最新人教A版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 教案

同角三角函数的基本关系（教案）
一、教学目标：
1.知识与能力
理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.
2.过程与方法
通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式.
3.情感、态度与价值观
培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.
二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).
三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.
四、教学方法与手段：
本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给
堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．
五、教学过程：
【探究引入】
思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于
点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？
由此你能得到什么结论？
分析：22MP OM +=2cos 1α+=.
思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？ 分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.
思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），根据三角函数定义，有
tan (0)y
x x α=
≠， 由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系？ 分析：sin tan cos α
αα=.
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？ 分析：()2
a k k Z π
π≠+∈.
【讲授新课】
1.同角三角函数基本关系： （1）平方关系：22sin cos 1αα+=； （2）商数关系：
sin tan cos ααα=，()2
a k k Z π
π≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立： ①()22sin cos 1;αβαβ+=≠②2
2
sin cos 122
α
α
+=； ③
sin 2tan 2.cos 2α
αα
= Ⅱ、说明：①注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.
②2sin α是()2
sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”.
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：
22sin 1cos αα=-， cos α=()2
12sin cos sin cos αααα±⋅=±
sin cos tan α
αα
=
，sin cos tan ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:
(1)2
4
2
2
sin cos sin cos ββββ++; (2 )222cos 1
12sin αα
--.
分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”；
（2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招. 解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=
（2）原式=()
2222222222
2cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα
-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药. 变式训练：化简下列各式: (1)()221tan cos αα+⋅(2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααα
αα
+--⋅+-.
答案：（1）1； （2）sin cos αα-.
题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”） 例2．（1）已知12
sin 13α=
，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα． （2）已知4
cos 5
α=-，求sin ,tan αα．
分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论. 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313
αα=-=-=，
又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-
，从而sin 12
tan cos 5
ααα==-． （2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243
sin 1cos 1()()55
αα=-=--=，
又∵4
cos 05
α=-<，∴α在第二或三象限.
①当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3
tan cos 4ααα==-；
②当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3
tan cos 4
ααα==．
【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或
sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无
条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.
变式训练：《中》191P -变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5
tan 12
α=-
，则sin α等于( D ) A.15B.15- C.513D.513
- 六、板书设计
1.同角三角函数基本关系：
（1）平方关系.
（2）商数关系.
2、题型一、化简
例1.
变式训练：
3、题型二、知一求二
例2．
变式训练：
七、小结
1. 同角三角函数基本关系及其变式.
2. 化简.
3. 求值：①知一求二；②弦化切.
八、作业
课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.
九、教学后记
本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。