工程矩阵理论(第2章-内积空间与等距变换)
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, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1
n, 1 …
1 , 2 2 , 2
n, 2 …
… 1, n … 2 , n … n, n …
注④ 若 0, 则 的长度为1. |||| 由非零向量 得到 的过程称为把 ||||
单位化.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.2 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 |, |2 , , , 且 等号成立 , 线性相关.
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.2 设1, …, n为内积空间V的一组基. 令 gij = i, j (i, j = 1, …, n), 则称n阶矩阵G = (gij)为基1, …, n 的度量矩阵.
1 , 1 2 , 1 1 , 2 2 , 2 … … 1 , n … 2 , n
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1 n, 1
…
1 , 2 2 , 2 n, 2
…
… 1, n … 2 , n … n, n …
y1 y2 yn
…
第二章 内积空间与等距变换
F中存在唯一的数与之对应, 该数记为, , 且, , V, kF, 有 (1) , = , ; ——共轭对称性 (2) +, = , + , ; (3) k, = k, ; (4) , 0, 且等号成立 = 0, 则称, 为与的内积, 称V为内积空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
由此可得 |, |2 = , , = , , , , . 当 = 0时, |, |2 , , 当然成立. 综上所述, |, |2 , , 对于任意的 , V 都成立. 下面考察等号何时成立.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
二. 内积空间中向量的长度 定义2.1.3 设为内积空间V中的向量, 则称, 为的长度, 记为||||.
注① |||| = 0 = 0. 注② 若|||| = 1, 则称为单位向量. 注③ ||k|| = |k|||||, 其中k F.
y1 y2 yn
…
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.1 设内积空间V 的一组基1, …, n的 度量矩阵为G, V中的向量, 在这 组基下的坐标分别为X, Y, 则 , = XTGY = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
三. 欧氏空间中非零向量的夹角 定义2.1.5 设 , 为欧氏空间V中的非零向量, , 则称 = arccos 为 与 的 ||||||||
夹角.
|, |2 , , |,| ||||||||.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
四. 内积空间中的正交向量 定义2.1.6 设 , 为内积空间V中的向量. 若, = 0, 则称与 正交, 记为 . 内积空间V中的一组两两正交的 非零向量称为正交向量组.
则
n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
例4 在 nn中定义A, B = tr(ABH). 证明 nn为酉空间.
证明: (1) B, A = tr(BAH) = tr((BAH)T) = tr(ABT) = tr(ABH) = tr(ABH) = tr(ABH) = A, B. (2) A+B, C = tr((A+B)CH) = … = tr(ACH) + tr(BCH) = A, C + B, C. (3) kA, B = tr(kABH) = ktr(ABH) = kA, B. (4) A, A = tr(AAH) = A1A1H + … + AnAnH 0, (其中Ai为A的第i行, i = 1, …, n) 且等号成立 Ai = 0 A = O.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
注① 内积空间V( )称为酉空间. 内积空间V( )称为欧氏空间.
注② , + = +, = , + ,
= , + , = , + , , , k = k , = k , = k , = k , , , 0 = 0 = 0, .
n, 1
注: gji = j, i = i, j = gij, 故GH = G.
…
…
n, 2
… n, n
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
= x11 + x22 +…+ xnn = y11 + y22 +…+ ynn = (1, 2, …, n)X, = (1, 2, …, n)Y,
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
例5 设C[a, b] = {[a, b]上的全体连续实函数}. f(x), g(x) C[a, b], 定义
f(x), g(x) =
b a
f(x)g(x)dx.
证明C[a, b]为欧氏空间. 证明: (1) f(x), g(x) = … = g(x), f(x); (2) f(x)+g(x), h(x) = … = f(x), h(x) + g(x), h(x); (3) kf(x), g(x) = … = k f(x), g(x); (4) f(x), f(x) = … 0, 且等号成立 f(x) 0.
x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn)
2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn …
|, |2 , , |, | ||||||||.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.4 设, 为内积空间V中的向量. 称d(, ) = || ||为与的距离.
