重庆市南开中学初中数学九年级下期中经典练习题(培优练)

一、选择题
1．(0分)[ID ：11126]已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2x 的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是( )
A ．x ＞2
B ．－1＜x ＜0
C ．x ＞2，－1＜x ＜0
D ．x ＜2，x ＞0 2．(0分)[ID ：11100]若
37a b =，则b a a -等于（ ） A ．34 B ．43 C ．73 D ．37
3．(0分)[ID ：11085]如图，过反比例函数
的图像上一点A 作AB ⊥轴于点
B ，连接AO ，若S △AOB =2，则的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．(0分)[ID ：11080]如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2，2）、B （3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的2倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标分别为（ ）
A ．（4，4）
B ．（3，3）
C ．（3，1）
D ．（4，1）
5．(0分)[ID ：11070]河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3，则AC 的长是( )
A ．10米
B ．53米
C ．15米
D ．103
6．(0分)[ID ：11067]如图，在△ABC 中，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )
A ． 212
B ．12
C ．14
D ．21
7．(0分)[ID ：11058]如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且3cos 5
α=，5AB =，则AD 的长为（ ）
A ．3
B ．163
C ．203
D ．165
8．(0分)[ID ：11056]如图，在以O 为原点的直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA
分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数k y x
=
(x ＞0)与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，若BD=3AD ，且△ODE 的面积是9,则k 的值是( )
A ．92
B ．74
C ．245
D ．12
9．(0分)[ID ：11055]若反比例函数2y x
=-的图象上有两个不同的点关于y 轴的对称点都在一次函数y =-x +m 的图象上，则m 的取值范围是（ ） A ．22m ＞
B ．-22m ＜
C ．22-22m m ＞或＜
D ．-2222m ＜＜
10．(0分)[ID ：11053]若△ABC ∽△A′B′C′且
34AB A B ='',△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ）cm.
A ．18
B ．20
C ．154
D ．803
11．(0分)[ID：11051]如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF 的面积之比为 ( )
A．1:2B．1:4C．1:5D．1:6
12．(0分)[ID：11043]如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影子长DE＝1.8m，窗户下沿到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（）
A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m
13．(0分)[ID：11039]在反比例函数
4
y
x
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是
（）
A．B． C．D．
14．(0分)[ID：11093]如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC＝12m，则坡面AB的长度是（）
A．15m B．203m C．24m D．103m
15．(0分)[ID：11076]在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18 cm，O 到CD的距离是6 cm，则像CD的长是物体AB长的（）
A．1
3
B．
1
2
C．2倍D．3倍
二、填空题
16．(0分)[ID：11232]如图,在一段坡度为1∶2的山坡上种树,要求株距(即相邻两株树之间
的水平距离)为6米,那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为____米.
17．(0分)[ID ：11231]如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为512
-的矩形称作黄金矩形.那么，现将长度为20cm 的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是_____cm .
18．(0分)[ID ：11170]利用标杆CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E ．若标杆CD 的高为1.5米，测得DE ＝2米，BD ＝16米，则建筑物的高AB 为_____米．
19．(0分)[ID ：11164]已知A （﹣4，y 1），B （﹣1，y 2）是反比例函数y =﹣
4x
图象上的两个点，则y 1与y 2的大小关系为__________． 20．(0分)[ID ：11162]如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从正面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最多是_______个．
21．(0分)[ID ：11161]将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.
22．(0分)[ID ：11154]在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2：3的两部分，连接BE 、AC 相交于F ，则AEF CBF S S ∆∆：是_______．
23．(0分)[ID ：11153]如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数k y x
=（k ＞0）的图象上与正方形的一个交
点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为
▲．
24．(0分)[ID：11150]如图，在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆2
AB m
=，它的影子 1.6
BC m
=，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上， 1.2
PM m
=，
0.8
MN m
=，则木杆PQ的长度为______m．
25．(0分)[ID：11181]若关于x的分式方程
33
1
22
x m
x x
+
-=
--
有增根，则m的值为_____.
三、解答题
26．(0分)[ID：11329]小明想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长是1.4米；此时，他发现旗杆AB的一部分影子BD落在地面上，另一部分影子CD落在楼房的墙壁上，分别测得BD＝11.2米，CD＝3米，求旗杆AB的高度.
