基于马尔可夫链的中原经济区人均GDP状态预测

基于马尔可夫链的中原经济区人均GDP状态预测
内容摘要：本文运用马尔可夫链对中原经济区29个地市的人均GDP的类型进行预测。

研究发现，2008年以来，从人均GDP来看，中原经济区各地市已全部达到小康状态；从2009年开始再发展二到五年，中原经济区中处于小康和富裕状态的地市会逐渐减少，而处于发达状态的地市将大幅增加。

关键词：中原经济区人均GDP 马尔可夫链概率转移矩阵
马尔可夫链
马尔可夫研究发现，自然界和社会界有一类事物的发展变化过程与事物的近期状态（所谓一个“状态”是指事物在某一时刻上所处的某种状况）有关，与事物的近期状态无关，这一特性称为“无后效性”。

即事物的第n次试验结果仅取决于第n-1次试验的结果，第n-1次的结果仅取决于第n-2次试验的结果，依次类推。

用来描述具有无后效性的随机序列称为马氏过程，其中最简单的就是马尔可夫链。

用数学语言来表示就是：设{ξn；n=1，2…}是一个随机序列，状态空间I为有限集合或无穷可列集合。

m，n都是正整数，且i，j，ik(k=0，1，2…，n-1)∈I，i表示现在时刻状态，j表示未来时刻状态，ik表示现在时刻以前的各时刻状态。

若：p{ξn+m=j|ξn=i，ξn-1=in-1，…ξ0=i0}
=p{ξn+m=j|ξn=i}
则称{ξn ；n=1，2…}是马尔可夫链。

马尔可夫链表示事物的状态，像一根链条一样，从过去到现在，再到将来，环环相连。

马尔可夫链的一步转移概率是指由状态i出发，通过一步转移到达状态j的概率，记为：pij(1)=pij=p{ξn+m=j|ξn=i}
若事物由状态i出发经过一步转移到达状态j的次数为nij，则：
一步转移概率矩阵如下：
极限表示过程到达平稳状态，表示极限概率，该极限与起始分布无关，因此在过程经过长时间的转移以后，各状态的概率就会趋于稳定。

称π0，π1，…，πj，…为平稳分布(极限分布)，且π=（π0，π1，…，πj，…）。

P的极限矩阵π满足下列关系：
第一，πi pij=πi，πi>0，即πp=π。

第二，πi=1，这里I为状态空间。

中原经济区各地市人均GDP数据的马氏性检验
我们先对2005年到2009年中原经济区29个地市的人均GDP数据是否具有无后效性进行检验，利用计量经济学软件Eviews3.1对上述的数据进行回归分析，将中原经济区各地市人均GDP数据分别与滞后一期、二期及三期的人均GDP数值进行回归。

我们分别用Y、Yt1、Yt2、Yt3表示即期、滞后一期、滞后两期、滞后三期的人均GDP，进行回归，得方程如下：
对上面3个方程进行比较分析，可发现，方程2中的YT2（T检验值为0.036）和方程3中的YT2、YT3（T检验值分别为0.040与-0.025）均未通过显著性检验，即方程不显著，说明中原经济区人均GDP的变化与滞后两期及其以前的状态无关。

另外，方程1的R2=0.996，说明人均GDP即期值与前一期人均GDP 具有显著的线性相关性，由此可见中原经济区的人均GDP数据具有无后效性，因此可以用马尔可夫链进行预测。

中原经济区人均GDP状态的实证分析
（一）状态的划分
当今世界各国普遍以GDP作为国民经济核算体系，GDP已成为衡量各个国家及地区发展程度的统一标准。

同样人均GDP也是一个十分重要的经济指标，目前我国确定小康社会内涵的核心指标之一就是人均GDP。

世界银行1990年世界发展报告中也是按照人均GDP，将121个国家或地区划分为贫困、温饱、小康、富裕和发达五种状态，结合实际情况，按照如下标准，我们将中原经济区人均GDP划分为以下五种状态：人均GDP在300美元以下的称为贫困状态，记为N1；人均GDP在300美元至800美元的称为温饱状态，记为N2；人均GDP在800美元至1500美元的称为小康状态，记为N3；人均GDP在1500美元至3000美元的称为富裕状态，记为N4；人均GDP在3000美元以上的称为发达状态，记为N5。

