高中数学圆锥曲线解题技巧方法计划总结计划及高考试题及答案

高中数学圆锥曲线解题技巧方法方案总结方案及高考试题及答案
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圆锥曲线 圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号〞内的限制条件 ：椭圆中，
与两个定点
F 1，F 2的距离的和等于常数
2a ，且此常
数2a 一定要大于F 1F 2，当常数等于 F 1F 2 时，轨
迹 是线段F 1F 2 ，当常数小于F 1F 2时，无轨迹；双曲线 中，与两定点 F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常
数 2a ， 且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值〞与2a ＜|F 1F 2
|不可无视。

假设2a ＝
|F 1F 2
|，那么轨迹是 以F 1，F 2为端点的两条射线，假设 2a ﹥|F 1F 2|，那么轨
迹不存在。

假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线 的一支。

如方程(x6)2
y 2 (x 6)2 y 2 8表示的
曲线是_____〔答：双曲线的左支〕
2. 圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：
〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时x2 y 2
1 a
2 b 2 〔 a b 0 〕，焦点在 y 轴上时
y 2 x 2
＝1
b 2
2 2
a 2
〔a b 0〕。

方程 By C 表示椭圆的充要
条
Ax 件是什么？〔ABC≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B〕。

假设
x,y
R ，且3x 2
2y 2 6，那么x y 的最大 值是____，x 2 y 2
的最小值是___〔答： 5,2〕
2 2
〔2〕双曲线：焦点在x 轴上：x
2 y 2=1，焦 a b
点在y 轴上：
y2
x2
＝1〔a0,b
0〕。

方程
Ax 2 By 2
a 2
b 2
C 表示双曲线的充要条件是什么？
〔 ABC
0，且A ，B 异号〕。

如设中心在坐标原点O ，焦点F 1、F 2在坐标轴
上，离心率e
2 的双曲线
C 过点P(4,10) ，那么
C
的方程为_______〔答：x 2 y 2
6〕
〔3〕抛物线：开口向右时 y 2
2px(p 0)，开 口向左时
y 2
2px(p
0)， 开口向 上时
x 2 2py(p 0)，开口向下时x 2
2py(p 0)。

圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕： 1〕椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在
分母大的坐标轴上。

如方程
x 2
y 2
y 轴
m1 2 1表示焦点在
m
上的椭圆，那么m 的取值范围是__
〔答：
3) 〕
(,1)(1, 2
〔2〕双曲线：由x 2
,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正
的坐标轴上；
3〕抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开
口方向。

提醒：在椭圆中，
a 最大，a 2
b 2
c 2
，在双曲
线中，c 最大，c 2 a 2 b 2。

4.
5. 圆锥曲线的几何性质：
x 2
y 2
1〔a
b
0〕为例〕：
〔1〕椭圆〔以
b
a 2
2
①范围：a xa, b y b ；②焦点：两个焦点
(c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对 称中心〔0,0〕，四个顶点( a,0),(0
, b)，其中长轴长
为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线x a 2
；⑤
c
c 离心率：e 0 e1，e 越小，椭圆越 ，椭圆 a
圆；e 越大，椭圆越扁。

如〔1〕假设椭圆
x2
y 2
1的离心率e
10
，那么m
5
m
5
的值是__〔答：3或
25
〕；
3
2〕以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角
形的面积最大值为1时，那么椭圆长轴的最小值为__〔答：
22〕
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〔2〕双曲线〔以x
2 y 2 1〔a
0,b 0〕为
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 ：
〔
1〕 以过焦点的弦为直径的圆和准线
相切； 〔2〕设AB 为焦
a 2
b 2
例〕：①范围：x a 或x a,y R ；②焦点：两个 点弦，M 为准线与x 轴的交点，那么∠AMF＝∠BMF；
〔3〕
焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴
x 0,y 0 ，一 设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为 A 1，B 1
， 个对称中心〔 0,0〕，两个顶点( a,0) ，其中实轴长
为
假设P 为A 1B 1的中点，那么 PA⊥PB；〔4〕假设AO 的延长线 2a ，虚轴长为 2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 交准线于C ，那么BC 平行于x 轴，反
之，假设过 B 点平行 时，称为等轴双曲线，其方程可设
为x 2 y 2 k,k 0； 于x 轴的直线交准线于 C 点，那么A ，O ，C 三点共线。

④准线：两条准线x
a 2
；⑤离心率：e c
，双
9、弦长公式：假设直线y kx b 与圆锥曲线相交于两 c a 点A 、B ，且x 1,x 2分别为
AB ＝
A 、
B 的横坐标，
那么 曲线 e1 ，等轴双曲
线
e2，e 越小，开口
1 k
2 x 1 x 2
，假设y 1,y 2分别为A 、B 的纵坐标，那么 越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：y
b
x 。

