八年级上第十六章二次根式教案与练习

第十六章二次根式
16.1 二次根式
一、教学目标
1．了解二次根式的意义；
2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题；
3. 掌握二次根式的性质和，并能灵活应用；
4．通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力；
5. 通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.
二、教学重点和难点
重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围．
难点：确定二次根式中字母的取值范围．
四、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫平方根、开平方？算术平方根？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，求一个数a平方根的运算叫做开平方2、平方根如何表示？
一个非负数a的平方根可以表示为a
3、求下列各数的平方根：
4、求下列各数的正平方根：
（1）4；（2）0.16；（3）9
25
. （1）225; （2）0.0001；（3）
16
81
.
4．说出下列各式的意义，并计算：
，，，，，，，
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，，，，表示的是算术平方根.
(二)引入新课
我们已遇到的，，，这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式
1. 二次根式的意义
代数式a（a≥0）叫做二次根式，读作_根号a,其中a是被开方数. 通常把形如a（a≥0）
的式子也叫做二次根式.。

2．二次根式何时有意义：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零即：a≥0
对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：
（1）式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗？呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.
（2）是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗？显然不是，因此二次
根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义？
说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义．
例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：
（1）(2)(3)(4)
分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式．
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
（1）；（2）；（3）；（4）
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．
（3）由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是，式子
是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数．
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
1．式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．
(四)练习和作业
练习：
1．判断下列各式是否是二次根式
分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因为x 是实数时，x 、x+1不能保证是非负数，即x 、x+1可以是负数（如x ＜0时，又如当x ＜-1时＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）无意义.
2．a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
例题1 下列各式是二次根式吗？ 2、32、2-、 12+a 、)0(<b b 24b ac -
例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）12-x ； （2）x -2； （3）x 1； （4）21x + 4．练习（一）
设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
（1123x - （22x
- （3221x x -+三、二次根式的性质
性质1a a 2
=; 性质2：_________________________;
性质3：______________________; 性质4：________________________________.
例题3 求下列二次根式的值：
（1）2)3(π-； （2）122+-x x ，其中3-=x . 例题4 化简二次根式
（172；（2312a （3)2180x x ≥；
（43a （552x
（62
0)9b b a > 例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-
练习（二）：1、化简下列二次根式
（132 （2227(0)x x ≥； （33124(0)2
mn n ≥； （4223 （54
a （6）312y x
2、选择题
（1）、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）
A 、b-a
B 、2-a-b
C 、a-b
D 、2+a-b
（2）、化简2)21(-的结果是（ ）
A 、21-
B 、12-
C 、)12(-±
D 、)21(-
± （3）、如果2
121
--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2
16．2最简二次根式和同类二次根式
一、引入新知：
1、____________________叫二次根式. 二次根式的条件是什么？
2、使式子a a -+
有意义的a 的取值范围是什么？ 3、计算：（1）
2 （2
）22- （3
（4
4、填空：
（1
；
（2
=_______
．
（3
．
二、探索新知：
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
由此，我们可以发现：=⋅b a _________（a ≥ 0，b ≥ 0）.
将这个式子左右互换，得：____________________（a ≥ 0，b ≥ 0）.
一般的，当a ≥ 0，b ≥ 0时，由于：
()()()b a b a b a ⋅=⋅=⋅222 （这两步的根据是什么？） 因此，b a b a ⋅=⋅. 以此得出：b a b a ⋅=
⋅（a ≥ 0，b ≥ 0）.（积的算术平方根性质） 该性质用文字表述为：______________________________________. 可以推广：⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅c b a c b a （a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0…）
1、最简二次根式符合的两个条件：
（1）_________________________________________________;
（2）_________________________________________________.
例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式： · · · · a b 0 1
（1；（2（3（41)a ≥- 例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：
（1)0y >；（2)0a b ≥≥；（3)0m n >> 2、练习（三） （1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：
))
00a y >> （3）将下列各二次根式化成最简二次根式：
)))000b x y p q >>>>> 3、同类二次根式
几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
))
0,0a a >> 例题9 合并下列各式中的同类二次根式： （1）323132122++-
； （2）xy b xy a xy +-3 4、练习（四） （1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
B. )0;x ≥
))00a y >> （2）合并下列各式中的同类二次根式：
A. B.
例1、化简：
（1 （2 （3）18 （4）32
解：（1169⨯=3×4=12 （2=8116⨯=4×9=36
（3）18=232929=⨯=⨯ （4）32=24216216=⨯=⨯
思考：为什么（3）和（4）要把被开方数化为9×2和16×2？
例2、设a ≥ 0，b ≥ 0，化简下列二次根式：
（1）b a 39 （2）.22124ab b +
解：（1）ab a ab a b a a b a 333922223=⋅⋅=⋅⋅⋅=；
（2）a b a b a b ab b 3123143141242222+=+⋅⋅=+=
+.)( 方法归纳：
（1）先将根号下的平方因子挑出来；（2）把根号下的平方因子去掉平方后移到根号外.
（注意：移到根号外的数必须是非负数）
化简计算要求：被开方数中不含能开得尽方的因数和因式.
思考：以下化简过程是否正确？如不正确，请写出正确的解法.
（1）
三、学以致用：
1、化简：
（1）24 （2）28 （3）
2518 （4）25124 2、设a ≥ 0，b ≥ 0，化简下列二次根式：
（1）24ab （2）3527b a （3）242a a +
3、判断：
（1）94)9()4(-⨯-=
-⨯- （ ） （2）169169+=
+ （ ） （3）22223535-=- （ ）
4、选择：
（1）若R t ，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A ．cm
B ．cm
C ．9cm
D ．27cm
（2）等式1112-⋅+=-x x x 成立的条件是（ ）.
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1
四、小结归纳：
1、积的算术平方根，等于积中____________的算术平方根的_______.
用式子可表示为：_________________________________________.
2、化简计算时，被开方数中不含________________________的因数和因式.
五、应用拓展：
一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？。