经过检验，发现中原经济区人均GDP具备无后效性，因此可以将其看作是一个马尔可夫链，它的状态空间是{N1、N2、N3、N4、N5}。

接下来，我们就根据2005年至2009年中原经济区的人均GDP（见表1，由于2005年以来，人民币对美元的汇率变化比较大，为了研究方便，此处按照美元：人民币—2005年、2006年1:8；2007年1:7.5；2008年、2009年1:7的汇率来换算）的情况来建立马尔可夫预测模型。

（二）状态转移概率的计算
根据表1中数据，我们可以发现2005年以来中原经济区中各地市人均GDP 都在贫困线以上，因此我们重新将中原经济区各地市的人均GDP划分为四种状态：人均GDP在300美元至800美元的称为温饱状态，记为M1；人均GDP在800美元至1500美元的称为小康状态，记为M2；人均GDP在1500美元至3000美元的称为富裕状态，记为M3；人均GDP在3000美元以上的称为发达状态，记为M4。

根据表2，我们得到了2005-2006年的转移状态，如表3所示。

从表3可以看出，2005-2006年的转移概率矩阵为：
同理我们可以得到2006-2007年、2007-2008年的转移概率矩阵：
由于从2008年开始中原经济区各地市均达到了小康状态，因此没有温饱地区，这就造成了2008年至2009年的状态转移矩阵第一行元素全为0，而转移概率矩阵有一个特性，就是每一行的数字之和均为1，所以必须对该转移概率矩阵进行修正，修正后得转移概率矩阵为：
将上面的四个转移概率矩阵再求平均值（这样可以减少计算中的随机误差），就得到一步转移概率矩阵：
若一步转移概率矩阵p进行n步转移，并求n趋于无穷大的极限，则π=（0，0，0，1）一定是它的最终分布，也就是说如果没有战争、金融危机和重大自然灾害的情况下，一定时间之后，中原经济区29个地市的经济都会达到发达地区的状态。

因此可以说，我们求出的最终分布与实际情况是近似吻合的。

所以，马尔可夫链可以用来预测几年后中原经济区人均GDP的状况。

未来中原经济区各地市的人均GDP状态的预测
将2009年中原经济区人均GDP的状态数作为初始状态，即α0=（0，3，12，14）。

中原经济区的人均GDP两年后状态预测为：
由计算可知，若按目前转移概率基本保持不变的情况来变化，那么两年后，中原经济区各地市都将超越温饱状态，达到小康及以上状态，将有1.025个小康地区，8.856个富裕地区和19.119发达地区。

中原经济区五年后的人均GDP状态预测为：
这个结果表明，若按目前转移概率基本保持不变的情况来变化，五年后，中原经济区各地市都已达到小康及以上状态。

与两年后相比，小康和富裕地区进一步减少，发达地区大幅增加。

到时候，中原经济区只有0.205个地区为小康地区，4.678个地区为富裕地区，发达地区的个数则达到24.117个。

结论
由以上分析可以发现，根据人均GDP的情况来看，中原经济区29个地市在2008年已全部进入小康状态，从2009年开始再发展二到五年，中原经济区中小康地区和富裕地区的个数也将逐渐减少，而发达地区的个数将呈现明显增加的趋势。

一定时间之后，中原经济区各地市的经济都会达到发达地区的状态。

这一点恰好符合马尔可夫链的最终分布，所以用马尔可夫法进行预测是可行的。

本文是在没有战争、金融危机和重大自然灾害这一假设前提下进行讨论的，但是，如果在将来几年内不幸出现了这些异常情况，就可能会使经济发展变慢，甚至出现负增长，这样就会使中原经济区各地市从小康状态向富裕状态和发达状态的发展时间延长。

参考文献：
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