人教版高中数学选择性必修第三册6-2-4组合数

[解析] 对于A,6本不同的书中，先取2本给甲，再从剩余的4本中取2本给
乙，最后2本给丙，共有C26C24C22种不同的分法，故A正确；
对于B,6本不同的书中，先取1本作为一组，再从剩余的5本中取2本作为一
组，最后3本作为一组，共有C
1 6
C
2 5
C
3 3
＝60种分法，再将3本给甲、乙、丙三人，共
第六章 计数原理
6．2 排列与组合
6．2.4 组合数
[课标解读]1.通过实例，理解组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公 式，并会应用公式求值.3.能够运用组合数解决简单的实际问题．
[素养目标] 水平一：熟悉组合数公式及其性质，会用组合数公式求值．(数 学抽象)
水平二：运用组合数解决简单的实际问题．(数学运算、逻辑推理)
(2)证明：方法一：左边＝m＋1！nn！－m－1！＋m－1！nn！－m＋1！ ＋m！2nn－！m！＝ m＋1！nn！－m＋1！[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)] ＝m＋1！nn！－m＋1！(n＋2)(n＋1) ＝m＋1！n＋n2－！m＋1！＝Cmn＋＋21 ＝右边，原结论得证．
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知识点 组合数
1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用符号 Cnm 表示．
2．组合数公式及其性质 (1)公式：Cmn ＝AAmnmm＝m！nn！ －m！. (2)性质：Cmn ＝Cnn－m，Cmn ＋Cmn －1＝ Cnm＋1 . (3)规定：C0n＝ 1 .
方法二：利用公式Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1推得， 左边＝(Cmn ＋1＋Cmn )＋(Cmn ＋Cmn －1) ＝Cmn＋＋11＋Cmn＋1＝Cmn＋＋21＝右边．
1.有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的， Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1 常用于n，m为具体正整数的题目，一般偏向 于具体组合数的计算；公式Cmn ＝m！nn！ －m！ 常用于n，m为字母或含有字母的式 子的题目，一般偏向于方程的求解或有关组合数的恒等式的证明.
1 20
C
2 15
＝20×
15×14 2×1
＝2
100种．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2种假货有C
1 20
C
2 15
＝20×
15×14 2×1
＝2
100种，选取3种假货有C
3 15
＝
153××124××113＝455种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．
(1)任选5人； (2)男运动员3名，女运动员2名； (3)至少有1名女运动员； (4)队长至少有一人参加； (5)既要有队长，又要有女运动员．
解：(1)∵男运动员6名，女运动员4名，共10名，
∴任选5人的选法为C510＝150××49××38××27××16＝252，
∴任选5人，共有252种选法.
相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式C
m n
＝
n！ m！n－m！
的主要作用有：(1)计算m，n较大时的组合数；(2)对含有字母的组合
数的式子进行变形和证明．特别地，当m>
n 2
时计算C
m n
，用性质C
m n
＝C
n－m n
转化可减
少计算量．
[解] (1)①3C38－2C25＝3×38××27××16－2×25××14＝148.
二、练一练
1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个
球同色的不同取法有( C )
A．27种
B．24种
C．21种
D．18种
解析：分两类：一类是2个白球，有C
2 6
＝15种取法，另一类是2个黑球，有C
2 4
＝6
种取法，所以取法共有15＋6＝21种．
2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的
C45种选法．
∴不选女队长时共有C
4 8
－C
4 5
种选法.
既有队长又有女运动员共有C
4 9
＋C
4 8
－C
4 5
＝191种选法．
类型三 分组分配问题
[例3] (多选题)下列说法正确的为( ACD ) A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有C26C24C22种不同的分法 B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本， 有C16C25C33种不同的分法 C．6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法 D．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法 [思路分析] 利用均匀编号分组法可判断A；先将6本不同的书分成三组，然 后甲、乙、丙三人任取一组即可判断B；利用挡板法可判断C；分类讨论可判断D.
[变式训练3] (1)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考情
②∵338n－≤n2≤1＋3nn，， ∴9.5≤n≤10.5， ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C321n＋n＝C2380＋C3301＝28！30×！2！＋3310！ ！＝466. ③方法一：原式＝C33＋C45－C44＋C46－C45＋…＋C411－C410＝C411＝330. 方法二：原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310 ＝…＝C410＋C310＝C411＝330.
2.关于组合数的性质1Cmn ＝Cnn－m 1该性质反映了组合数的对称性，即从n个不同的元素中取出m个元素的每一 个组合，都对应着剩下的n－m个元素的一个组合，反过来也一样，这是一一对应 的关系. 2当m＞n2 时，通常不直接计算Cmn ，而改为计算Cnn－m .
