)cm =，
由题意，原来溶液的体积为38000cm ，
因为8000300033000-<，所以倒出的溶液不满33000cm ．
所以，要倒出不少于33000cm 的溶液，当60α︒=时，不能实现要求．
【点睛】
本题考查三角函数的实际应用，解题关键是确定倾斜后容器内的溶液的液面位置，然后才能计算解决问题．
19．（1）()f x 的最小值是(1)1f =，最大值是2()1f e e =+；（2）证明详见解析. 【解析】
【详解】
试题分析：（1）先求导数，确定导函数恒大于零，即得函数单调递增，最后根据单调性确定最值，（2）先作差函数，利用导数研究函数单调性，再根据单调性去掉函数最值，根据最大值小于零得证结论. 试题解析：(1)因为f(x)＝x 2＋ln x ，所以1()2f x x x
'=+ 因为x>1时，f ′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e 2.
(2)证明：令2312()()()ln 23
F x f x g x x x x =-=-+， 所以()2232332(1)211211()2x x x x x x x x F x x x x x x x
'-++-+--+=-+=== 因为x>1，所以F ′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以121()(1)0236
F x F <=
-=-<.所以f(x)<g(x)． 所以当x ∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在3221()32g x x x =+的下方．
20．（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞U .
（Ⅱ）135m -≤≤.
【解析】
【分析】
【详解】
详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩
当12x <
时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥.
所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞U .
（Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>， 所以(
)41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤， 即()max 229x m x -----≤， 因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--，
所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤.
【点睛】
⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．
⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有： ① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔>
②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．
21．（I ）43y ex e =-；（II ）增区间是(),3-∞-，()0,∞+，减区间是()3,0-；（III ）最大值为25e ，最小值为1-.
【解析】
试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足()0f x '=，解方程组求出m,n ；利用导数的几何意义求切线方程，先求 f(1),求出切点，再求(1)f '得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式()0f x '>和()0f x '<，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.
试题解析：
（1）∵()()
2x f x x mx n e =++， ∴()()()
()()22'22x x x f x x m e x mx n e x m x m n e ⎡⎤=++++=++++⎣⎦， 由()()'30'00f f ⎧-=⎪⎨=⎪⎩
知()()93200m m m m n ⎧-+++=⎨+=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩ 从而()()21x f x x x e =+-，∴()()
2'3x f x x x e =+. 所以()1f e =，∴()'14f e =，
曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()41y e e x -=-，
即43y ex e =-，
（2）由于0x e >，当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：
故()f x 的单调增区间是(),3-∞-，()0,+∞，单调递减区间是（-3,0）.
（3）由于()225f e =，()01f =-，()2
2f e --=， 所以函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为25e ，最小值为-1.
22． (1)答案见解析；(2)211b e -
≤；(3)证明见解析. 【解析】
试题分析：
（1）由题意可得()1'ax f x x
-=，分类讨论有：当0a ≤时，函数没有极值点， 当0a >时，函数有一个极值点．
（2）由题意可得1a =，原问题等价于1ln 1x b x x +-≥恒成立，讨论函数()1ln 1x g x x x =+-的性质可得实数b 的取值范围是211b e ≤-； （3）原问题等价于()()ln 1ln 1x y e e x y >++，继而证明函数()()
ln 1x
e g x x =+在区间()1,e -+∞内单调递增即可.
试题解析：
（1）
， 当
时，()0f x '<在上恒成立， 函数
在单调递减，∴在上没有极值点； 当时，()0f x '<得10x a <<
，()0f x '>得1x a >， ∴在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，即在处有极小值． ∴当时
在上没有极值点， 当时，在
上有一个极值点． （2）∵函数在处取得极值，∴
， ∴，
令
，()22211ln 2ln 'x x g x x x x --+=--=， 可得
在上递减，在上递增， ∴，即2
11b e ≤-． （3）证明：
， 令，则只要证明在上单调递增，
又∵，
显然函数
在上单调递增．
∴，即， ∴在上单调递增，即，
∴当时，有．
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。