1 〔3〕抛物线〔以y 2
a
AB ＝1 y 1 y 2，假设弦AB 所在直线方程设为 2px(p
0)为例〕：①范围：
k 2
x0,yR ；②焦点：一个焦点
(p ,0)
，其中p 的几
x ky b
，那么AB ＝1k 2
y 1 y 2。

特别地，焦
2
点弦〔过焦点的弦〕：焦点弦的弦长的计算，一般不用 何意义是：焦点到准线的距离；
③对称性：一条对称轴
弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和 y0，没有对称中心，只有一个顶点〔0,0〕；④准
线：
后，利用第二定义求解。

p c
一条准线x ；⑤离心率：e
2 ，抛物线
10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦 e 1。

a
2
达定理〞或“点差法〞 求解。

如设a0,aR ，那么抛物线y
4ax 的焦点坐标
为
在椭圆x 2 y 2
1中，以P(x 0,y 0)为中点的弦所在
1
________〔答：(0, )〕
； a 2 b 2
16a
2 x
0； x 2
y 2
直线的斜率k=－b 5、点P(x 0,y 0)和椭圆
1〔a
b
0〕的关
2
y 0
a 2
b 2
a
x 02
y 02
弦所在直线的方
程： 垂直平分线的
系：〔1〕点P(x0,y0)在椭圆外
1；〔2〕 方程：
2 b 2
2 2
a
在双曲线x y
1中，以P(x 0,y 0)为中点的弦所在
2
y 2
点P(x 0,y 0)在椭圆上
x 0 0
＝1；〔3〕点
a 2
b 2
a 2
b 2
2
直线的斜率k=bx0 ；在抛物线 y 2 2px(p 0) 中，
x 02
y 02
P(x 0,y 0)在椭圆内 1
a 2
y 0
a 2
b 2
p
以P(x 0,y 0)为中点的弦所在直线的斜率 k= 。

6．直线与圆锥曲线的位
置关系
：
y 0
提醒：因
为
0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
〔1〕相交： 0 直线与椭圆相
交；
条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交
不一定有
验 0 ！
0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲
线相交且只有一个交
点， 故 0 是直线与双曲线相交 11．了解以下结论 的充分条件，但不是必要条件； 0 直线与抛物
线 2 2
y
相交，但直线与抛物线相交不一定有 0 ，当直线与 〔1〕双曲线x y 1的渐近线方程为 x 0；
b 抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个
a 2
b 2
a b
x 为渐近线〔即与双曲线
交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条
件， 〔2〕以y
但不是必要条件。

x
2
y
2
a
x
2 y
2
〔2〕相切： 0 直线与椭圆相切； 0
直
1
共渐近线〕的双曲线方程为
(
线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切； a 2 b 2 ≠0〕。

a 2
b 2
〔3〕相离： 0 直线与椭圆相离； 0
直
为参
数，
线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。

〔3〕中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲 线方程可设为 mx 2 ny 2 ；
1
提醒：〔1〕直线与双曲线、抛物线只有一个公共点 〔4〕椭圆、双曲线的通径〔过焦点且垂直于对称
时的位置关系有两种情形 ：相切和相交。

如果直线与双 轴的弦〕为2b
2
曲线的渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 , 但只有一
个 ，焦准距〔焦点到相应准线的距离〕
交点；如果直线与抛物线的轴平行时 ,直线与抛物线相 为
b 2
a
交,也只有一个交点；〔2〕过双曲线x 2 2 ，抛物线的通径
为 2p ，焦准距为p ；
2 y
2＝1外一 c a b
〔5〕通径是所有焦点弦〔过焦点的弦〕中最短的
点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如
弦；
下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内
〔6〕假设抛物线 y 2
2px(p
0)的焦点弦为AB ，
时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相
A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，那么①|AB| x 1 x 2
p ；
切的两条切线，共四条；② P 点在两条渐近线之间且包
p 2
含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和
只
p 2
②x 1x 2
,y 1y 2
与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐
4
近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行 2
〔7〕假设OA 、OB 是过抛
物线 y 2px(p 0)顶点 的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直
线；
O 的两条互相垂直的弦，那么
直线
AB 恒经过定点(2p,0) 〔3〕过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有
一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

12.圆锥曲线中线段的最值问题：
7、焦点三角形〔椭圆或双曲线上的一点与两焦
点
所构成的三角形〕 问题： S b 2 tan c|y 0|，当
例1、
(1)
抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
2 与到准线的距离和最小,
那么
点
P 的坐标为
|y 0| b 即P 为短轴端点时， S max 的最大值为 bc ；对
于双曲线S b 2。

如 〔1〕短轴长为 5， ______________
tan
(2) 抛物线C:y 2=4x 上一点Q 到点
B(4,1)
与到焦
2 2
练习：点P 是双曲线上x 2 y 点F 的距离和最小,那么点Q 的
坐标为。

1上一点，F 1,F 2为
12
分析：〔1〕A 在抛物线外，如图，连
PF ，那
么
双曲线的两个焦点， 且
PF 1 PF 2 =24，求
PF 1F 2的周
长。