注① || ||2 = , = ( ), ( ) = , = || ||2, 故d(, ) = d(, ). 注② d(, ) = || || = ||( ) + ( )|| || || + || || = d(, ) + d(, ).
, 当 0时, 取t = , 代入上式得 , , , , 0 , , , , , + , , ,
, , , , = . ,
柯西-施瓦茨-布尼亚科夫斯基不等式 (Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky inequality).
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
证明: 令 = + t, t F, 则 0 , = , + t , + t , + t t , .
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn = x1(1, 1y1 + 1, 2y2 + … + 1, nyn)
+ x2(2, 1y1 + 2, 2y2 + … + 2, nyn) +… + xn(n, 1y1 + n, 2y2 + … + n, nyn)
工程矩阵理论
主讲: 张小向
第二章 内积空间与等距变换
第一节 内积空间的 基本概念 第二节 正交补, 向量到子空间的 最短距离 第三节 等距变换
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
§2.1 内积空间的基本概念 一. 内积, 内积空间, 度量矩阵 定义2.1.1 设V为数域F ( 或 )上的线性空间. 若对于任意的(, )VV,
, 若, 线性无关, 则 = , 0, , , , , 且0 < , = . ,
由此可得|, |2 = , , < , , . 可见等号成立 , 线性相关.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.3 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 || + || |||| + ||||.
证明:
|| + ||2 = + , + = , + , + , + , = ||||2 + 2Re, + ||||2 ||||2 + 2|, | + ||||2 ||||2 + 2|||||||| + ||||2 = (|||| + ||||)2, 故|| + || |||| + ||||.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
例1 在 则 例2 在
n中定义X,
Y = YTX, n为欧氏空间. n中定义X, Y = YHX, 则
n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 中的内积均指标准内积.
n
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
若, 线性相关, 当, 中有一个为0时, 等号当然成立; 当, 均不为0时, 存在k F使得 = k, 于是|, |2 = |k, |2 = |k|2, 2 = k, k, = , , .
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn)
2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn …
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1
n, 1 …
1 , 2 2 , 2
n, 2 …
… 1, n … 2 , n … n, n …
注④ 若 0, 则 的长度为1. |||| 由非零向量 得到 的过程称为把 ||||
单位化.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.2 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 |, |2 , , , 且 等号成立 , 线性相关.
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.2 设1, …, n为内积空间V的一组基. 令 gij = i, j (i, j = 1, …, n), 则称n阶矩阵G = (gij)为基1, …, n 的度量矩阵.
1 , 1 2 , 1 1 , 2 2 , 2 … … 1 , n … 2 , n
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1 n, 1
…
1 , 2 2 , 2 n, 2
…
… 1, n … 2 , n … n, n …
y1 y2 yn
…
第二章 内积空间与等距变换
F中存在唯一的数与之对应, 该数记为, , 且, , V, kF, 有 (1) , = , ; ——共轭对称性 (2) +, = , + , ; (3) k, = k, ; (4) , 0, 且等号成立 = 0, 则称, 为与的内积, 称V为内积空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
由此可得 |, |2 = , , = , , , , . 当 = 0时, |, |2 , , 当然成立. 综上所述, |, |2 , , 对于任意的 , V 都成立. 下面考察等号何时成立.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
二. 内积空间中向量的长度 定义2.1.3 设为内积空间V中的向量, 则称, 为的长度, 记为||||.
注① |||| = 0 = 0. 注② 若|||| = 1, 则称为单位向量. 注③ ||k|| = |k|||||, 其中k F.
y1 y2 yn
…
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.1 设内积空间V 的一组基1, …, n的 度量矩阵为G, V中的向量, 在这 组基下的坐标分别为X, Y, 则 , = XTGY = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
三. 欧氏空间中非零向量的夹角 定义2.1.5 设 , 为欧氏空间V中的非零向量, , 则称 = arccos 为 与 的 ||||||||
夹角.
|, |2 , , |,| ||||||||.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
四. 内积空间中的正交向量 定义2.1.6 设 , 为内积空间V中的向量. 若, = 0, 则称与 正交, 记为 . 内积空间V中的一组两两正交的 非零向量称为正交向量组.
