北师大版初中数学九年级上册角平分线教案

课题：第一章第四节角平分线（第二课时）
课型：新授课
教学目标：
1.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能
力．（重点）
2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．（重难点）
3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教法与学法指导：
本节课教学模式主要采用“小组合作竞学”的教学模式.提出问题让学生想，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与规律让学生归纳，并且营造小组竞学的氛围. 教师的作用在于组织、点拨、引导，促进学生主动探索，积极思考，大胆想象，总结规律，充分发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人.
课前准备：制作课件，学生课前进行相关预习.
教学过程：
一、感悟导入
问题1 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示尺规作图过程)．
[生]三角形的三个内角的角平分线交于一点．
[生]根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．
[师]你还可以用什么方法说明上述结论呢？
[生]利用折纸．在纸板上画一个三角形并剪下来，折叠，作出三角形三个内角的角平分线交于一点．
[师]如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明它呢？可以类比我们学过的知识解决吗？
[生]可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．我们在证此结论时，先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．
[师]很好！下面我们就来证明：三角形三条角平分线相交于一点．
二、探究新知
1.三角形角平分线性质定理的证明
[师生共析]已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
证明：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE＝PF．
∴PD＝PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
[师]在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还证明了什么呢？
[生]还证明了PD＝PE＝PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．
[师]于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即
定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
[师]下面我们来看问题2(多媒体演示)
如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
[生]有一处．在三条公路的交点A 、B 、C 组成的△ABC 三条角平分线的交点处． [师]你如何发现的？
[生]因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
[生]我找到四处．(同学们很吃惊) [师
]你是如何找到的？
[生]除了刚才同学找到的三角形ABC 内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB 、∠ABC 外角的平分线交于点P 1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P 1在∠CAB 的角平分线上，且到l 1、l 2、l 3的距离相等．同理还有∠BAC 、∠BCA 的外角的角平分线的交点P 2；∠BAC 、∠CBA 的外角的角平分线的交点P 3．因此满足条件的点共4个，分别是P 、P 1、P 2、P 3．
三、合作竞学 多媒体演示
[例1]如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．
(1)已知CD ＝4cm ，求AC 的长； (2)求证：AB ＝AC ＋CD ．
分析：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC 的长，需求出BC 的长，而BC ＝CD ＋DB ，CD ＝4cm ，而BD 在等腰直角三角形DBE 中，根据角平分线的性质，DE ＝CD ＝4cm ，再根据勾股定理便可求出DB 的长．第(2)问中，求证AB ＝AC ＋CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB ＝AE ＋BE ，所以需证AC ＝AE ，CD ＝BE ．
(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∠C ＝90°，DE ⊥AB ．
∴DE ＝CD ＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)． ∵AC ＝BC ．∴∠B ＝∠BAC (等边对等角)． ∵∠C ＝90°， ∴∠B ＝
2
1
×90°＝45°． ∴∠BDE ＝90°－45°＝45°． ∴BE ＝DE (等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中
BD ＝22DE ＝24cm(勾股定理)， ∴AC ＝BC ＝CD ＋BD ＝(4＋24)cm ．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC＝AE．
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．
[例2]已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：(1)OC＝OD；
(2)OP是CD的垂直平分线．
证明：(1)∵P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
OP＝OP，PC＝PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．
∴OC＝OD(全等三角形对应边相等)．
(2)又OP是∠AOB的角平分线，
∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢？
四、课堂小结
1.师：通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？
生1：本节课我学会了证明三角形角平分线的性质定理．
生2：我们可以用三角形角平分线的性质定理解决一些数学问题和实际问题.
生3：我进一步熟练了尺规作角的平分线．
生4：我学会了类比的思想方法.
生5：通过课本p39,第2题和助学p24第7题我学会了归纳总结思想. 五、达标检测
1.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分
别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE =AF ；③AD 上的点到B 、C
两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有：( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
〖答案〗D
2. 已知：如下图，在△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，
求证：点F 在∠DAE 的平分线上.
〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应
该用用什么方法呢?
〖答案〗证明：过点F 作FG ⊥BC ,FM ⊥AE ,FN ⊥AD 垂足分别为G 、M 、N . ∵FB 、FC 分别为∠CBD 、∠BCE 的角平分线 ∴FG = FN , FG =FM ∴FN =FM
∴点F 在∠DAE 的平分线上.
六、布置作业
1．习题1．9第1，2，3题．
2．完成助学p26第1，2题．选作第5题
F E D
A
C
B
M N
G F A
D E
B C
七、板书设计
§1．4．2 角平分线(二)
1．定理：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
2．[例]在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD＝4cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD．
分析：(略)
解：(略)
八、教学反思
教材中的引入是一种用被动的方式将学生的知识回想起来.而笔者的引入以交流方式让学生主动回想起角平分线的概念以及画法，这样对学生思维的启发度深；也让学生明白前后知识的联系，以填空的形式给出让学生的思维对角平分线是射线、三角形的角平分线是线段有了充分的理解与掌握.这样学生对知识的学习达到知其然、知其所以然的效果.
1、这节课主要是用类比的教学方法——将书本的知识隐含的内容表达出来、给学生一种美的感受；将旧知与新知以有效的语言表达出来、合适的方式写在一起，为师生的交流创造良好的氛围；这样学生的学习就容易达到事半功倍的效果。

通过问题的解决，让学生学会从不同角度分析问题、解决问题；让学生学会引申、变更问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.
2.重视情境创设，让学生经历求知过程.本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考.
3、教学过程不足之处
在具体的教学过程中，整个课堂显得时间仓促，没有给学生留下足够的时间和空间进行定理应用。

特别是课堂小结，在对知识的梳理上显然做的不够。

假如对本节课进行第二次设计，我想只探讨角平分线性质定理即可，而后补充一些例题给学生足够的时间让他们进行分析和运用，落实对推理问题思路的探寻和清晰、条理性书写证明的过程，切实培养学生的逻辑推理能力和灵活运用知识解决问题的能力.另外，教学语言不精练，有的话重复了好几遍，过多的点拨剥夺了学生的思维参与机会；课堂提问质量不高，尤其是对课堂语言的锤炼，不仅仅是表达清楚，更要言简意赅，把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更多的时间去思考.还要注意，发挥学生的主体性不应停留在口头上，还要在实际操作时充分体现教师是学生学习的引导者，学生是学习的真正的主人.。