2020—2021年新高考总复习数学(理)第二次高考模拟冲刺卷及答案解析.docx

2019年二模突破冲刺交流试卷（01）
高三数学（理）
一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足(2)5i z i +=(其中i 是虚数单位,满足2
1i
=-),则复数z 的共轭复
数在复平面中对应的点在第几象限（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.要得到函数
sin 44y x π⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A 向左平移π16个单位 B 向右平移π
16个单位 C 向左平移π
4个单位 D 向右平移π
4个单位
3.设x R ∈ ，则“31x +< ”是“220x x +-> ”的( )
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x +y 为偶数”， 事件B 为“x y ≠”，则概率()P B A =（ ）
A ．12
B ．14
C ． 13
D ．2
3
5. 如果双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则
双曲线的离心率为（ ） A ．
B ．
C ． 2
D ． 3
6. 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )
A ．相交且垂直
B ．相交但不垂直
C ．异面且垂直
D ．异面但不垂直
7.已知向量()()2016,2,,2016-==k b k a ρρ的夹角为钝角，则函数
()201622
++=k k k f 的
最小值为（ ）
A. 2013
B. 2014
C. 2015
D.2016
8.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当
23
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A (1)(1)(0)f f f <-<
B (0)(1)(1)f f f <<-
C (1)(0)(1)f f f -<<
D (1)(0)(1)f f f <<- 9.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）
A ．1
B ．43
C ．5
4 D ．2
10.25()x x y ++的展开式中，42
x y 的系数为( )
A 15
B 25
C 30
D 50
11.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=600
,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为183，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64
π C.144π D.256π
12. 已知函数f(x)=|log 2x|-m(m>0)的零点分别为x 1,x 2(x 1<x 2),函数
g(x)=|log 2x|8
(0)21m m ->+的零点分别为
x 3,x 4(x 3<x 4),则
24
13
x x x x --的最小值为( )
A.4√43
B.8√43
C.4√2
D.8√2
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数
||)(a x e x f -=（a 为常数）。

若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的
取值范围是 。

14.已知抛物线Γ：y 2
=4x 的焦点为F ，P 是Γ的准线上一点，Q 是直线PF 与Γ
的一个交点．若2PQ QF =u u u r u u u r
,则直线
PF 的方程为 ．
15.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3,
A+C=2B,则sinC= .
16.设,x y 满足约束条件36020,0
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩，若(,0)ax by a b +>的最大值是
12，则22
a b
+的最小值是
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）
已知θ是锐角，且tan θ=12-，数列
1
)4
2sin(2tan 21-+
+=+π
θθn n a a ,数列{}n a 的首
项11=a ，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n S
18. （本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2. (1)证明：AC 1⊥A 1B ；
(2) 设二面角A 1－AB －C 的正切值为15.求直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离。