3.关于组合数的性质2Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1 1形式特点：公式的左端下标为n＋1，右端下标为n，相差1，上标左端与右 端的一个相同，右端的另一个比它们少1； 2作用：常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明.应用时要注意 公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为 一”，使用变形Cmn －1＝Cmn＋1－Cmn ，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注 意灵活应用.
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3种的总数为C
3 35
＝
35×34×33 3×2×1
＝6
545，选取3种假货有C
3 15
＝
153××124××113＝455种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴至多
有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
类型二
简单的组合问题
[例2] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35 种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ [思路分析] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至 少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．
[变式训练1] (1)已知Am3 －C23＋0！＝4，则m＝( C )
A．0
B．1
C．2或3
D．3
解析：∵A
m 3
－C
2 3
＋0！＝4，∴A
m 3
＝6，当m＝2时成立；当m＝3时也成立．故选
C.
(2)求满足1nC1n＋2nC2n＋…＋nnCnn<100的正整数n的最大值．
解：1nC1n＋2nC2n＋…＋nnCnn<100，即：C1n＋2C2n＋…＋nCnn<100n， 又C1n＋2C2n＋…＋nCnn ＝nC0n－1＋nC1n－1＋nC2n－1＋…＋nCnn－ －21＋nCnn－ －11＝n·2n－1. ∴n·2n－1<100n，即2n－1<100，又n为正整数∴n≤7，即正整数n的最大值为7.
(2)∵选派男运动员3名，女运动员2名，
∴首先选3名男运动员，有C
3 6
种选法，再选2名女运动员，有C
2 4
种选法，根据
分步乘法计数原理，选派男运动员3名，女运动员2名，共有C36·C24＝120种选法．
(3)∵至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女
1男，
∴由分类加法计数原理可得，C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246.∴至少有1名 女运动员有246种选法．
类型一
组合数公式的应用
[例1] (1)计算： ①3C38－2C25；②C338n－n＋C32n1＋n；③C33＋C34＋…＋C310. (2)证明：Cmn ＋1＋Cmn －1＋2Cmn ＝Cmn＋＋21.
[思路分析] 解含有组合数的等式(或不等式)时，应充分认清式子的特点，牢
记组合数的性质，组合数公式Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1体现了组合数与
一、答一答 1．组合与组合数有何区别？
提示：“一个组合”是指“从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素作为一组”， 它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”则是指“从n个不同元素中，取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．
2．如何从排列数公式得到组合数公式？
提示：组合数公式推导的思路是依据分步乘法计数原理，遵循从特殊到一般的原 则，先求从4个不同元素中任取3个的组合数，再全排列得到排列数，即分先求“组合 数”，后求“全排列数”两步来完成，这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系， 从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式．
[解]
(1)从余下的34种商品中，选取2种有C
2 34
＝
34×33 2
＝561种，∴某一种假
货必须在内的不同取法有561种．
(2)从余下的34种可选商品中，选取3种，有C334＝343××323××132＝5 984种．∴某
一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C
有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. 2“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但 要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.
[变式训练2] 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外 出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法．
(4)∵只有男队长的选法为C48种选法，只有女队长的选法为C48种选法，
又∵男、女队长都入选的选法为C
3 8
种选法，∴共有2C
4 8
ห้องสมุดไป่ตู้
＋C
3 8
＝196种选法．∴
队长至少有一人参加有196种选法.
(5)∵当有女队长，其他人选法任意，共有C49种选法，
∵不选女队长时，必选男队长，共有C
4 8
种选法，选男队长且不含女运动员有
有C16C25C33A33＝360种分法，故B不正确；
对于C,6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法有C25＝10种分法；
对于D,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3种情况讨论：
①一人4本，其他两人各1本，共有C46AC1222C11·A33＝90种分法； ②一人1本，一人2本，一人3本，共有C16C25C33A33＝360种， ③每人2本，共有C26C24C22＝90种分法， 故共有90＋360＋90＝540种分法．故选ACD.
不同选法共有( B )
A．12种
B．24种
C．30种
D．36种
解析：依题意，满足题意的选法共有C24×2×2＝24种．故选B.
3．若A2n＝3C2n－1，则n的值为( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：因为A2n＝3C2n－1，所以n(n－1)＝3n－12n－2，即n＝6. 故选C.
课堂篇·互动学习
解决分组分配问题的三种策略 (1)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素 个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除 以几个这样的全排列数． (3)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相 等，所以不需要除以全排列数．