则
n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
例4 在 nn中定义A, B = tr(ABH). 证明 nn为酉空间.
证明: (1) B, A = tr(BAH) = tr((BAH)T) = tr(ABT) = tr(ABH) = tr(ABH) = tr(ABH) = A, B. (2) A+B, C = tr((A+B)CH) = … = tr(ACH) + tr(BCH) = A, C + B, C. (3) kA, B = tr(kABH) = ktr(ABH) = kA, B. (4) A, A = tr(AAH) = A1A1H + … + AnAnH 0, (其中Ai为A的第i行, i = 1, …, n) 且等号成立 Ai = 0 A = O.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
注① 内积空间V( )称为酉空间. 内积空间V( )称为欧氏空间.
注② , + = +, = , + ,
= , + , = , + , , , k = k , = k , = k , = k , , , 0 = 0 = 0, .
n, 1
注: gji = j, i = i, j = gij, 故GH = G.
…
…
n, 2
… n, n
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
= x11 + x22 +…+ xnn = y11 + y22 +…+ ynn = (1, 2, …, n)X, = (1, 2, …, n)Y,
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
例5 设C[a, b] = {[a, b]上的全体连续实函数}. f(x), g(x) C[a, b], 定义
f(x), g(x) =
b a
f(x)g(x)dx.
证明C[a, b]为欧氏空间. 证明: (1) f(x), g(x) = … = g(x), f(x); (2) f(x)+g(x), h(x) = … = f(x), h(x) + g(x), h(x); (3) kf(x), g(x) = … = k f(x), g(x); (4) f(x), f(x) = … 0, 且等号成立 f(x) 0.
x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn)
2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn …
|, |2 , , |, | ||||||||.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.4 设, 为内积空间V中的向量. 称d(, ) = || ||为与的距离.
注① || ||2 = , = ( ), ( ) = , = || ||2, 故d(, ) = d(, ). 注② d(, ) = || || = ||( ) + ( )|| || || + || || = d(, ) + d(, ).
, 当 0时, 取t = , 代入上式得 , , , , 0 , , , , , + , , ,
, , , , = . ,
柯西-施瓦茨-布尼亚科夫斯基不等式 (Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky inequality).
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
证明: 令 = + t, t F, 则 0 , = , + t , + t , + t t , .
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn = x1(1, 1y1 + 1, 2y2 + … + 1, nyn)
+ x2(2, 1y1 + 2, 2y2 + … + 2, nyn) +… + xn(n, 1y1 + n, 2y2 + … + n, nyn)
工程矩阵理论
主讲: 张小向
第二章 内积空间与等距变换
第一节 内积空间的 基本概念 第二节 正交补, 向量到子空间的 最短距离 第三节 等距变换
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
§2.1 内积空间的基本概念 一. 内积, 内积空间, 度量矩阵 定义2.1.1 设V为数域F ( 或 )上的线性空间. 若对于任意的(, )VV,
, 若, 线性无关, 则 = , 0, , , , , 且0 < , = . ,
由此可得|, |2 = , , < , , . 可见等号成立 , 线性相关.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.3 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 || + || |||| + ||||.
证明:
|| + ||2 = + , + = , + , + , + , = ||||2 + 2Re, + ||||2 ||||2 + 2|, | + ||||2 ||||2 + 2|||||||| + ||||2 = (|||| + ||||)2, 故|| + || |||| + ||||.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
例1 在 则 例2 在
n中定义X,
Y = YTX, n为欧氏空间. n中定义X, Y = YHX, 则
n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 中的内积均指标准内积.
n
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
若, 线性相关, 当, 中有一个为0时, 等号当然成立; 当, 均不为0时, 存在k F使得 = k, 于是|, |2 = |k, |2 = |k|2, 2 = k, k, = , , .
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn)
2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn …
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念