19.（本小题满分12分）甲乙两支蓝球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入50万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元． （Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为350万元的概率； （Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值()E X ．
20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，
，点B 在直线
1:1
l y =-上，点M 满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r
，点M 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程；
（2）设直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点
Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？
若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.
21. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x
－kx 2
(e 为自然对数的底数)，x ∈R.
(1)若k ＝1
2
，求证：当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＞1；
(2)若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k 的取值范围；
(3)求证：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫214＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫224＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＋1…⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
2n 4
＋1＜e 4(n ∈N *)．
四．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作
O e ，分别交,AC AD 于点,E F ．
（Ⅰ）证明：,,,C D E F 四点共圆；
（Ⅱ）若D 为BC 中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长．
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系x y O中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐
标系，圆锥曲线C的极坐标方程为
2
2
12
3sin
ρ
θ
=
+，F1是圆锥曲线C的左焦点．直
线l
：
1
x t
y
=-+
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩(t为参数) ．
（Ⅰ）求圆锥曲线C的直角坐标方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆锥曲线C交于,M N两点，求|F1M|+|F1N|．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+. （1）解关于x 的不等式[()]30g f x m +->；
（2）若函数()f x 的图像恒在函数(2)g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.
参考答案
1.D
2. B
3. A
4.D
5. C
6. C
7.C
8. C
9.A 10. C 11. C 12. D 13. ]1,(-∞
14.
0y +-=0y --=
15.1 16.
3613 17. 【解析】（1）
22tan tan 21,1tan θ
θθ
θ
=
=-Q 为锐角
24π
θ⇒=
1
)4
2sin(=+
∴π
θ
1
2-=⇒n n a
()01221
2122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L
023********(1)22n n
n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L
()1
21+•-=⇒n n n S 错位相减
18. 【解析】(1)因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，
又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，连接A 1C. 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C. 由三垂线定理得AC 1⊥ A 1B.
(2)方法（1）BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1.故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.
作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.
作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F.由三垂线定理得A 1F ⊥AB ， 故∠A 1FD 为二面角A 1－AB －C 的平面角．
设AD=x 则A 1D=
，
DF x
=
，而
tan ∠A 1FD ＝A 1D
DF
＝15,
故x=1 所以D 是AC 的中点
31=D A 为直线
AA 1与平面BCC 1B 1的距离
方法（2）可以建立空间坐标系来做，略
19. 【解析】（I ）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为50，公差为10的等差数列．
设此数列为{}n a ，则易知150,1040n a a n ==+，
(1090)
350,2n n n S +∴=
=
解得14n =-（舍去）或5n =，所以此决赛共比赛了5场．
则前4场比赛的比分必为1:3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为
14
411()24C =
；
（II ）随机变量X 可取的值为4567,,,S S S S ，即260，350，450，560
又
414
41111(260)2(),(350)()2824P X P X C ==⋅====
2536
561515(450)(),(560)()216216P X C P X C ======
所以，X 的分布列为
所以X 的均值为435.625万元 20. 【解析】(1)设(,)M x y ,由
//MB OA
uuu r uu r 得(,1)B x -,又(01)A ，
，∴(,1)
MA x y =--u u u r
,
(0,1)
MB y =--u u u r
,
(,2)
AB x =-u u u r
.由
MA AB MB BA
⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r 得
()0
MA MB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r 即
(,2)(,2)0x y x --⋅-=24x y ⇒=，∴曲线C 的方程式为24x y =.
（2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，
则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，又设点
20
0(,)
4x P x ，由直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切，由
214y x =
得1'2y x =，∴001
'|2x x k y x ===，
∴直线2l 的方程为2000()42x x y x x -=-
令1y =-得2
02
2x x x -=，∴Q 点的坐标为00
2(,1)
2x x --，
20000
2
(,),(,1)
42x x NP x n NQ n x ∴=-=---u u u r u u u r
∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴
22220
002(1)()(1)20
(*)
244
x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=u u u r u u u r
要使方程(*)对0x 恒成立，必须有2
10
20n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，
∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)． 21. 【解析】(1)f(x)＝e x
－12
x 2
，记h(x)＝f ′(x)＝e x －x ，则h ′(x)＝e x
－1＞0(x ＞0)．
∴f ′(x)在(0，＋∞)上递增，∴f ′(x)＞f ′(0)＝1＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝1.
(2)(方法1)f ′(x)＝e x
－2kx ，下面求使f ′(x)≥0(x ＞0)恒成立的k 的取值范围． 若k ≤0，显然f ′(x)＞0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；记φ(x)＝e x
－2kx ，
则φ′(x)＝e x
－2k ，
当0＜k ＜12时，∵e x ＞e 0
＝1，2k ＜1，∴φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上单调
递增，
于是f ′(x)＝φ(x)＞φ(0)＝1＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当k ≥1
2时，φ
(x)在(0，ln 2k)上单调递减，在(ln 2k ，＋∞)上单调递增，于是f ′(x)＝φ(x)≥φ(ln 2k)＝e ln 2k
－2kln 2k ，
由e ln 2k
－2kln 2k ≥0得2k －2kln 2k ≥0，则12≤k ≤e
2
. 综上，k 的取值范围为
⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤
－∞，e 2. (方法2)f ′(x)＝e x
－2kx ，下面求使f ′(x)≥0(x ＞0)恒成立的k 的取值范围．即k ≤e x
2x (x ＞0)恒成立，记φ(x)＝e x
2x (x ＞0)，则φ′(x)＝12·e x
·x －e x
·1x 2＝12·e x
（x －1）x 2
(x ＞0)，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
φ(x)min ＝φ(1)＝e 2，则k ≤e 2(x ＞0)．∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎦
⎥⎥⎤－∞，e 2. (3)(方法1)由(1)知，对于x ∈(0，＋∞)，有e x
＞12
x 2
＋1，∴e 2x ＞2x 2＋1.则ln(2x
2
＋1)＜2x ，
从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n 4＋1＜2n 2(n ∈N *)，于是ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫214
＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫224＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＋1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
2n 4＋1＜212＋222＋232＋…＋2n 2＜212＋21×2＋22×3＋…＋2（n －1）×n ＝2＋2(1－12＋12－1
3
＋…＋1n －1－1n )＝4－2n ＜4，故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫214＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫224＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＋1…⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫2n 4
＋1＜e 4(n ∈N *)． (方法2)由(1)知，对于x ∈(0，＋∞)，有e x
＞12
x 2
＋1，∴e 2x ＞2x 2＋1，则ln(2x
2
＋1)＜2x ， 从而有
ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2n 4
＋1＜2n 2(n ∈N *)，又1n 2＝44n 2＜44n 2－1＝4（2n －1）（2n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
12n －1－12n ＋1， ∴112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝1＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫13－12n ＋1＜53， 于是
ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫214＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫224＋1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＋1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n 4＋1＜2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
112＋122＋132＋…＋1n 2＜10
3
＜4， 故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫214＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫224＋1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫234＋1…⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
2n 4
＋1＜e 4.
22.（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）连结,BF EF ，则CEF
∠=因为AB 为直径，所以90AFB ∠=︒，因为AB BC ⊥，所以ABF ∠=∠所以ADB CEF ∠=∠，所以,,,C D E F 四点共圆．
（Ⅱ）由已知BD 为O e 的切线，所以()21134BD DF DA =⋅=⨯+=，故2BD =，
所以
AB ===，因为
D
为
BC
中点，所以
B
C
D
4,BC AC ==
=．
因为,,,C D E F 四点共圆，所以AE AC AF AD ⋅=⋅
，所以AF AD AE AC ⋅=
==．
23.【解析】（Ⅰ）圆锥曲线C 的普通方程为22
:1
43x y C +=，所以直线
l 的直角坐
0y -+=（Ⅱ）将直线l
的参数方程11,2x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），代入
椭圆方程得： 254120t t --=，所以，t 1+t 2=4/5，t 1.t 2=-12/5所以，|F 1M|+|F 1N|=|
t 1|+|t 2|=| t 1-t 2|=16/5．
24．【解析】（1）由[()]30g f x m +->得|||4|3x -<，3||43x ∴-<-< 1||7x ∴<<
故不等式的解集为()()7,11,7--U
（2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方
∴()(2)f x g x >恒成立，即|24|||m x x <-+恒成立∵|24|||2x x -+≥， ∴m 的取值范围为2m <.。