PH PF ，因而易发现，当
A 、P 、F 三点共线
时，
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距离和最小。

uuuruuur uuur
〔MA +MB 〕? AB =0,即〔-x,-4-2y
〕? (x,-2)=0.
〔2〕B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l
交于R ，那么
当
所以曲线C 的方程式为y=1
x
2
-2.
(Ⅱ)设P(x ,y
)
0 0
4
B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。

解：〔1〕〔2，
2〕
为曲线C ：y=1
x 2-2
上一点，因为y '
=1x,所以l
1
的
〔 2〕〔 ,1〕
4
2
1
4
斜率为
x 0
因此直线l
的方程为
1
x 2
y
1，双曲线 C 2的左、
1
、椭圆C 1的方程为
2
yy 0
2
x
2
0。

4
x 0(xx 0)，即x 0x2y2y 0
C 的左、右顶点，而
C 的左、右顶点分
2
右焦点分别为
2
1
2
|2y 0 x 0 |.又y 0
1
x 02
别是C 1的左、右焦点。

那么O 点到l 的距离
d
2，所
(1)
求双曲线
C 2的方程；
x 02
4
4
(2)
假设直线l ：y
kx
2与椭圆C 及双曲线C
1 2
1
2
恒有两个不同的交点，且 l 与C 2的两个交点
A 和
B 满
以d
2 x 0 4 1
( 2
4 )
2,
x 02
4 2 x 04
x 02 4
足OAOB
6(其中O 为原点)，求k 的取值范围。

当x 02
O 点到l 距离的最小值为
的方程为
x
2
2
=0时取等号，所以
2.
解：〔Ⅰ〕设双曲线 C 2 2
y 2 1，那
么
2
a
b
3设双曲线〔a ＞0,b ＞0〕的渐近线与抛物线 y=x +1 相
a 2
4 1 3,再由a 2 b 2
c 2得b 2
1.
切，那么该双曲线的离心率等于 ( )
故C 2
的方程为
x
2
y
2
1.〔II
4、过椭圆()
的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦
〕将
3
点，假设，那么椭圆的离心率为
x 2
5、双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方
y
kx
y 2 1得(1 4k 2 )x 2 8 2kx
程为，点在双曲线上 .那么·＝()0
2代入
40.
4
6、直线与抛物线相交于两点，为的焦点，假设，那么
由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得
(
)
1
(8 2)2k 2
16(1 4k 2) 16(4k 2
1) 0,
7、直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的
1.
即 k 2
①
距离之和的最小值是〔
〕
4
将y
kx
2代入
x 2
y 2
1得(13k
2
)x 2
8、设抛物线
C 的顶点在坐标原点，焦点为
F (1，
3
62kx90
0)，直线
l 与抛物线
C 相交于 ， 两点。

假
设
AB 的中点
A B
.由直线l
与双曲线
C 恒有两个不同的交点
A ，
B 得
2
1 3k
2
0,
即k
2
2k)
2
36(13k 2)36(1k 2
) 2
(6 0.
为〔2，2〕，那么直
线 l 的方程为_____________.
9、椭圆的焦点为，点 P 在椭圆上，假设，那么
；
1且2
的k 大小为1..
3
10、过抛物线的焦点
F 作倾斜角为的直线交抛物线于
、
A
6 2k
B 两点，假设线段AB 的长为 8，那么
________________
设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),那么x A
9
x B
3k
2
,x A x B
【解析】设切点，那么切线的斜率为2
.由题意有又解得:
uuuruuur
1 1 3k
,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,
6得
x A x B
y A y B 6,而
双曲线的一条渐近线为 由OAOB
所以,
x A x B y A y B
x A x B (kx A
2)(kx B 2)
由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线， ∴双曲线方程是，于是
两焦点坐标分别是〔－ 2，0〕和〔2，0〕，且或.不妨去，那么，.
∴·＝
(k 2 1)x A x B 2k(x A x B ) 2
(k
2
1)
9
2k 6 2k 2
1 3k 2
1 3k 2
3k 2 7. 3k 2
1
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【解析】设抛物线的准线为直线
恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,那么,点B 为AP 的中点.连
结,那么,
点的横坐标为, 故点的坐标为
应选D
于是3k
2
7 6,即15k 2
13 0.解此不等式得
3k 2
1
3k 2
1
k 2 13 或k 2 1 .
③
15 3
1
1或13
由①、②、③得 k 2
k 2
1.
4
3
15
故
k
的
取
值
范
围 为
(1,
13
)U(
3, 1
)U(1,
3
)U(
13
,1)
15
3
2 2
3 15
2、在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,-1)
，B 点在
直线y=-3
uuur
〕,
上，M 点满足MB 以MA =〔-x,-1-y
uuur uuur
MB =(0,-3-y),
AB =(x,-2).
再由愿意得知。