27．(0分)[ID：11313]如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM交DB于点N．
（1）求证：△ABD∽△BCD；
（2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长．
28．(0分)[ID：11297]已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，
AD=DC，DC2=DE•DB，求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB•BC=BD•BE．
29．(0分)[ID：11236]如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．
（1）若AB＝10，求FD的长；
（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．
30．(0分)[ID：11319]如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B 处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．A
5．B
6．A
7．C
8．C
9．C
10．B
11．B
12．A
13．B
14．C
15．A
二、填空题
16．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为
17．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm根据题意得：解方程可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分
18．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题
19．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与
y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--4＜0∴在每个象限内y随x的增大而增大∵A（-4y1）B（-1y2）
20．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯
21．或2【解析】【分析】由折叠性质可知BF=BF△BFC与△ABC相似有两种情况分别对两种情况进行讨论设出BF=BF=x列出比例式方程解方程即可得到结果【详解】由折叠性质可知BF=BF设BF=BF=x故
22．或【解析】【分析】分两种情况根据相似三角形的性质计算即可【详解】解：①当时∵四边形ABCD是平行四边形②当时同理可得故答案为：或【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质平行四边形的性质掌握相似三角形的
23．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b图中阴影部分的面积等于9可求出b
24．3【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长再根据此影长列出比例式即可【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D又
∵AB=2BC=16PM=12NM=08∴PQ=QD+DP=QD+NM=1
25．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
因为一次函数和反比例函数交于A 、B 两点，可知x-1=2x
，解得x=-1或x=2，进而可得A 、B 两点的坐标，据此，再结合函数解析式画图，据图可知当x>2时，以及当-1<x<0时，y 1>y 2．
【详解】
解方程x −1=2x
，得 x =−1或x =2，
那么A 点坐标是(−1,−2),B 点坐标是(2,1)，
如右图，
当x >2时, 12y y >,以及当−1<x <0时, 12y y >.
故选C.
【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是能根据解析式画出函数的图象，并能根据图象解決问题 2．B
解析：B
【解析】
由比例的基本性质可知a=37b ，因此b a a -=347337
b b b -=.
故选B.
3．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k的几何意义.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【详解】
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选A．
【点睛】
本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1；
∴AC=BC÷
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【详解】
解：过点A 作AD ⊥BC ，
∵△ABC 中，cosB=22
，sinC=35，AC=5， ∴cosB=22=BD AB ， ∴∠B=45°，
∵sinC=
35=AD AC =5
AD ， ∴AD=3， ∴2253-，
∴BD=3，
则△ABC 的面积是：
12×AD ×BC=12
×3×（3+4）=212． 故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD ⊥BC ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键． 7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可知：求AD 的长就是求BC 的长，易得∠BAC =∠ADE ，于是可利用三角函数的知识先求出AC ，然后在直角△ABC 中根据勾股定理即可求出BC ，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠BAC =90°，BC=AD ，∴∠BAC +∠DAE =90°， ∵DE AC ⊥，∴∠ADE +∠DAE =90°，∴∠BAC =ADE α∠=，
在直角△ABC 中，∵3cos 5α=，5AB =，∴25cos 3
AB AC α==， ∴AD=BC 222
22520533AC AB ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 故选：C.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理和解直角三角形的知识，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质和解直角三角形的知识是解题关键.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
设B 点的坐标为（a ，b ），由BD=3AD ，得D （
4
a ，
b ），根据反比例函数定义求出关键点坐标，根据S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE = 9求出k.
【详解】 ∵四边形OCBA 是矩形，
∴AB=OC ，OA=BC ，
设B 点的坐标为（a ，b ），
∵BD=3AD ，
∴D （4
a ，
b ）， ∵点D ，E 在反比例函数的图象上， ∴4
ab =k ， ∴E （a ， k a
）， ∵S △ODE =S 矩形OCBA -S △AOD -S △OCE -S △BDE =ab-
12•4ab -12•4ab -12•34a •（b-k a ）=9， ∴k=
245
， 故选：C
【点睛】 考核知识点：反比例函数系数k 的几何意义. 结合图形，分析图形面积关系是关键.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】 根据题意可知反比例函数2y x =-
的图象上的点关于y 轴的对称的点在函数2y x =上，由此可知反比例函数2y x
=的图象与一次函数y=-x+m 的图象有两个不同的交点，继而可得关于x 的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.
【详解】
∵反比例函数2y x =-
上有两个不同的点关于y 轴对称的点在一次函数y =-x +m 图象上， ∴反比例函数2y x
=与一次函数y =-x +m 有两个不同的交点， 联立得2y x y x m ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩
，消去y 得：2x m x =-+， 整理得：220x mx -+=，
∵有两个不同的交点
∴220x mx -+=有两个不相等的实数根，
∴△=m 2-8＞0，
∴m ＞
m ＜
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.
10．B
解析：B
【解析】
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34
ABC AB A B C A B ''=''='的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比．∵以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，AD=OA ，∴OA ：OD=1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4．
故选B ．
考点：位似变换．
12．A 解析：A
【解析】
∵BE ∥AD ，
∴△BCE ∽△ACD ，
∴
CB CE AC CD =，即 CB CE AB BC DE EC
=++， ∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2
∴
1 1.2
1 1.8 1.
