2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高一上学期期末考试数学试题(答案+解析)

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年
高一上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）
1.角的终边落在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
[答案]A
[解析]，故为第一象限角，故选A．
2.若扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角为（）
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，
∴，故选B.
3.已知角的终边与单位圆的交于点，则（）
A. B. C. D.
[答案]C
[解析]∵点在单位圆上，，
则由三角函数的定义可得得，则.
4.已知，，，则（）
A. B. C. D.
[答案]B
[解析]∵，，
∴，，
又，∴，
即，∴.
故选：B.
5.最小正周期为，且图象关于点对称的一个函数是（）
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]由于函数的最小正周期为π，所以，所以选项A错误；
对于选项B,，所以选项B是错误的；
对于选项C, ，所以选项C是错误的；
对于选项D, ,所以选项D是正确的.
故答案为：D
6.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
[答案]B
[解析]根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为
锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
7.设平面向量，若，则（）
A. B. C. 4 D. 5
[答案]B
[解析]由题意得，解得，
则，所以，故选B.
8.若，则实数的值为（）
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]由得，，故选A.
9.已知函数图象的一条对称轴是，则的值为（）
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]函数f（x）＝a cos x+sin x sin（x+θ），其中tanθ＝a，，
其图象关于直线对称，所以θ，θ，所以tanθ＝a，
故答案为：D.
10.为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）
A. 横坐标缩短到原来的倍
B. 横坐标伸长到原来的倍
C. 横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
D. 横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位
[答案]A
[解析]由题可得：，
故只需横坐标缩短到原来的倍即可得，故选A.
11.设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）
A. B. C. D.
[答案]D
[解析]，又，，
所以，显然时有一个解；
，，
所以关于的方程的解的个数为3,故选择D.
12.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
[答案]C
[解析]将函数的图象向右平移可得，
因为函数在区间上单调递增，所以，
解不等式组得，
因为，所以，
函数的零点为，，
即，最大负零点在内，
所以，化简得，
因为，所以，
由可知，的取值范围为，所以选C.
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）
13.函数的最小正周期是__________.
[答案]
[解析]由题可得：，所以，故答案为.
14.函数，，则的最小值为___________. [答案]
[解析]由题得，
因为，所以，设，
所以当t=时，g(t)的最小值=-4.
故答案为：-4.
15.已知向量，，则在方向上的投影为__________. [答案]
[解析]因为向量，，
∴−=（-1，-1），
在方向上的投影为，故答案为.
16.已知为上的偶函数，当时，，若函数
（）有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
[答案]
[解析]作出函数的图象如图所示，
令，则由图象可得：
当时，方程只有1解；
当或时，方程有2解；
当时，方程有4解；
因为，所以或，
因为有解，所以又两解，
所以或．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知，且是第二象限角.
（1）求的值；（2）求的值.
解：（1）∵是第二象限角，∴，∴.
∴.
（2）由（1）知，.
∴原式.
18.已知，且.
（1）求的值；（2）若，，求的值.
解：（1），且，，
于是；
（2）,,,
结合得：，
于是.
19.已知.
(1)求的值；(2)求的值.
解：（1）.
（2）.
20.已知，，若.
(1)求的最小正周期和最大值；(2)讨论在上的单调性.
解：（1）f(x)=sin x cos x-cos2x=cos x sin x-(1+cos2x)=，所以最大值为，由2x-=k+,k∈Z, 所以对称轴x=, k∈Z.
（2）当x∈时，，
从而当，时，f(x)单调递增；
当,f(x)单调递减，
综上可知f(x)在上单调递增，在上单调减.
21.已知平面向量，满足，，
(1)若，试求与的夹角的余弦值；
(2)若对一切实数，恒成立，求与的夹角.
解：（1）因为||，||＝1，||＝2，所以||2＝4，
即2﹣2•2＝4，
2﹣2•1＝4，所以•．
设与的夹角为θ，
cosθ.
（2）令与的夹角为θ，
由|x|≥||，得（x）2≥（）2，
因为||，||＝1，所以x2+2x cosθ﹣2cosθ﹣1≥0，对一切实数x恒成立，所以△＝8cos2θ+8cosθ+4≤0，即（cosθ+1）2≤0，故cosθ，
因为θ∈[0，π]，所以θπ．
22.已知，.
（1）求当时，的值域；
（2）若函数在内有且只有一个零点，求的取值范围.
解：（1）当时，，令，则，，
，
当时，，当时，，所以的值域为. （2），
令，则当时，，，
，
在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点. 因为，∴在内为增函数，
①若在内有且只有一个零点，无零点，
故只需，得；
②若为的零点，内无零点，
则，得，经检验，符合题意.
综上，或.。