知识02 函数的概念与基本初等函数(含真题)-【新高考】2021年高考数学考前必备知识速记
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专题二 函数的概念与基本初等函数
知识必备
一、函数的概念及其表示
1．函数
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
二、函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
四、二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在 上是减函数；
在 上是增函数
在 上是增函数；
在 上是减函数
3.常用结论
.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 时恒有f(x)>0，当 时，恒有f(x)<0.
五、指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
（4）函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝ ，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－ ，则T＝2a(a>0).
（5）对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－ ，顶点坐标是
顶点式
f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
三、函数的奇偶性、周期性与对称性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)5个常见幂函数的图象与性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在(0，＋∞)上单调递增
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数的周期性
（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
知识必备
一、函数的概念及其表示
1．函数
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(3)各段函数的定义域不可以相交.
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
二、函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
四、二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
x＝－
顶点坐标
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在 上是减函数；
在 上是增函数
在 上是增函数；
在 上是减函数
3.常用结论
.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当 时恒有f(x)>0，当 时，恒有f(x)<0.
五、指数与指数函数
1.根式
(1)概念：式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
（4）函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
②若f(x＋a)＝ ，则T＝2a(a>0).
③若f(x＋a)＝－ ，则T＝2a(a>0).
（5）对称性的三个常用结论
①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－ ，顶点坐标是
顶点式
f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
三、函数的奇偶性、周期性与对称性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)5个常见幂函数的图象与性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在(0，＋∞)上单调递增
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数的周期性
（1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
（2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
（3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．