2 AB
=
++
∴1.2AB=1.8，∴AB=1.5m．故选A．13．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据反比例函数
k
y
x
=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩
形面积为|k|解答即可．
【详解】
解：A、图形面积为|k|=4；
B、阴影是梯形，面积为6；
C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（1
2
|k|）=4．
故选B．【点睛】
主要考查了反比例函数
k
y
x
=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂
线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂
线所围成的直角三角形面积S的关系即S=1
2
|k|．
14．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：Rt△ABC中，BC＝12cm，tanA＝1
∴AC＝BC÷tanA＝cm，
∴AB24cm．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．15．A
解析：A
【解析】
【分析】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．
【详解】
作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，
由题意得,AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴CD
AB
=
OF
OE
=
1
3
，
∴像CD的长是物体AB长的1 3 .
故答案选：A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
二、填空题
16．3米【解析】【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比把相应的数值代入即可【详解】解：∵坡度为1：2且株距为6米∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×（米）【点睛】本题是将实际问题转化为
解析：5
【解析】
【分析】
利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．
【详解】
解：∵坡度为1：222
125
+=6米，
∴株距：坡面距离=25
∴坡面距离=株距×5
35 =
【点睛】
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．
17．【解析】【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm根据题意得：解方程
可得【详解】设这个黄金矩形较长的边长是xcm 根据题意得：解得：x=则这个黄金矩形较短的边长是cm 故答案为：【点睛】考核知识点：黄金分
解析：(15-
【解析】
【分析】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：220x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解方程可得. 【详解】
设这个黄金矩形较长的边长是xcm ，根据题意得：
12202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，
解得：x= 5，
5)(15=-cm ．
故答案为：(15-
【点睛】
考核知识点：黄金分割点的应用.理解黄金分割的意义是关键. 18．5【解析】【分析】根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可【详解】解：∵AB∥CD∴△EBA∽△ECD∴即∴AB＝135（米）故答案为：135【点睛】此题主要考查相似三角形的性质解题
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD 的长即可．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴△EBA ∽△ECD ， ∴CD ED AB EB =，即1.52216
AB =+， ∴AB ＝13.5（米）．
故答案为：13.5
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质.
19．y1＜y2【解析】分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小从而可以解答本题详解：∵反比例函数y=--
4＜0∴在每个象限内y 随x 的增大而增大∵A （-4y1）B （-1y2）
解析：y1＜y2
【解析】
分析：根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断y1与y2的大小，从而可以解答本题．
详解：∵反比例函数y=-4
x
，-4＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵A（-4，y1），B（-1，y2）是反比例函数y=-4
x
图象上的两个点，-4＜-1，
∴y1＜y2，
故答案为：y1＜y2．
点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用函数的思想解答．
20．7【解析】【分析】首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体然后进一步计算即可得出答案【详解】根据俯
解析：7
【解析】
【分析】
首先利用从上面看而得出的俯视图得出该几何体的第一层是由几个小正方体组成，然后进一步根据其从正面看得出的主视图得知其第二层最多可以放几个小正方体，然后进一步计算即可得出答案.
【详解】
根据俯视图可得出第一层由5个小正方体组成；再结合主视图，该正方体第二层最多可放2个小正方体，
∴527
+=，
∴最多是7个，
故答案为：7.
【点睛】
本题主要考查了三视图的运用，熟练掌握三视图的特性是解题关键.
21．或2【解析】【分析】由折叠性质可知BF=BF△BFC与△ABC相似有两种情况分别对两种情况进行讨论设出BF=BF=x列出比例式方程解方程即可得到结果【详解】由折叠性质可知BF=BF设BF=BF=x故
解析：12
7
或2
【解析】
【分析】
由折叠性质可知B’F=BF，△B’FC与△ABC相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x，列出比例式方程解方程即可得到结果.
【详解】
由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x
当△B’FC ∽△ABC ，有'B F CF AB BC =，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127； 当△FB’C ∽△ABC ，有
'B F FC AB AC =，得到方程433x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为
127或2. 【点睛】
本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论. 22．或【解析】【分析】分两种情况根据相似三角形的性质计算即可【详解】解：①当时∵四边形ABCD 是平行四边形②当时同理可得故答案为：或【点睛】考查的是相似三角形的判定和性质平行四边形的性质掌握相似三角形的 解析：425：或925：
【解析】
【分析】
分2332AE ED AE ED ：＝：、：＝：两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
解：①当23AE ED ：＝：时，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
//25AD BC AE BC ∴，：＝：，
AEF CBF ∴∆∆∽，
224255
AEF CBF S S ∆∆∴：＝（）＝：； ②当32AE ED ：＝：时，
同理可得，239255
AEF CBF S S ∆∆：＝（）＝：， 故答案为：425：或925：．
【点睛】
考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
23．【解析】待定系数法曲线上点的坐标与方程的关系反比例函数图象的对称性正方形的性质【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的设小正方形的边长为b 图中阴影部分的面积等于9可求出b
解析：
3
y
x =．
【解析】
待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6．
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3．
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1．∴P（3，1）．
∵点P在反比例函数
3
y
x
=（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3．
∴此反比例函数的解析式为：．
24．3【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长再根据此影长列出比例式即可【详解】解：过N点作ND⊥PQ于D又
∵AB=2BC=16PM=12NM=08∴PQ=QD+DP=QD+NM=1
解析：3
【解析】
【分析】
先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可．
【详解】
解：过N点作ND⊥PQ于D，
BC DN
AB QD
∴=
又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8，
1.5AB DN QD BC
⋅∴== ∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m ）．
故答案为：2.3．
【点睛】
在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
25．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程进而把可能的增根代入可得m 的值【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3当增根为x=2时6=m+3∴m=3故答案为3
【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按
解析：3
【解析】
【分析】
把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m 的值．
【详解】
去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故答案为3．
【点睛】
考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三、解答题
26．
旗杆AB 的高度是11米.
【解析】
【分析】
作CE ⊥AB 于E ，可得矩形BDCE ，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE 的长度，加上CD 的长度即为旗杆的高度.
【详解】
解：
作CE ⊥AB 于E ，
∵DC ⊥BD 于D ，AB ⊥BD 于B ，
∴四边形BDCE为矩形，
∴CE＝BD＝11.2米，BE＝DC＝2米，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴AE
EC
＝
1
1.4
，即
11.2
AE
＝
1
1.4
，
解得AE＝8，
∴AB＝AE+EB＝8+3＝11(米).
答：旗杆AB的高度是11米.
【点睛】
考查相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
27．
（1）见解析；（2）MC＝.
【解析】
【分析】
（1）由两组边成比例，夹角相等来证明即可；
（2）由相似三角形的性质得边成比例，进而利用勾股定理求得BC，再判定∠MBC＝90°，最后由勾股定理求得MC的值即可．
【详解】
（1）证明：∵AB•CD＝BC•BD
∴AB
BC
＝
BD
CD
在△ABD和△BCD中，∠ABD＝∠BCD＝90°∴△ABD∽△BCD；
（2）∵△ABD∽△BCD
∴AD
BD
＝
BD
CD
，∠ADB＝∠BDC
又∵CD＝6，AD＝8
∴BD2＝AD•CD＝48
∴BC
∵BM∥CD
∴∠MBD＝∠BDC，∠MBC＝∠BCD＝90°
∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA
∴BM＝MD＝AM＝4
∴MC．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与勾股
定理的运用.
28．
（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．
（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵DC2=DE•DB，
∴=，∵∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DCE=∠DBC，
∴∠DAE=∠EBC，
∵∠AED=∠BEC，
∴△BCE∽△ADE，
（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC
∴AD2=DE•DB，
同法可得△ADE∽△BDA，
∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，
∵△BCE∽△ADE，
∴∠ADE=∠BCE，
∴△BCE∽△BDA，
∴=，
∴AB•BC=BD•BE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
29．
(1) FD=5; (2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用三角形中位线的性质得出DE∥AB，进而得出∠DEC =∠B，即可得出FD=DE，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B=∠A=∠CED=∠CDE，即可得出∠CDE=∠F，即可得出△CDE∽△DFE．
【详解】
解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE//AB，DE=1
2
AB=5
又∵DE//AB，
∴∠DEC= ∠B．
而∠F= ∠B，
∴∠DEC =∠B，
∴FD=DE=5；
（2）∵AC=BC，
∴∠A=∠B．
又∠CDE=∠A，∠CED= ∠B，
∴∠CDE=∠B．
而∠B=∠F，
∴∠CDE=∠F，∠CED=∠DEF，
∴△CDE∽△DFE．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和平行线的性质等知识，熟练利用相关性质是解题关键．
30．
此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【解析】
【分析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中易得PC的长，再在直角△BPC中求出PB的长即可．
【详解】作PC⊥AB于C点，
∴∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里），
在Rt△APC中，cos∠APC=PC PA
，
∴PC=PA•cos∠3（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC=PC PB
，
∴PB=
403
cos
PC
BPC
=
∠
6≈98（海里），
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.。